imported>Boehm: typog

2025-01-05T20:14:04Z

typog

Neue Seite

Eine '''Eichtransformation''' verändert die [[Eichtheorie|Eichfelder]] einer physikalischen Theorie (z. B. die elektromagnetischen Potentiale oder die [[potentielle Energie]]) dergestalt, dass die physikalisch wirksamen Felder (z. B. das [[elektromagnetisches Feld|elektromagnetische Feld]] oder ein [[Kraftfeld]]) und damit alle beobachtbaren Abläufe dabei die gleichen bleiben.<ref>{{Cite web | author=Robert G. Brown | url=https://webhome.phy.duke.edu/~rgb/Class/Electrodynamics/Electrodynamics/node30.html | title=Gauge Transformations | language=englisch | quote=A gauge transformation can be broadly defined as any formal, systematic transformation of the potentials that leaves the fields invariant.| accessdate=2013-01-17}}</ref> Dies wird als '''Eichfreiheit''' bezeichnet.

Man unterscheidet:
* globale Eichtransformationen: sie werden an jedem Ort mit gleichem Wert durchgeführt, z. B. die Verschiebung des Nullpunkts der potentiellen Energie, die Wahl des Referenzpotentials bei der Messung elektrischer Spannungen, ein konstanter Phasenfaktor an der komplexen [[Wellenfunktion]] der [[Quantenmechanik]].
* lokale Eichtransformationen: dabei werden die Veränderungen an einem Parameter nicht durch einen einzigen Wert bestimmt, sondern mit Hilfe einer örtlich und/oder zeitlich variierenden Funktion.

Eine [[Wirkung (Physik)|physikalische Wirkung]], die invariant unter lokalen Eichtransformationen ist, wird als ''eichinvariante'' Wirkung bezeichnet. Eine Theorie, die nach dem [[Hamiltonsches Prinzip|Prinzip der kleinsten Wirkung]] aus einer eichinvarianten Wirkung die physikalischen [[Bewegungsgleichung]]en gewinnt, wird als [[Eichtheorie]] bezeichnet. Alle fundamentalen Wechselwirkungen – [[Gravitation]], [[Elektromagnetismus]], [[schwache Wechselwirkung]] ([[Beta-Zerfall]] des Neutrons) und die
[[starke Wechselwirkung]] (Kernkräfte) – werden durch solche Eichtheorien beschrieben.

Nach dem [[Noether-Theorem]] weist die einer Eichtransformation zugrundeliegende Symmetrie auf die Existenz einer [[Erhaltungsgröße]] hin.

== Elektrodynamik ==
Die [[Elektrodynamik]] ist invariant unter der Eichtransformation
: <math>\phi'(\vec r, t) = \phi(\vec r, t) - \frac{\partial}{\partial t} \Lambda(\vec r, t)\ ,</math>
: <math>\vec A'(\vec r, t) = \vec A(\vec r, t) + \operatorname{grad} \Lambda(\vec r, t)\ ,</math>
welche das [[elektrisches Potential|elektrische Potential]] <math>\phi</math> und das [[Magnetisches Potenzial|magnetische Potential]] <math>\vec{A}</math>
um die [[partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] einer beliebig wählbaren Funktion <math>\Lambda</math> ändert.

Diese Transformation ändert weder das [[Magnetfeld]]

:<math>\vec{B} = \operatorname{rot} \vec{A}</math>

noch das [[elektrisches Feld|elektrische Feld]]

:<math>\vec{E} = -\operatorname{grad} \phi - \frac{\partial}{\partial t} \vec{A}</math>

Zur Definition von <math>\operatorname{grad}</math> und <math>\operatorname{rot}</math> siehe [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] und [[Rotation (Mathematik)|Rotation]].

=== Auswirkung auf die Wellenfunktion (Quantenmechanik) ===
Sei die [[Wellenfunktion]] <math>\psi(\vec r,t) </math> eine Lösung der [[Schrödingergleichung]]
:<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi(\vec r,t) = \left[\frac{1}{2m} \left(\hat{\mathbf{p}} - q\mathbf{A}(\vec r,t)\right)^2 + \phi(\vec r, t)\right] \psi(\vec r,t)\, </math> eines Teilchens der Ladung <math>q</math> und Masse <math>m</math> für die Potentiale <math>\vec A</math> und <math>\phi</math> (siehe oben).

Dann ist <math>\psi'(\vec r,t):=\psi(\vec r,t) \cdot e^{-\frac{iq}{\hbar}\Lambda(\vec r, t)} </math> eine Lösung der Schrödingergleichung
:<math> i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi'(\vec r,t) = \left[\frac{1}{2m} \left(\hat{\mathbf{p}} - q\mathbf{A'}(\vec r,t)\right)^2 + \phi'(\vec r, t)\right] \psi'(\vec r,t)\, </math> des Teilchens für die eichtransformierten Potentiale.<ref>{{Internetquelle |url=https://mpl.mpg.de/fileadmin/user_upload/Exercise_2.pdf |titel=Exercise 1: Gauge transformation and wave function |abruf=2023-03-11 |werk=mpl.mpg.de}}</ref>

Die beiden Wellenfunktionen <math>\psi(\vec r,t) </math> und <math>\psi'(\vec r,t)</math> haben dabei für alle <math>\vec r</math> und <math>t</math> jeweils denselben Betrag, weil <math>\left |e^{-\frac{iq}{\hbar}\Lambda(\vec r, t)}\right| = 1</math>.

== Beispiele ==
Eichtransformationen können genutzt werden, um Berechnungen zu vereinfachen.

Die Beispiele verwenden das Maßsystem mit <math>c = 1</math>.

=== Lorenz-Eichung ===
{{Hauptartikel|Lorenz-Eichung}}
Durch die nach [[Ludvig Lorenz]] benannte Eichtransformation mit einer [[Eichfunktion]] <math>\psi\ </math>, die

:<math>\nabla^2\psi - \frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi = - \left(\nabla \cdot \vec{A} + \frac{\partial}{\partial t} \phi\right) </math>

erfüllt, werden die inhomogenen [[Maxwellgleichungen]] zu zwei unabhängigen Wellengleichungen von <math>\phi\ </math> und <math>\vec{A}</math>.

=== Coulomb-Eichung ===
{{Hauptartikel|Coulomb-Eichung}}
Erfüllt die Eichfunktion <math>\psi</math> hingegen

:<math>\nabla^2\psi = - \nabla \cdot \vec{A}\ ,</math>

so hilft die Transformation, das [[Skalarfeld]] <math>\phi</math> gerade zum [[Coulombpotential|Coulomb-Potential]] der Ladungen zu transformieren; <math>\phi</math> erfüllt dann die [[elektrostatisch]]e [[Poisson-Gleichung#Elektrostatik|Poissongleichung]].

== Allgemeine Relativitätstheorie ==
Ebenso ist die [[Allgemeine Relativitätstheorie]] eine Eichtheorie, deren Eichtransformation neue Koordinaten als frei wählbare Funktionen der bisherigen Koordinaten festlegt:
:<math> x'^\mu = x'^\mu (x^\mu)\ .</math>
Die Wirkung der Allgemeinen Relativitätstheorie ändert sich unter dieser Eichtransformation nicht.

== Literatur ==
<references />

[[Kategorie:Feldtheorie]]
[[Kategorie:Transformation]]

[[en:Gauge transformation]]

Eichtransformation - Versionsgeschichte

imported>Boehm: typog