imported>Thomas Dresler: Kommasetzung

2025-10-13T21:12:52Z

Kommasetzung

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'''Eigentliche Abbildungen''' sind spezielle [[Stetige Funktion|stetige]] [[Abbildung (Mathematik)|Abbildungen]], die im [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[mengentheoretische Topologie|mengentheoretischen Topologie]] untersucht werden. Im Wesentlichen zeichnen sich eigentliche Abbildungen dadurch aus, dass sie besonders gut mit [[Kompakter Raum|kompakten Mengen]] interagieren.

== Definitionen ==
Die Definition eigentlicher Abbildungen variiert von Autor zu Autor. Eine häufig verwendete Definition ist:
* Eine [[stetige Abbildung]] <math>f:X \to Y</math> heißt ''eigentlich'', wenn das [[Urbild (Mathematik)|Urbild]] jeder kompakten Menge [[Kompakter Raum|kompakt]] ist.
Viele Autoren fordern zusätzlich noch dass alle eigentlichen Abbildungen [[abgeschlossene Abbildung|abgeschlossen]] sind, also abgeschlossene Mengen auf abgeschlossene Mengen abbilden. Mit dieser strengeren Definition ist eine stetige Abbildung <math>f:X\to Y</math> also genau dann eigentlich wenn die folgenden äquivalenten<ref name="Stacks_005M">Stacks project: [https://stacks.math.columbia.edu/tag/005M Tag 005M]. Man beachte, dass dort kompakte Mengen und die drei hier diskutierten Eigentlichkeitsbegriffe ''quasi-compact'', ''quasi-proper'', ''Bourbaki-proper'' und ''proper'' genannt werden.</ref> Eigenschaften erfüllt sind:
* <math>f</math> ist abgeschlossen und das Urbild jeder kompakten Menge ist kompakt.
* <math>f</math> ist abgeschlossen und alle Fasern <math>f^{-1}(y)</math> sind kompakt.
* Für jeden [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] <math>Z</math> ist die Abbildung <math>f\times \operatorname{id}_Z:X\times Z\to Y\times Z, (x,z)\mapsto (f(x),z)</math> abgeschlossen.
* Für jede stetige Abbildung <math>g:Z\to Y</math> ist die zum [[Faserprodukt]] <math>X\times_YZ</math> von <math>f</math> und <math>g</math> gehörige Abbildung <math>f':X\times_YZ\to Z</math> abgeschlossen.
Für Abbildungen <math>f:X\to Y</math>, deren Zielraum <math>Y</math> [[Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und [[Hausdorff-Raum|Hausdorff]] ist, sind die beiden Definitionen äquivalent; im allgemeinen Fall gibt es aber auch stetige Abbildungen die nur nach der ersten Definition eigentlich sind. Im Folgenden ist mit „eigentlich“, sofern nicht anders angedeutet, stets die zweite Definition gemeint.

Einige Autoren fordern mit einer noch stärkeren Definition sogar, dass alle eigentlichen Abbildungen ''separiert'' sind in dem Sinne, dass ihre Fasern relativ zum Definitionsraum Hausdorff sind. Diese Definition ist vor allem in der [[algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] verbreitet, wegen ihrer Relation zu eigentlichen [[Schema (algebraische Geometrie)|Schemamorphismen]].<ref name="Stacks_005M" />

== Beispiele ==
* Jede stetige Abbildung von einem kompakten Raum in einen Hausdorff-Raum ist eigentlich.
* Jede [[Einbettung (Mathematik)|Einbettung]] mit abgeschlossenem Bild ist eigentlich, also insbesondere auch jeder [[Homöomorphismus]], jeder [[Diffeomorphismus]] und jede [[biholomorphe Abbildung]].
* [[Überlagerung (Topologie)|Überlagerungen]] sind genau dann eigentlich wenn sie endlichen Grad haben.
* Die Abbildung <math>f:X\to\{\textrm{pt.}\}</math> von <math>X</math> in einen einelementigen Raum ist eigentlich genau dann wenn <math>X</math> kompakt ist.
* [[konstante Abbildung|Konstante Abbildungen]] <math>f:X\to Y</math> sind immer eigentlich im Sinne der ersten Definition wenn <math>X</math> kompakt ist, aber nur dann eigentlich im Sinne der zweiten Definition wenn zudem noch <math>\textrm{im}(f)</math> in <math>Y</math> abgeschlossen ist.

