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2026-04-14T17:19:15Z

Volumen und Oberfläche

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[[Datei:Unit disc 2-norm qtl1.svg|mini|Einheitskugel (rot) und -sphäre (blau) für die euklidische Norm in zwei Dimensionen]]
Unter der '''Einheitskugel''' versteht man in der [[Mathematik]] die [[Kugel]] mit [[Radius]] eins um den [[Nullpunkt]] eines [[normierter Raum|normierten Vektorraums]]. Dabei wird ein verallgemeinerter Begriff des Abstands zugrunde gelegt, so dass je nach Zusammenhang die Einheitskugel keine Ähnlichkeit mehr mit einer herkömmlichen Kugel haben muss. Diese Einheits[[Sphäre (Mathematik)|sphäre]] ist der [[Rand (Topologie)|Rand]] der Einheitskugel, im zweidimensionalen [[Reelle Zahl|reellen]] Vektorraum mit der [[Euklidische Norm|euklidischen Norm]] ist dies der [[Einheitskreis]].

== Allgemeine Definition ==
Es sei <math>(X,\|{\cdot}\|)</math> ein [[Normierter Raum|normierter Vektorraum]]. Dann nennt man die Menge der Punkte, deren Abstand vom Nullpunkt kleiner als eins ist, die [[Offene Menge#Offene Kugel|offene]] Einheitskugel in <math>X</math>:
:<math>B_X:=\{x\in X : \|x\|<1\}.</math>
Entsprechend bezeichnet
:<math>\overline{B_X}:=\{x\in X : \|x\|\leq1\}</math>
die [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene]] Einheitskugel in <math>X</math> sowie
:<math>\partial B_X:=\{x\in X : \|x\|=1\}</math>
die Einheitssphäre in <math>X</math>.

Mittels [[Parallelverschiebung|Translation]] und [[Skalarmultiplikation|Skalierung]] lassen sich in einem Raum beliebige Kugeln in die Einheitskugel überführen. Deshalb reicht es oft aus, bestimmte Aussagen nur für die Einheitskugel nachzuweisen, um die Gültigkeit für beliebige Kugeln zu folgern.

== Einheitskugel in endlichdimensionalen Räumen ==
[[Datei:Vector norms.svg|gerahmt|rechts|Einheitssphären im <math>\R^2</math>]]
Im Falle des [[Euklidischer Raum|euklidischen Raumes]] <math>\R^n</math> definiert man die abgeschlossene Einheitskugel bezüglich der [[Euklidische Norm|euklidischen Norm]] <math>\|x\|_2=\sqrt{x_1^2+x_2^2+ \cdots + x_n^2}</math> mittels
<math>\overline{B_{\R^n}}:=\{x\in \R^n : \|x\|_2\leq 1\}.</math>

Einheitskugeln können alternativ im <math>\R^n</math> bezüglich anderer [[Norm (Mathematik)|Normen]] definiert werden, beispielsweise der [[Summennorm]] (1-Norm) <math>\|x\|_1= |x_1|+|x_2|+ \cdots + |x_n|</math> oder der [[Maximumsnorm]] <math>\|x\|_\infty= \max\{ |x_1|,|x_2|,\dots,|x_n| \}</math>. Die geometrische Gestalt der Einheitskugel hängt von der gewählten [[Norm (Mathematik)|Norm]] ab und ist nur mit der euklidischen Norm tatsächlich kugelförmig.

== Volumen und Oberfläche ==
Das [[Volumen]]<ref group="Hw">Unter dem Volumen im euklidischen Raum <math>\R^n</math> stets versteht man das zugehörige [[Lebesgue-Borel-Maß]] <math>\lambda^{n}</math>.</ref> der <math>n</math>-dimensionalen, euklidischen Einheitskugel <math>B^n := {B_{\R^n}} \subset \R^n</math> beträgt
:
:<math> V_n= \frac{2\pi^{n/2}}{n\Gamma(\frac{n}{2})} = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2} +1)}</math>
:
Hierbei ist <math>\Gamma</math> die [[Gammafunktion]], eine [[analytische Fortsetzung]] der (verschobenen) [[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]] auf die reellen Zahlen. Für gerades <math>n</math> vereinfacht sich die Formel zu <math>V_n=\tfrac{\pi^{n/2}}{(n/2)!}</math>.

