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2025-04-27T16:31:18Z

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'''Eigenraum''' ist ein Begriff aus der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]]. Er bezeichnet die [[lineare Hülle]] der [[Eigenwertproblem|Eigenvektoren]] zu einem bestimmten [[Eigenwertproblem|Eigenwert]] eines [[Endomorphismus]]. Die Eigenvektoren – zusammen mit dem Nullvektor – spannen damit einen [[Untervektorraum]] auf.

Eine Verallgemeinerung des Eigenraums ist der [[Hauptraum]]. Hat ein Eigenwert die [[algebraische Vielfachheit]] 1, so sind für diesen Eigenwert Eigenraum und Hauptraum gleich.

== Definition ==
Sei <math>V</math> ein [[Vektorraum]] über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> und <math>\varphi \in \operatorname{End}(V)</math> ein [[Endomorphismus]], das heißt eine [[lineare Abbildung]] <math>\varphi \colon V \to V</math>. Der Eigenraum <math>E(\lambda)</math> zum Eigenwert <math>\lambda</math> von <math>\varphi</math> ist dann

:<math>
\begin{align}
E(\lambda)&:=\operatorname{Kern}(\varphi - \lambda \operatorname{id}_V) \\
&=\left\{ v \in V \mid \varphi (v)= \lambda v \right\} \\
&=\left\{ v \in V \mid v \neq 0, \ \varphi(v) = \lambda v \right\} \cup \left\{ 0 \right\}
\end{align}
</math>
Dabei bezeichnet <math>\operatorname{id}_V</math> die [[Identische Abbildung|Identitätsabbildung]] auf <math>V</math>. Mit anderen Worten, <math>E\left(\lambda\right)</math> ist die lineare Hülle der zu <math>\lambda</math> gehörigen Eigenvektoren.

Man sagt dann auch, <math>E\left(\lambda\right)\subseteq V</math> ist invariant bezüglich des Endomorphismus <math>\varphi</math> oder ''<math>E\left(\lambda\right)</math> ist ein <math>\varphi</math>-invarianter Untervektorraum von <math>V</math>''. Die Elemente <math>v
</math> von <math>E\left(\lambda\right)</math> sind dann die Eigenvektoren zum Eigenwert <math>\lambda</math> von <math>\varphi</math>, sowie der [[Nullvektor]].

== Geometrische Vielfachheit ==
Die [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] des Eigenraums <math>E \left (\lambda\right)</math> wird als ''geometrische Vielfachheit'' von <math>\lambda</math> bezeichnet. Sie ist dabei stets mindestens 1 und höchstens gleich der [[Algebraische Vielfachheit|algebraischen Vielfachheit]] von <math>\lambda</math>. Wenn die Dimension des Eigenraums <math>E \left (\lambda\right)</math> größer als 1 ist, wird der Eigenwert ''entartet'' genannt, anderenfalls heißt er ''nichtentartet''.

== Eigenschaften ==

* Existiert ein Eigenwert <math>\lambda=0</math> von <math>\varphi</math>, so ist der zugehörige Eigenraum <math>E\left(\lambda\right)</math> gleich dem [[Kern (Algebra)|Kern]] von <math>\varphi</math>. Denn <math>\operatorname{Kern}\left(\varphi\right)=\left\{x\in V \mid \varphi\left(x\right)=0\right\}</math> und nach Definition des Eigenraumes: <math>E\left(0\right)=\left\{x\in V \mid \varphi\left(x\right)=0x=0\right\}</math>.

* Die Summe von Eigenräumen zu <math>n</math> [[paarweise verschieden]]en Eigenwerten <math>\lambda_1,\dotsc,\lambda_n</math> von <math>\varphi</math> ist [[Direkte Summe#Innere direkte Summe|direkt]]:
::<math>E(\lambda _1) + \dots +E(\lambda _n) = E(\lambda _1) \oplus \dots \oplus E(\lambda _n)</math>

* Gilt im obigen Fall <math>E(\lambda _1) + \dots +E(\lambda _n) = V</math>, so besitzt <math>V</math> eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] aus Eigenvektoren von <math>\varphi</math>. In diesem Fall ist jede [[Darstellungsmatrix]] <math>A</math> von <math>\varphi\in\operatorname{End}\left(V\right)</math> bezüglich einer Basis von <math>V</math> diagonalisierbar, das heißt die Darstellungsmatrix <math>A'</math> von <math>\varphi</math> bezüglich einer Basis von <math>V</math> aus Eigenvektoren von <math>\varphi</math> hat [[Diagonalmatrix|Diagonalgestalt]]. In der [[Hauptdiagonale]] von <math>A'</math> stehen dann die Eigenwerte von <math>\varphi</math>:
::<math> A'=
\begin{pmatrix}
\lambda _1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0 \\
0 & \cdots & 0 & \lambda_n
\end{pmatrix}</math>

* Ist <math>V</math> ein [[Prähilbertraum]] und <math>\varphi \in\operatorname{End}(V)</math> [[Selbstadjungierter Operator|selbstadjungiert]], so sind die Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten paarweise zueinander [[Orthogonalität|orthogonal]].

== Literatur ==
* Gerd Fischer: ''Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger''. 17. aktualisierte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4, (''Studium. Grundkurs Mathematik'').

[[Kategorie:Vektorraum]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Eigenraum - Versionsgeschichte

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