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2018-07-18T13:38:01Z

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Als '''einelementige Menge''', '''Elementarmenge''', '''Einermenge''' oder (englisch) '''Singleton''' werden in der [[Mathematik]] diejenigen [[Menge (Mathematik)|Mengen]] bezeichnet, die genau ein [[Element (Mathematik)|Element]] enthalten. Eine Menge ist also einelementig, genau dann, wenn sie die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] eins hat. Beispielsweise ist <math>\{1\}</math> eine einelementige Menge, aber auch <math>\{\{1,2,3\}\}</math>, denn hier ist das einzige Element die Menge <math>\{1,2,3\}</math> (welche wiederum nicht einelementig ist).

Die Existenz von einelementigen Mengen folgt in der [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]] aus dem [[Paarmengenaxiom]], welches besagt, dass für Mengen <math>x</math> und <math>y</math> auch <math>\{x,y\}</math> Menge ist. Wählt man <math>x = y</math>, so ist <math>\{x,y\} = \{x,x\} = \{x\}</math>. Die Existenz der einelementigen Menge, die die leere Menge enthält, folgt hierbei unter Benutzung des [[Leermengenaxiom]]s.

In [[natürliche Zahl#Von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen|von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen]] enthält jede natürliche Zahl <math>n</math> genau <math>n</math> Elemente, die einzige einelementige Zahl ist also <math>1 := \{\empty\}</math>.

Ist <math>X</math> eine beliebige Menge und ist <math>A=\{a\}</math> eine einelementige Menge, so gibt es genau eine Funktion von <math>X</math> nach <math>A</math>, nämlich <math>f \colon X \to A, x\mapsto a</math>. Damit ist die Menge aller Funktionen von <math>X</math> nach <math>A</math>, <math>A^X</math>, ebenfalls eine einelementige Menge.

In der [[Kategorientheorie|Kategorie]] der Mengen sind Einermengen [[Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt|terminale Objekte]] und zueinander isomorph. Die letzte Aussage im vorausgehenden Absatz kann dort also als die einfache Gleichung <math>1^X\simeq 1</math> formuliert werden.

== Äquivalenzen ==
<math>x</math> ist Element von <math>\{a\}</math> genau dann, wenn <math>x = a</math>.
:<math>x \in \{a\} \Longleftrightarrow x = a</math>
<math>\{a\}</math> und <math>\{b\}</math> haben leeren Schnitt genau dann, wenn <math>a</math> ungleich <math>b</math> genau dann, wenn <math>\{a\}</math> ungleich <math>\{b\}</math>.
:<math>\{a\} \cap \{b\} = \emptyset \Longleftrightarrow a \neq b \Longleftrightarrow \{a\} \neq \{b\}</math>
<math>\{a\} = \{b\}</math> genau dann, wenn <math>a = b</math>.
:<math>\{a\} = \{b\} \Longleftrightarrow a = b</math>

[[Kategorie:Mengenlehre]]

Einelementige Menge - Versionsgeschichte

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