Die Oberfläche eines <math>B^n</math> (üblich als Sphäre <math>S^{n-1}</math> bezeichnet) beträgt
:<math>A_n = n V_n = \frac{n \pi ^ {n/2}}{\Gamma(1+n/2)} = \frac{2 \pi ^ {n/2}}{\Gamma(n/2)}</math>
:
Dabei gelten folgende [[Rekursion|Rekursionen]]:
:
:<math>V_n = \frac{2 \pi}{n} V_{n-2}</math> für <math>n > 1</math>.
:<math>A_n = \frac{2 \pi}{n-2} A_{n-2}</math> für <math>n > 2</math>.
:
Hier gilt im Einzelnen für <math>m = 1,2,3, \ldots </math>:<ref>
{{Literatur|Autor=C. H. Edwards, Jr.|Titel=Advanced Calculus of Several Variables |Ort=New York u. a. |Datum=1973 |Seiten=248}}</ref>
:
:<math>V_{2m} = \frac{ {\pi}^m }{m!} </math>.
:<math>V_{2m+1} = \frac{ 2^{m+1} {\pi}^m }{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2m+1) } </math>.
:
Bemerkenswert ist in diesem Zusammenhang, dass das Volumen der Einheitskugel in Abhängigkeit von der Raumdimension <math>n</math> bis <math>n = 5</math> zunächst zunimmt, um dann wieder abzufallen – und sogar für <math>n \to \infty</math> gegen 0 zu gehen. Die Oberfläche nimmt von der Raumdimension <math>n</math> bis <math>n = 7</math> zunächst zu, und geht für <math>n \to \infty</math> gegen 0.
{| class="wikitable"
! colspan="5" style="background:#C0C0FF" |Volumen und Oberfläche der Einheitskugel
|-
! class="hintergrundfarbe5" |Dimension
! colspan="2" |Volumen
! colspan="2" class="hintergrundfarbe5" |Oberfläche
|-
|0
|1
|1
|0
|0
|-
|1
|2
|2
|2
|2
|-
|2
|<math>\pi</math>
|3,141
|<math>2\pi</math>
|6,283
|-
|3
|<math>\frac{4}{3}\pi</math>
|4,189
|<math>4\pi</math>
|12,57
|-
|4
|<math>\frac{1}{2}\pi^2</math>
|4,935
|<math>2\pi^2</math>
|19,74
|-
|5
|<math>\frac{8}{15}\pi^2</math>
|5,264
|<math>\frac{8}{3}\pi^2</math>
|26,32
|-
|6
|<math>\frac{1}{6}\pi^3</math>
|5,168
|<math>\pi^3</math>
|31,01
|-
|7
|<math>\frac{16}{105}\pi^3</math>
|4,725
|<math>\frac{16}{15}\pi^3</math>
|33,07
|-
|8
|<math>\frac{1}{24}\pi^4</math>
|4,059
|<math>\frac{1}{3}\pi^4</math>
|32,47
|-
|9
|<math>\frac{32}{945}\pi^4</math>
|3,299
|<math>\frac{32}{105}\pi^4</math>
|29,69
|-
|10
|<math>\frac{1}{120}\pi^5</math>
|2,550
|<math>\frac{1}{12}\pi^5</math>
|25,50
|-
|12
|<math>\frac{1}{720}\pi^6</math>
|1,335
|<math>\frac{1}{60}\pi^6</math>
|16,02
|-
|20
|<math>\frac{1}{3628800}\pi^{10}</math>
|0,0258
|<math>\frac{1}{181440}\pi^{10}</math>
|0,516
|-
|25
|<math>\frac{8192}{7905853580625}\pi^{12}</math>
|0,000958
|<math>\frac{8192}{316234143225}\pi^{12}</math>
|0,0239
|}
Die Einheitskugel bezüglich der Summennorm ist geometrisch ein [[Kreuzpolytop]], ihr Volumen beträgt <math>\tfrac{2^n}{n!}</math>.

Die Einheitskugel bezüglich der Maximumsnorm ist ein [[Hyperwürfel]] mit Kantenlänge 2, hat also das Volumen <math>2^n</math>.

== Bemerkungen ==
* Die Einheitssphäre bildet den [[Rand (Topologie)|Rand]] der Einheitskugel. Entsprechend ist im zweidimensionalen die Einheitskugel nicht der [[Kreis (Geometrie)|Kreis]], sondern die Kreisscheibe.

* Allgemeiner kann eine Einheitskugel in jedem [[Metrischer Raum|metrischen Raum]] definiert werden. Zu beachten ist, dass dort nicht von vornherein ein Punkt als Nullpunkt ausgezeichnet sein muss und man deswegen nur bedingt von ''der'' Einheitskugel eines metrischen Raumes sprechen kann. Weiterhin sind gerade bei Metriken, die nicht norminduziert sind, die Einheitskugeln noch weiter von der Anschauung entfernt. Speziell gilt in einem Vektorraum <math>X</math> mit der [[Diskrete Topologie#Diskrete Metriken|diskreten Metrik]]: <math>B_X= \{0\}</math>, <math>\overline{B_X}= X</math> und <math>\partial B_X= X \backslash \{0\} . </math>

* Bei der Betrachtung von [[Umgebung (Mathematik)|Umgebungen]] wird die Einheitskugel auch als 1-Kugel oder 1-''Ball'' bezeichnet.

