imported>Unterathena: Doppelte Verlinkung entfernt

2025-09-16T21:17:20Z

Doppelte Verlinkung entfernt

Neue Seite

{{Dieser Artikel|behandelt allgemein Eichtheorien. Nichtabelsche Eichtheorien werden im Artikel [[Yang-Mills-Theorie]] behandelt.}}

Unter einer '''Eichtheorie''' oder '''Eichfeldtheorie''' versteht man eine [[Feldtheorie (Physik)|physikalische Feldtheorie]], die einer ''lokalen'' '''Eichsymmetrie''' genügt.

Anschaulich bedeutet dies, dass die von der Theorie vorhergesagten Wechselwirkungen sich nicht ändern, wenn eine bestimmte Größe, die auch vom Ort abhängen kann, frei gewählt wird. Diese Möglichkeit, eine Größe an jedem Ort unabhängig festzulegen – zu [[Eichung|eichen]] wie einen Maßstab – veranlasste den deutschen Mathematiker [[Hermann Weyl]] in den 1920er Jahren zur Wahl des Namens ''Eichsymmetrie'' bzw. ''Eichinvarianz''.

Man unterscheidet lokale von globalen [[Eichtransformation]]en, je nachdem ob die Transformation ortsabhängig ist (lokal) oder nicht (global). Eichfelder treten bei lokalen Eichtransformationen auf und stellen die Invarianz des dynamischen Systems bei lokalen Eichtransformationen sicher.

== Geschichte ==
Das [[Magnetisches Vektorpotential|Vektorpotential]] wurde schon im 19. Jahrhundert in der [[Elektrodynamik|elektrodynamischen]] Theorie verwendet, z. B. von [[Franz Ernst Neumann]] (1847), [[Gustav Robert Kirchhoff|Gustav Kirchhoff]] (1857) und [[Hermann von Helmholtz]] (1870 bis 1874). Letzterer war schon nahe an der Entdeckung der Invarianz unter Eichtransformationen und führte eine [[Lorenz-Eichung]] ein, allerdings nur für [[quasistatisch]]e Probleme.

Die Invarianz unter Eichtransformationen wurde auch von [[James Clerk Maxwell]] z. B. in seinem Hauptwerk ''Treatise on Electricity and Magnetism'' formuliert, doch noch nicht in allgemeinster Form (er bevorzugte die [[Coulomb-Eichung]]). Die Lorenz-Eichung für volle [[Retardiertes Potential|retardierte Potentiale]] stammt von [[Ludvig Lorenz]] (1867)<ref>{{Literatur |Autor=L. Lorenz |Titel=Ueber die Identität der Schwingungen des Lichts mit den elektrischen Strömen |Sammelwerk=Annalen der Physik und Chemie |Band=207 |Nummer=6 |Datum=1867 |DOI=10.1002/andp.18672070606 |Seiten=243–263 |Online=https://archive.org/download/crossref-pre-1909-scholarly-works/10.1002%252Fandp.18652021102.zip/10.1002%252Fandp.18672070606.pdf |Abruf=2023-03-16}}</ref> und wurde außerdem rund 25 Jahre später von [[Hendrik Antoon Lorentz]] dargestellt.

Die moderne Auffassung einer Eichtheorie als Folge eines lokal veränderlichen [[Zustand (Quantenmechanik) #Phasenfaktor und Superposition|Phasenfaktors]] der [[Wellenfunktion]] wird meist [[Hermann Weyl]] (1929) zugeschrieben, findet sich aber auch schon 1926 von [[Wladimir Fock]] formuliert.<ref>{{Literatur |Autor=V. Fock |Titel=Über die invariante Form der Wellen- und der Bewegungsgleichungen für einen geladenen Massenpunkt |Sammelwerk=Zeitschrift für Physik |Band=39 |Nummer=2–3 |Datum=1926-02 |ISSN=1434-6001 |DOI=10.1007/BF01321989 |Seiten=226–232 |Online=https://link.springer.com/article/10.1007/BF01321989 |Abruf=2023-03-16}}</ref> Das geschah im Rahmen der Diskussion der [[relativistisch]]en [[Wellengleichung]] für massive [[spin]]lose Teilchen, wobei das Vektorpotential über die minimale Kopplung (siehe unten) einfließt. Gleichzeitig mit Fock veröffentlichten [[Erwin Schrödinger]] und [[Oskar Klein]] entsprechende Arbeiten.

