imported>TaxonKatBot: Bot: Kategorie:Träger umbenannt in Kategorie:Träger (Statik): laut Diskussion

2026-04-02T05:01:23Z

Bot: Kategorie:Träger umbenannt in Kategorie:Träger (Statik): laut Diskussion

Neue Seite

[[Datei:Einfeldtraeger.png|mini|350px|Beispiel für Einfeldträger mit Auflagerreaktionen]]

Der '''Einfeldträger''' oder auch '''Träger auf zwei Stützen''' ist das einfachste [[Statik (Physik)|statische]] Element. Er ist das Grundelement vieler Brücken und Gebäude und wird in der [[Technische Mechanik|Technischen Mechanik]] häufig als Übungsbeispiel verwendet.

Der Träger ist [[statisch bestimmt]]. Unter Belastung entstehen in den beiden Lagern drei [[Auflagerreaktion]]en. Die [[Auflagerkraft|Auflagerkräfte]] können ohne aufwändige Rechenverfahren ermittelt werden.

== Äußere Kräfte ==
=== Auflagereaktionen ===
{| class="wikitable"
|-
|<math>A_v</math> ||vertikale Auflagerreaktion in Auflager A (Festlager; Gelenklager)
|-
|<math>A_h</math> ||horizontale Auflagereaktion in Auflager A
|-
|<math>B_v</math> ||vertikale Auflagerreaktion in Auflager B (Loslager; Rollenlager)
|-
|<math>B_h=0</math> ||horizontale Auflagerreaktion in Auflager B (verschwindet, da reibungsfrei beweglich gelagert)
|}

=== Lasten ===
{| class="wikitable"
|-
|<math>F_n</math> ||äußere Kräfte <math>F_1</math>, <math>F_2</math> usw.
|-
|<math>M_n</math> ||äußere Momente <math>M_1</math>, <math>M_2</math> usw.
|-
|<math>q</math> ||Streckenlast
|}

== Innere Kräfte (Schnittgrößen) ==
{| class="wikitable"
|-
|<math>N_x</math> ||Normalkraft im Balken
|-
|<math>Q_z</math> ||Querkraft im Balken
|-
|<math>M_y</math> ||Moment im Balken
|}

== Gleichgewichtsbedingungen ==
Alle äußeren Lasten und alle Auflagerkräfte sind im [[Mechanisches Gleichgewicht|Gleichgewicht]].
* Summe aller Vertikalkräfte: z. B. <math>\sum F_v=0=F_{1,z} +F_{2,z} +A_v +B_v</math>
* Summe aller Horizontalkräfte: z. B. <math>\sum F_h=0=F_{1,x} +F_{2,x} +A_h</math>
* Summe aller Momente: z. B. <math>\sum M_A=0=F_{1,z} \cdot x_1 +F_{2,z} \cdot x_2+B_v \cdot L</math>

In den drei Formeln sind drei Unbekannte enthalten <math> A_v </math>, <math> A_h </math>, <math> B_v </math>, die nach mathematischen Regeln lösbar sind. Es sind die Vorzeichen allerdings strikt zu beachten. Hier und in der oberen Skizze sind positiv: Vertikale Kräfte von oben nach unten, Horizontale Kräfte von links nach rechts, rechtsdrehende Momente.

== Maximales Biegemoment bei Gleichlast ==
[[Datei:Ql-2-8.svg|mini|Gleichlast, System und Momentenlinie]]
Als maximales Biegemoment eines Einfeldträgers mit Gleichlast ergibt sich:

: <math>M_\mathrm{max} = \frac{q \cdot l^2}{8}</math>

{| class="wikitable"
|+Formelsymbole
|<math>M_\mathrm{max}</math> ||maximales [[Biegemoment]] in Feldmitte [kNm]
|-
|<math>q</math> ||[[Streckenlast]] [kN/m]
|-
|<math>l</math> ||[[Stützweite]] des Trägers [m]
|}

Mit dieser Formel lassen sich auch viele andere statische Systeme in guter Näherung (auf der sicheren Seite) berechnen. Sie wird daher gerne für Überschlagsrechnungen ohne EDV-Unterstützung verwendet. Für den gelenkig gelagerten Einfeldträger mit Gleichlast ist die Formel allerdings eine exakte Lösung. Die Momentenlinie bildet dabei immer eine [[Parabel (Mathematik)|Parabel]].

'''Herleitung:'''

Aus den Summenformeln für horizontale und vertikale Kräfte ergibt sich folgendes:
: <math>A_h=0\,</math>
: <math>A_v=B_v= \frac{q \cdot l}{2}</math>
Die x-Achse wird in diesem Fall von links und in A beginnend angenommen:
: <math>M(x)= A_v \cdot x - q \cdot x \cdot \frac{x}{2}</math>
: <math>M(x)= q \cdot l \cdot \frac{x}{2} -q \cdot \frac{x^2}{2}</math>
Das Maximalmoment ist immer an der Stelle, wo die erste Ableitung der Momentenlinie null ist.
Die erste Ableitung von M(x) nach x ergibt folgende Formel:
: <math>M'(x) = q \cdot \frac {l}{2}-q \cdot x </math>
Nullsetzen der Formel ergibt einen x-Wert für die Stelle des lokalen Maximums:
: <math>0=q \cdot \frac {l}{2}-q \cdot x </math>
: <math>x= \frac {l}{2}</math>
Durch Einsetzen dieses Wertes in M(x) erhält man:
: <math>M(x)=M_\mathrm{max} = \frac{q \cdot l^2}{8}</math>

== Parabelstich ==
[[Datei:Ql-2-8-2.svg|mini|Belastung, System und Momentenlinie]]
Die obige Formel kann ebenfalls dazu verwendet werden, den Parabelstich zu ermitteln, wenn neben einer Gleichlast auch einzelne Lasten auftreten (Knick in der Momentenlinie).
{{Absatz}}

== Siehe auch ==
* [[Träger (Architektur)]]
* [[Balkentheorie]]
* [[Statische Berechnung]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Hrsg=A. Goris
|Titel=[[Schneider Bautabellen]] für Ingenieure
|Auflage=20.
|Verlag=Werner Verlag
|Ort=Köln
|Datum=2012
|ISBN=978-3-8041-5251-9
|Seiten=4.2 ff.}}

{{SORTIERUNG:Einfeldtrager}}
[[Kategorie:Träger (Statik)]]

Einfeldträger - Versionsgeschichte

imported>TaxonKatBot: Bot: Kategorie:Träger umbenannt in Kategorie:Träger (Statik): laut Diskussion