== Eigenschaften ==
* Unter eigentlichen Abbildungen sind die Bilder abgeschlossener Mengen immer abgeschlossen und die Urbilder kompakter Mengen immer kompakt.
* Die Einschränkung <math>f|_A \colon A\to Y</math> einer eigentlichen Abbildung <math>f \colon X\to Y</math> auf einen abgeschlossenen [[Unterraum]] <math>A\subseteq X</math> ist immer eigentlich.
* Die Koeinschränkung <math>f|^A:X\to A</math> einer stetigen Abbildung <math>f:X\to Y</math> mit <math>\textrm{im}(f)\subseteq A\subseteq Y</math> ist eigentlich wenn <math>f</math> eigentlich ist. Die Umkehrung gilt wenn <math>A</math> abgeschlossen ist.
* Die [[Komposition (Mathematik)|Komposition]] eigentlicher Abbildungen ist wieder eigentlich. Topologische Räume zusammen mit den eigentlichen Abbildungen bilden also eine [[Kategorientheorie|Unterkategorie]] der Kategorie der stetigen Funktionen.
* Sind <math>X_1, X_2, Y_1, Y_2</math> topologische Räume und sind <math>f_1 \colon X_1\to Y_1, f_2 \colon X_2\to Y_2</math> eigentliche Abbildungen, so ist <math>f_1\times f_2 \colon X_1\times X_2\to Y_1\times Y_2</math> wieder eine eigentliche Abbildung.
* Ist <math>X</math> ein [[kompakter Raum]] und <math>Y</math> ein beliebiger topologischer Raum und <math>X\times Y</math> das topologische Produkt, dann ist die Projektion <math>\pi_Y \colon X\times Y\to Y, (x,y)\mapsto y</math> eine eigentliche Abbildung.

== Anwendungen ==
Eigentliche Abbildungen spielen eine Rolle in verschiedenen Konstruktionen mit kompakten Räumen. Zum Beispiel ist für stetige Funktionen <math>f:X\to Y</math> die durch <math>f(\infty):=\infty</math> definierte Fortsetzung <math>f^*:X^*\to Y^*</math> auf die [[Alexandroff-Kompaktifizierung|Einpunktkompaktifizierungen]] von <math>X</math> und <math>Y</math> genau dann stetig wenn unter <math>f</math> alle Urbilder von abgeschlossenen kompakten Mengen kompakt sind; da dies für alle eigentlichen Abbildungen der Fall ist aber nicht für alle stetigen Abbildungen bildet die Einpunktkompaktifizierung einen [[Funktor (Mathematik)|Funktor]] auf der Kategorie aller eigentlichen Abbildungen aber nicht auf der Kategorie aller topologischen Räume. Ein ähnliches Problem ergibt sich bei [[Kohomologie mit kompaktem Träger]]: diese ist ebenfalls nur auf der Kategorie der eigentlichen Abbildungen funktoriell, aber nicht auf der aller stetigen Abbildungen.<ref>[https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATcapprod.pdf Hatcher: The Duality Theorem] (PDF; 140 kB).</ref> Insbesondere ist sie nicht [[Homotopieäquivalenz|homotopieinvariant]], sondern wird nur von in dem Sinne eigentlichen Homotopieäquivalenzen erhalten als dass alle beteiligten Abbildungen (also die Abbildung selber, ihr Homotopieinverses und die beiden Homotopien) eigentliche Abbildungen sind.

== Literatur ==
* Gerd Laures, Markus Szymik: ''Grundkurs Topologie.'' Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2040-4.
* Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: ''Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie'' (= ''Berliner Studienreihe zur Mathematik.'' Bd. 15). Heldermann, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X.
* [[Boto von Querenburg]]: ''Mengentheoretische Topologie'' (= ''Springer-Lehrbuch''). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kompaktheit]]

Eigentliche Abbildung - Versionsgeschichte

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