Weyl hatte schon 1919 vor der Entwicklung der [[Quantenmechanik]] im Rahmen eines Versuchs der Erweiterung der [[Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeinen Relativitätstheorie]], die auch die Elektrodynamik umfasst, einen lokal veränderlichen Längenmaßstab als Eichfaktor eingeführt.<ref>{{Literatur |Autor=H. Weyl |Titel=Eine neue Erweiterung der Relativitätstheorie |Sammelwerk=Annalen der Physik |Band=364 |Nummer=10 |Datum=1919 |DOI=10.1002/andp.19193641002 |Seiten=101–133 |Online=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/andp.19193641002 |Abruf=2023-03-16}}</ref> Durch eine Umformulierung auf komplexe Phasen im Rahmen der Quantenmechanik gab er 1929 die Formulierung von Eichtheorien im heutigen Sinn,<ref>{{Literatur |Autor=Hermann Weyl |Titel=Elektron und Gravitation. I |Sammelwerk=Zeitschrift für Physik |Band=56 |Nummer=5–6 |Datum=1929-05 |ISSN=1434-6001 |DOI=10.1007/BF01339504 |Seiten=330–352 |Online=https://link.springer.com/article/10.1007/BF01339504 |Abruf=2023-03-16}}</ref> was unabhängig auch zuvor schon [[Fritz London]] getan hatte.<ref>{{Literatur |Autor=F. London |Titel=Die Theorie von Weyl und die Quantenmechanik |Sammelwerk=Die Naturwissenschaften |Band=15 |Nummer=8 |Datum=1927-02 |ISSN=0028-1042 |DOI=10.1007/BF01505037 |Seiten=187–187 |Online=https://link.springer.com/article/10.1007/BF01505037 |Abruf=2023-03-16}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=F. London |Titel=Quantenmechanische Deutung der Theorie von Weyl |Sammelwerk=Zeitschrift für Physik A Hadrons and nuclei |Band=42 |Nummer=5–6 |Datum=1927-05 |ISSN=0939-7922 |DOI=10.1007/BF01397316 |Seiten=375–389 |Online=https://link.springer.com/article/10.1007/BF01397316 |Abruf=2023-03-16}}</ref>

Die Elektrodynamik ist der einfachste Fall einer Eichtheorie mit [[Abelsche Gruppe|abelscher]] [[Eichgruppe]] [[Unitäre Matrix|U(1)]], den Fall nichtabelscher Eichgruppen ([[Yang-Mills-Theorie]], nichtabelsche Eichtheorie) behandelten zuerst [[Chen Ning Yang]] und [[Robert L. Mills]] 1954.<ref>{{Literatur |Autor=C. N. Yang, R. L. Mills |Titel=Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance |Sammelwerk=Physical Review |Band=96 |Nummer=1 |Datum=1954-10-01 |Sprache=en |ISSN=0031-899X |DOI=10.1103/PhysRev.96.191 |Seiten=191–195 |Online=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.96.191 |Abruf=2023-03-16}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=R. Jackiw |Titel=Introduction to the Yang-Mills quantum theory |Sammelwerk=Reviews of Modern Physics |Band=52 |Nummer=4 |Datum=1980-10-01 |Sprache=en |ISSN=0034-6861 |DOI=10.1103/RevModPhys.52.661 |Seiten=661–673 |Online=https://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.52.661 |Abruf=2023-03-16}}</ref>

== Eichtheorien in der Physik der Elementarteilchen ==
Die moderne [[Teilchenphysik]] ist bestrebt, das Verhalten der [[Elementarteilchen|elementaren Teilchen]] aus möglichst einfachen ersten Prinzipien abzuleiten. Ein nützliches Hilfsmittel ist dabei die Forderung nach einer [[Gruppentheorie|Gruppe von Transformationen]] (z. B. Rotationen) der beteiligten [[Feld (Physik)|Felder]], unter der die Dynamik der Teilchen invariant bleibt. Diese ''Symmetrie'' oder ''Eichfreiheit'' schränkt die Gestalt der zu konstruierenden [[Lagrangedichte]] enorm ein und hilft so bei der Konstruktion der gesuchten Theorie.

