imported>Mathze: /* Definition */

2025-12-20T19:41:15Z

Definition

Neue Seite

Die '''Einheitsmatrix''' oder '''Identitätsmatrix''' ist in der [[Mathematik]] eine [[quadratische Matrix]], deren Elemente auf der [[Hauptdiagonale]] eins und überall sonst null sind. Die Einheitsmatrix ist im [[Ring (Algebra)|Ring]] der quadratischen Matrizen das [[Neutrales Element|neutrale Element]] bezüglich der [[Matrizenmultiplikation]]. Sie ist [[Symmetrische Matrix|symmetrisch]], [[Involution (Mathematik)|selbstinvers]], [[Idempotenz|idempotent]] und hat maximalen [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]]. Die Einheitsmatrix ist die [[Darstellungsmatrix]] der [[Identische Abbildung|Identitätsabbildung]] eines endlichdimensionalen [[Vektorraum]]s. Sie wird unter anderem bei der Definition des [[Charakteristisches Polynom|charakteristischen Polynoms]] einer Matrix, [[Orthogonale Matrix|orthogonaler]] und [[Unitäre Matrix|unitärer]] Matrizen, sowie in einer Reihe geometrischer Abbildungen verwendet.

== Definition ==
Ist <math>R</math> ein Ring mit [[Nullelement]] <math>0</math> und [[Einselement]] <math>1</math>, dann ist die Einheitsmatrix <math>I_n\in R^{n \times n}</math> die [[quadratische Matrix]]

: <math>I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.

Eine Einheitsmatrix ist demnach eine [[Diagonalmatrix]], bei der alle Elemente auf der [[Hauptdiagonale]] gleich <math>1</math> sind. Als Schreibweise ist neben <math>I_n</math> (von ''Identität'') auch <math>E_n</math> (von ''Einheit'') gebräuchlich. Falls die Dimension aus dem Zusammenhang hervorgeht, wird auch häufig auf den Index <math>n</math> verzichtet und nur <math>I</math> beziehungsweise <math>E</math> geschrieben.

== Beispiele ==
Ist <math>R</math> der [[Körper (Algebra)|Körper]] der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] und bezeichnen <math>0</math> und <math>1</math> die Zahlen [[Null]] und [[Eins]], so sind Beispiele für Einheitsmatrizen:

: <math>
I_1 = \begin{pmatrix}
1 \end{pmatrix}
,\ I_2 = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{pmatrix}
,\ I_3 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
,\ I_4 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
</math>

== Eigenschaften ==

=== Elemente ===

Die Elemente einer Einheitsmatrix lassen sich mit dem [[Kronecker-Delta]]

: <math>\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 1 \quad \text{falls} \quad i=j \\ 0 \quad \text{falls} \quad i \neq j \end{matrix} \right.</math>

angeben. Die Einheitsmatrix der Größe <math>n \times n</math> kann so einfach durch

: <math>I_n = (\delta_{ij})_{i,j\in\{1,\ldots,n\}}</math>

notiert werden. Die Zeilen und Spalten der Einheitsmatrix sind die kanonischen [[Einheitsvektor]]en <math>e_1, \ldots , e_n</math>, und man schreibt entsprechend

: <math>I_n = (e_1, \ldots , e_n)</math>,

wenn die Einheitsvektoren Spaltenvektoren sind.

=== Neutralität ===

Für jede Matrix <math>A \in R^{m \times n}</math> gilt

: <math>I_m \cdot A = A \cdot I_n = A</math>.

Demnach ergibt das Produkt aus einer beliebigen Matrix mit der Einheitsmatrix wieder die gleiche Matrix. Die Menge der quadratischen Matrizen bildet zusammen mit der [[Matrizenaddition]] und der [[Matrizenmultiplikation]] einen (nichtkommutativen) Ring <math>(R^{n \times n}, +, \cdot)</math>. Die Einheitsmatrix ist dann das [[Einselement]] in diesem [[Matrizenring]], also das [[Neutrales Element|neutrale Element]] bezüglich der Matrizenmultiplikation.

