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2024-05-29T17:07:19Z

Parametrisierung des Randes: Formeln verkürzt

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[[Datei:Unit Square.svg|thumb|Das Einheitsquadrat in der [[Euklidische Ebene|euklidischen Ebene]]]]
'''Einheitsquadrat''' ist eine abkürzende [[Mathematik|mathematische]] Bezeichnung für ein [[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]] mit Seitenlängen eins. In [[Kartesische Koordinaten|kartesischen Koordinaten]] ist meist das Quadrat mit den Eckpunkten (0,0), (1,0), (1,1), (0,1) gemeint. Das ist die [[Menge (Mathematik)|Menge]] aller [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] <math>(x,y)</math>, sodass <math>x</math> und <math>y</math> beide zwischen null und eins liegen, also das [[Kartesisches Produkt|kartesische Produkt]] <math>[0,1] \times [0,1]</math> des abgeschlossenen [[Intervall (Mathematik)|Intervalls]] <math>[0,1]</math> mit sich selbst.

Das Einheitsquadrat hat den [[Flächeninhalt]] 1 und den [[Umfang (Geometrie)|Umfang]] 4. Die Länge seiner [[Diagonale (Geometrie)|Diagonale]]n beträgt <math>\sqrt{2}</math>.

== Parametrisierung des Randes ==
Der Rand des Einheitsquadrats lässt sich als parametrisierte Kurve <math>\gamma : [0,4] \to [0,1]^2</math> darstellen:<ref>{{Internetquelle |autor=Dr. Meike Akveld |url=https://www2.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/hs2015/other/analysis1_BAUG/loesung08.pdf |titel=Serie 8 - Parametrisierte Kurven |werk=math.ethz.ch |datum=2015 |sprache=de |abruf=2024-05-21}}</ref><math display="block">\gamma (t)
= \frac 1 2 \begin{pmatrix}
|t-0|-|t-1|-|t-2|+|t-3| \\
|t-1|-|t-2|-|t-3|+|t-4|
\end{pmatrix}
= \begin{cases}
\begin{pmatrix}t\\0\end{pmatrix}, & t \in [0;1[ \\
\begin{pmatrix}1\\ t-1\end{pmatrix}, & t \in [1;2[ \\
\begin{pmatrix}3-t\\1\end{pmatrix}, & t \in [2;3[ \\
\begin{pmatrix}0\\4-t\end{pmatrix}, & t \in [3;4] \\
\end{cases}</math>Der Rand wird hier gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen. Insbesondere werden die Parameterwerte <math>\{ 0,1,2,3,4 \}</math> auf die jeweiligen Ecken abgebildet, wobei die Ecken 0 und 4 identisch sind, also <math>\gamma(0) = \gamma(4) = (0,0),</math> <math>\gamma(1) = (1,0),</math> <math>\gamma(2) = (1,1),</math> <math>\gamma(3) = (1,0)</math>.

== Siehe auch ==
* [[Einheitskreis]]

== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Viereck]]
[[Kategorie:Vierecksgeometrie]]

Einheitsquadrat - Versionsgeschichte

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