== Eigenschaften ==
* Die abgeschlossene Einheitskugel <math>\overline{B_X}</math> ist [[Konvexe Menge|konvex]]. (Die Konvexität folgt aus der [[Dreiecksungleichung]].)
* Sie ist [[Symmetrie (Geometrie)|punktsymmetrisch]] zum Ursprung 0: <math>x\in \overline{B_X}\implies -x\in\overline{B_X}</math>.
* Umgekehrt wird in einem [[Dimension (Vektorraum)|endlichdimensionalen]] Vektorraum durch jede abgeschlossene konvexe Menge <math>B</math>, die punktsymmetrisch zum Ursprung liegt und den Ursprung im [[Innerer Punkt|Inneren]] enthält, eine [[Normierter Raum|Norm]] definiert, die diese Menge als Einheitskugel hat: <math>\lVert x \rVert_B = \min\{\,t>0: \tfrac xt\in B \,\}</math>, für <math>x\ne0</math> (siehe [[Minkowski-Funktional]]).
* Die abgeschlossene Einheitskugel <math>\overline{B_X}</math> ist genau dann [[Kompakter Raum|kompakt]], wenn <math>X</math> [[Dimension (Vektorraum)|endlichdimensional]] ist.
* Die abgeschlossene Einheitskugel <math>\overline{B_X}</math> ist genau dann [[Schwache Topologie|schwach kompakt]], wenn <math>X</math> [[Reflexiver Raum|reflexiv]] ist.
* Die abgeschlossene Einheitskugel <math>\overline{B_{X^\prime}}</math> im topologischen [[Dualraum]] <math>X^\prime</math> von <math>X</math> ist immer [[Schwach-*-Topologie|schwach-*-kompakt]] ([[Satz von Banach-Alaoglu]]).

== Anwendungen in den Naturwissenschaften ==
In vielfältiger Art wird die Einheitskugel in den [[Geowissenschaft]]en angewandt, insbesondere für Berechnungen auf der [[Erdfigur|Erdkugel]]. Sie erfolgen mit sogenannten Kugeldreiecken und den Formeln der [[Sphärische Trigonometrie|Sphärischen Trigonometrie]], wenn eine Genauigkeit von etwa 0,1 % genügt, zum Beispiel bei der [[Geografie]] und [[Kartografie]], Globenberechnungen und [[Navigation]]. Die wahren Distanzen erhält man aus den Kugelbögen durch Multiplikation mit dem [[Erdradius]].

Für höhere Genauigkeit – vor allem in der [[Geodäsie]] – ist statt der Erdkugel das [[Erdellipsoid]] zu verwenden. Mit der Methode der [[Verebnung]] sind aber Dreiecksberechnungen auch sphärisch möglich.

[[Geologe]]n verwenden für Richtungsanalysen von Gesteinsschichten oder [[Klüfte]]n eine Einheitskugel, die sie [[Lagenkugel]] nennen. In sie werden die [[Normalenvektor]]en der jeweiligen Ebenen eingetragen und danach in flächentreuer [[Azimutalprojektion]] dargestellt.

Auch [[astronomisch]]e Berechnungen werden seit jeher auf der Einheitskugel um den Beobachter durchgeführt. Sie entspricht dem freiäugigen Anblick des Himmelsgewölbes und wird [[Himmelskugel]] genannt, auf der die [[sphärische Astronomie]] eigene Koordinatensysteme für Winkelmessungen und [[Sternörter]] definiert hat. Ob der Kugelradius mit 1 oder mit ∞ angenommen wird, ist dabei ohne Belang.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=C. H. Edwards, Jr.
|Titel=Advanced Calculus of Several Variables
|Auflage=
|Verlag=Academic Press
|Ort=New York, San Francisco, London
|Datum=1973
|ISBN=
|Online=[https://zbmath.org/0308.26002 ''zbMATH Open'']}}
* [[Ivan I. Mueller]]: ''Spherical Astronomy as applied to Geodesy''. Frederic Ungar Publ., New York 1969.
* [[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis''. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Hinweise ==
<references group="Hw" />

[[Kategorie:Folgen und Reihen]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Sphärische Astronomie]]

[[es:1-esfera]]

Einheitskugel - Versionsgeschichte

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