imported>KlausTh-Mathe: /* Definition */ Symbol für Indikatorfkt. vereinheitlicht, Typo reale -> reelle korrigiert.

2025-10-21T14:49:59Z

Definition: Symbol für Indikatorfkt. vereinheitlicht, Typo reale -> reelle korrigiert.

Neue Seite

In der [[Mathematik]], speziell in der [[Analysis]], ist eine '''einfache Funktion''' eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die [[Messbare Funktion|messbar]] ist und nur endlich viele Werte annimmt. Dabei ist der Wertebereich <math>\R</math> oder allgemeiner ein [[Banachraum]]. Einfache Funktionen spielen eine zentrale Rolle in der [[Integralrechnung|Integrationstheorie]].

Eine einfache Funktion wird auch als '''Elementarfunktion'''<ref> {{Literatur|Autor=[[Achim Klenke]]|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |Seiten=39|DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}} </ref> oder als '''Treppenfunktion'''<ref>{{Literatur |Autor = [[Hans Wilhelm Alt]] |Titel = Lineare Funktionalanalysis |Auflage = 6. |Verlag = Springer-Verlag |Ort = Berlin Heidelberg |Jahr = 2012 |ISBN = 978-3-642-22260-3 |Seiten=77|DOI = 10.1007/978-3-642-22261-0}} </ref><ref> {{Literatur|Autor=[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]|Titel=Funktionalanalysis|Auflage=7., korrigierte und erweiterte Auflage|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Heidelberg Dordrecht London New York|Jahr=2011|ISBN=978-3-642-21016-7|Seiten= 32|DOI=10.1007/978-3-642-21017-4}}</ref> bezeichnet.

== Definition ==

Sei <math>(X,\Sigma)</math> ein [[Messraum (Mathematik)|Messraum]] und <math>V</math> ein (reeller oder komplexer) [[Banachraum]]. Eine Funktion <math>u \colon X\to V</math> heißt einfache Funktion, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:

* <math>u</math> nimmt nur endlich viele Werte <math>\{v_{1},\ldots,v_{n}\}</math> an
* <math>u</math> ist [[Messbare Funktion|messbar]], d. h. für alle <math>v \in V</math> gilt <math>u^{-1}(\{v\}) \in \Sigma</math>.

Ist <math>u \colon X\to V</math> sogar auf einem [[Maßraum]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math> definiert, so verlangt man manchmal noch zusätzlich, dass

* <math>\mu(u^{-1}(V\setminus\{0\}))</math>

endlich ist.<ref>Herbert Amann, [[Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]]: ''Analysis.'' Band 3. Birkhäuser, Basel u. a. 2001, ISBN 3-7643-6613-3, S. 65.</ref>

Dazu äquivalent ist, dass die Funktion <math>u</math> eine Darstellung der Form

: <math>u(x)=\sum^{n}_{i=1}v_i \cdot \chi_{E_i}(x)</math>

besitzt.
Dabei ist <math>v_i\in V</math> und <math>\chi_{E_i}</math> bezeichnet die [[Indikatorfunktion|charakteristische Funktion]] der messbaren Menge <math>E_i = u^{-1}(\{v_i\}) \in \Sigma</math>. Diese Darstellung nennt man [[Normalform|kanonisch]].

=== Abzählbarwertige Funktionen ===
Die Definition lässt sich auf eine unendliche Folge <math>A_1,A_2,\dots</math> messbarer disjunkter Mengen und eine unendliche Folge von reellen oder komplexen Werten <math>a_1,a_2,\dots</math> verallgemeinern
:<math>f(x)=\sum_{k=1}^{\infty} a_k\,\chi_{A_k}(x),</math>
welche man ''abzählbarwertige Funktion'' nennt.

== Eigenschaften ==

Summen, Differenzen und Produkte (vorausgesetzt, <math>V</math> ist eine [[Banachalgebra]]) von einfachen Funktionen sind wieder einfach, ebenso skalare Vielfache. Somit bildet die Menge der einfachen Funktionen einen [[Vektorraum]] (eine [kommutative] Algebra, wenn <math>V</math> eine [kommutative] Algebra ist) über <math>\mathbb{R}</math> bzw. <math>\mathbb{C}</math>.

== Verwendung ==

Einfache Funktionen spielen eine zentrale Rolle bei der Definition des [[Lebesgue-Integral]]s und des [[Bochner-Integral]]s. Dabei wird das Integral zunächst für positive (wenn <math>V \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}</math>) einfache Funktionen durch

: <math>\int_\Omega u\,{\rm d}\mu:=\sum_{i=1}^m v_i\mu(E_i)</math>

definiert und dann durch Approximation auf weitere Funktionen übertragen. Dabei ist <math>v_i</math> einer der endlich vielen Werte der einfachen Funktion <math>u</math>. <math>E_i = u^{-1}(\{v_i\})</math> ist die Menge der Werte, für die <math>u</math> gleich <math>v_i</math> ist.

== Abgrenzung zu Treppenfunktionen ==

Häufig werden einfache Funktionen mit [[Treppenfunktion (reelle Funktion)|Treppenfunktionen]] verwechselt, die zur Definition des [[Riemann-Integral]]s verwendet werden. Beide Funktionen nehmen nur endlich viele Funktionswerte an. Eine Treppenfunktion besteht jedoch auch nur aus endlich vielen Intervallen, auf denen sie konstante Funktionswerte hat. Eine einfache Funktion dagegen kann zum Beispiel auf beliebig vielen [[Intervall (Mathematik)|Intervallen]] immer abwechselnd zwei Funktionswerte annehmen und ist damit keine Treppenfunktion mehr. Insbesondere ist die Indikatorfunktion der rationalen Zahlen <math>\chi_{\mathbb{Q}}</math> ([[Dirichlet-Funktion]]) eine einfache Funktion, obwohl sie nicht Riemann-integrierbar ist.

== Literatur ==
* Richard M. Dudley: ''Real Analysis and Probability'' (= ''Cambridge Studies in Advanced Mathematics.'' Bd. 74). Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2002, ISBN 0-521-80972-X, S. 114–7.
* David Meintrup, [[Stefan Schäffler]]: ''Stochastik. Theorie und Anwendungen.'' Berlin, Heidelberg u. a. 2005, ISBN 3-540-21676-6.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Maßtheorie]]
[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

Einfache Funktion - Versionsgeschichte

imported>KlausTh-Mathe: /* Definition */ Symbol für Indikatorfkt. vereinheitlicht, Typo reale -> reelle korrigiert.