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2020-09-28T11:16:26Z

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In der [[Mathematik]] ist ein '''einfacher Modul''' (auch '''irreduzibler Modul''' genannt) eine besondere Form eines [[Modul (Mathematik)|Moduls]], also einer [[algebraische Struktur|algebraischen Struktur]]. Einfache Moduln erfüllen eine gewisse Minimalitätseigenschaft: Sie sind „kleinste“ Moduln in dem Sinne, dass sie keine noch kleineren Moduln „enthalten“. Einfache Moduln dienen in einem gewissen Sinn als „Bausteine“ anderer Moduln. Auf vergleichsweise leichte Weise aus einfachen Moduln aufgebaut sind zum Beispiel [[halbeinfach|halbeinfache Moduln]] oder [[Länge (Algebra)|Moduln endlicher Länge]].

Das Konzept der Einfachheit ist auch bei [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] anzutreffen. Dort spricht man analog von [[Einfache Gruppe (Mathematik)|einfachen Gruppen]]. Ebenso analog kann man für Moduln eine [[Reihe (Gruppentheorie)#Definitionen|Kompositionsreihe]] definieren. Es gelten dann ähnliche Resultate wie für Gruppen, insbesondere auch der [[Reihe (Gruppentheorie)#Sätze und Eigenschaften für absteigende Ketten|Satz von Jordan-Hölder]].

Moduln umfassen als Spezialfälle [[abelsche Gruppe]]n und [[Vektorraum|Vektorräume]]. In diesen Spezialfällen sind die einfachen Moduln die einfachen abelschen Gruppen (d. h. [[Endliche einfache Gruppe#Zyklische Gruppen mit Primzahlordnung|zyklische Gruppen mit Primzahlordnung]]) bzw. eindimensionale Vektorräume.

== Definition ==
Sei <math>R</math> ein [[Ring (Algebra)|Ring]] und <math>M</math> ein <math>R</math>-[[Modul (Mathematik)|Modul]] mit <math>M\neq \{0\}</math>.

<math>M</math> heißt einfach, wenn <math>\{0\}</math> und <math>M</math> die einzigen [[Untermodul]]n von <math>M</math> sind.

=== Äquivalente Definitionen ===
Ein Modul <math>M</math> über einem Ring <math>R</math> ist genau dann einfach, wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

* <math>M\neq \{0\}</math> und jedes Element außer <math>0</math> [[Erzeuger (Algebra)|erzeugt]] bereits <math>M</math>
* <math>M</math> ist [[Isomorphismus|isomorph]] zu einem [[Quotientenmodul]] <math>R/I</math>, wobei <math>I</math> ein [[maximales Ideal|maximales]] (Links- / Rechts-)Ideal des Rings <math>R</math> ist.
* <math>M</math> hat die [[Länge (Algebra)|Länge]] 1.

== Eigenschaften ==
Einfache Moduln sind stets [[Artinscher Modul|artinsch]] und [[Noetherscher Modul|noethersch]].

Viele Anwendungen hat das [[Lemma von Schur]]. Dieses besagt etwa, dass der [[Endomorphismus|Endomorphismenring]] <math>\operatorname{End}_R(M)</math> eines einfachen <math>R</math>-Moduls <math>M</math> ein [[Schiefkörper]] ist.

== Beispiele ==
* Ist <math>p</math> eine [[Primzahl]], so ist <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math> ein einfacher <math>\mathbb{Z}</math>-Modul. Dies ergibt sich aus der Tatsache, dass Moduln insbesondere Gruppen sind, und aus dem [[Satz von Lagrange]].
* Ist dagegen <math>n > 1</math> ''keine'' Primzahl, so ist <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> kein einfacher <math>\mathbb{Z}</math>-Modul. Denn dann besitzt <math>n</math> einen echten Teiler <math>m</math>, und der von <math>m</math> erzeugte Untermodul ist weder <math>0</math> noch der ganze Modul.
(Zusammengefasst: Die einfachen <math>\mathbb{Z}</math>-Moduln sind genau die <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math> für Primzahlen <math>p</math>.)
* Ist <math>R</math> ein [[Körper (Algebra)|Körper]], so sind <math>R</math>-Moduln nichts anderes als Vektorräume über <math>R</math>. Diese sind genau dann einfach, wenn sie eindimensional sind.

[[Kategorie:Modul (Mathematik)]]

[[Kategorie:Kommutative Algebra]]
[[Kategorie:Gruppentheorie]]

Einfacher Modul - Versionsgeschichte

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