=== Symmetrien ===

Die Einheitsmatrix ist [[Symmetrische Matrix|symmetrisch]], das heißt für ihre [[Transponierte Matrix|Transponierte]] gilt

: <math>(I_n)^T = I_n</math>,

und [[Involution (Mathematik)|selbstinvers]], das heißt für ihre [[Inverse Matrix|Inverse]] gilt ebenfalls

: <math>(I_n)^{-1} = I_n</math>.

=== Kenngrößen ===

Für die [[Determinante]] der Einheitsmatrix gilt

: <math>\operatorname{det}(I_n) = 1</math>,

was eine der drei [[Determinante#Axiomatische Beschreibung|definierenden Eigenschaften]] einer Determinante ist. Für die [[Spur (Mathematik)|Spur]] der Einheitsmatrix gilt

: <math>\operatorname{spur}(I_n) = n</math>.

Handelt es sich bei dem Ring um <math>\Z</math>, <math>\Q</math>, <math>\R</math> oder <math>\Complex</math>, erhält man demnach <math>\operatorname{spur}(I_n)=n</math>. Das [[Charakteristisches Polynom|charakteristische Polynom]] der Einheitsmatrix ergibt sich als

: <math>\chi_{I_n}(\lambda) = (\lambda-1)^n</math>.

Der einzige [[Eigenwert]] ist demnach <math>\lambda = 1</math> mit Vielfachheit <math>n</math>. In der Tat gilt <math>I_n\cdot x=1\cdot x</math> für alle <math>x</math> des [[Modul (Mathematik)|Moduls]] <math>R^n</math>. Ist <math>R</math> ein [[kommutativer Ring]], so ist der [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] der Einheitsmatrix durch

: <math>\operatorname{rang}(I_n) = n</math>

gegeben.

=== Potenzen ===

Die Einheitsmatrix ist [[Idempotenz|idempotent]], das heißt

: <math>I_n \cdot I_n = I_n</math>,

und sie ist die einzige Matrix mit vollem Rang mit dieser Eigenschaft. Für das [[Matrixexponential]] einer reellen oder komplexen Einheitsmatrix gilt damit

:<math>\exp(I_n) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(I_n)^k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \cdot I_n = e \cdot I_n</math>,

wobei <math>e</math> die [[eulersche Zahl]] ist.

== Verwendung ==

=== Lineare Algebra ===

Die Menge der regulären Matrizen der Größe <math>n \times n</math> bildet mit der Matrizenmultiplikation die [[allgemeine lineare Gruppe]]. Für alle Matrizen <math>A</math> dieser [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] und ihre [[Inverse Matrix|Inversen]] <math>A^{-1}</math> gilt dann

: <math>A^{-1} \cdot A = A \cdot A^{-1} = I_n</math>.

Das [[Zentrum (Algebra)|Zentrum]] dieser Gruppe sind gerade die [[Vielfaches|Vielfachen]] (ungleich null) der Einheitsmatrix. Für eine [[orthogonale Matrix]] <math>A \in \R^{n \times n}</math> gilt nach Definition

: <math>A \cdot A^T = A^T \cdot A = I_n</math>

und entsprechend dazu für eine [[unitäre Matrix]] <math>A \in \Complex^{n \times n}</math>

: <math>A \cdot A^H = A^H \cdot A = I_n</math>.

Diese Matrizen bilden jeweils [[Untergruppe]]n der entsprechenden allgemeinen linearen Gruppe. Die nullte [[Matrixpotenz|Potenz]] einer quadratischen Matrix <math>A \in R^{n \times n}</math> wird als

: <math>A^0 = I_n</math>

festgelegt. Weiter wird die Einheitsmatrix bei der Definition des [[Charakteristisches Polynom|charakteristischen Polynoms]]

: <math>\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I_n).</math>

einer quadratischen Matrix verwendet. Die Einheitsmatrix ist die [[Darstellungsmatrix]] der [[Identische Abbildung|Identitätsabbildung]] <math>\operatorname{id} \colon V \to V</math> eines endlichdimensionalen [[Vektorraum]]s <math>V</math>.

=== Geometrie ===

In der [[Analytische Geometrie|analytischen Geometrie]] werden Einheitsmatrizen unter anderem bei der Definition folgender Abbildungsmatrizen <math>T</math> verwendet:

* [[Punktspiegelung]] am [[Koordinatenursprung]]: <math>T = -I</math>
* [[Zentrische Streckung]] mit dem Streckungsfaktor <math>m > 0</math> und dem Ursprung als Zentrum: <math>T = m \cdot I</math>
* [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]] an einer [[Ursprungsgerade]] mit [[Richtungsvektor|Einheits-Richtungsvektor]] <math>v</math>: <math>T = 2 v v^T - I</math>
* [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]] an einer Ursprungsgerade (2D) oder [[Ursprungsebene]] (3D) mit [[Normalenvektor|Einheits-Normalenvektor]] <math>n</math>: <math>T = I - 2 n n^T</math>
* [[Projektion (lineare Algebra)|Projektion]] auf den [[Komplementärraum]], wenn <math>P</math> eine Projektionsmatrix auf eine Ursprungsebene oder -gerade ist: <math>T = I - P</math>

== Programmierung ==

In dem numerischen Softwarepaket [[MATLAB]] wird die Einheitsmatrix der Größe <math>n \times n</math> durch die Funktion <code>eye(n)</code> erzeugt.<ref>{{Literatur |Autor=Christoph W. Überhuber, Stefan Katzenbeisser, Dirk Praetorius |Titel=MATLAB 7: Eine Einführung |Verlag=Springer |Datum=2007 |Seiten=18}}</ref> In [[Mathematica]] erhält man die Einheitsmatrix durch <code>IdentityMatrix[n]</code>. In der Python-Bibliothek numpy wird eine Einheitsmatrix durch <code>numpy.identity(n)</code> erzeugt. Die Funktion <code>numpy.eye(N, M, k)</code> mit N=Zeilen, M=Spalten und k=Position der Hauptdiagonalen, bietet eine allgemeinere Möglichkeit, Diagonalarrays, mit Einsen zu erzeugen.<ref>{{Literatur |Autor=Bernd Klein |Titel=Numerisches Python: Arbeiten mit NumPy, Matplotlib und Pandas |Verlag=Hanser |Ort=München |Datum=2019 |ISBN=978-3-446-45076-9 |Seiten=67 |Abruf=}}</ref>

== Siehe auch ==

* [[Einsmatrix]], eine Matrix, die nur aus Einsen besteht
* [[Nullmatrix]], eine Matrix, die nur aus Nullen besteht
* [[Standardmatrix]], eine Matrix, die aus genau einer Eins und sonst nur Nullen besteht
* [[Permutationsmatrix]], eine Matrix, die durch Zeilen- oder Spaltenvertauschungen aus einer Einheitsmatrix entsteht
* [[Elementarmatrix]], eine Matrix, die sich nur an einer Position oder durch Zeilentausch von einer Einheitsmatrix unterscheidet

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Siegfried Bosch]]
|Titel=Lineare Algebra
|Verlag=Springer
|Datum=2006
|ISBN=3-540-29884-3}}
* {{Literatur
|Autor=Karsten Schmidt, Götz Trenkler
|Titel=Einführung in die Moderne Matrix-Algebra
|Verlag=Springer
|Datum=2006
|ISBN=3-540-33008-9}}

== Weblinks ==
* {{MathWorld|id=IdentityMatrix|title=Identity Matrix}}
* {{PlanetMath|id=identitymatrix|author=mathcam|title=Identity matrix}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Matrix]]

Einheitsmatrix - Versionsgeschichte

imported>Mathze: /* Definition */