Allgemein lässt sich in einer Eichtheorie eine [[kovariante Ableitung]] definieren, aus dieser ein [[Feldstärketensor]] und somit eine Lagrangedichte und eine [[Wirkung (Physik)|Wirkung]] konstruieren, aus der sich per [[Variationsrechnung|Variation]] die [[Bewegungsgleichung]]en und [[Erhaltungsgröße]]n ergeben.


Das [[Standardmodell|Standardmodell der Elementarteilchenphysik]] enthält zwei solcher Eichtheorien:
* die Theorie der [[Elektroschwache Wechselwirkung|elektroschwachen Wechselwirkung]] mit der [[Symmetriegruppe]] <math>SU(2)_I \times U(1)_Y</math> und
* die [[Quantenchromodynamik|Theorie der starken Wechselwirkung]] mit der Symmetriegruppe <math>SU(3)\,\!_C</math>.

Das [[Noether-Theorem]] garantiert, dass jedem Teilchen, das der zu beschreibenden [[Grundkräfte der Physik|Wechselwirkung]] unterliegt, eindeutig eine ''erhaltene Ladung'' zugeordnet werden kann, z. B. [[elektrische Ladung]] <math>Q</math>, [[Hyperladung]] <math>Y</math>, [[schwacher Isospin]] <math>I_3</math>, [[Farbladung]] <math>C</math>.

Es gibt auch eine Eichtheorie-Formulierung der Gravitation, sowohl der [[Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeinen Relativitätstheorie]] (ART) als auch erweiterter Theorien. Das erkannte zuerst [[Ryoyu Utiyama]] 1956, der die [[Lorentzgruppe]] <math>SO (3,1)</math> als Eichgruppe benutzte. Das war noch nicht vollständig korrekt, die korrekte Eichgruppe ist die [[Poincaré-Gruppe]] (die auch Translationen einbezieht), wie [[Dennis Sciama]] und [[T. W. B. Kibble]] 1961 erkannten. In diesen Zusammenhang fügte sich auch die [[Einstein-Cartan-Theorie]] als Verallgemeinerung der ART ein (bei ihr ist der [[Spin]] von Materie mit der Torsion der [[Raumzeit]] verbunden, analog der Verbindung von Energie-Impuls mit dem [[Riemannscher Krümmungstensor|Riemannschen Krümmungstensor]] in der ART).<ref>{{Literatur |Autor=F. Gronwald, F. W. Hehl |Titel=On the Gauge Aspects of Gravity |Datum=1996 |Sprache=en |arXiv=gr-qc/9602013 |DOI=10.48550/ARXIV.GR-QC/9602013}}</ref>

== Eichtheorie am Beispiel der Elektrodynamik ==

=== Eichsymmetrie der Bewegungsgleichung von Punktteilchen ===

Die Energie eines Teilchens in einem äußeren statischen Potenzial lässt sich schreiben als
:<math>E = \frac{1}{2}m\vec v^{\,2} + V(\vec x)</math>
mit vorgegebenem Potenzial <math>V(\vec x)</math>.

Definiert man nun den Impuls als
:<math>\vec p = m \vec v</math>,
so kann man die Energie auch schreiben als
:<math>E = \frac{\vec p^{\,2}}{2m} + V(\vec x)</math>.

Wenn man nach der [[Hamiltonsche Mechanik|hamiltonschen Mechanik]] die Energie als Funktion von Ort und Impuls beschreibt, also
:<math>E = H(\vec x,\vec p)</math>
dann erhält man aus deren Ableitungen die [[Bewegungsgleichung]]en:
:<math>\dot x_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}</math>
:<math>\dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial x_i}</math>

Für die oben genannte Energie ergibt das:
:<math>\dot x_i = \frac{p_i}{m} = v_i</math>
:<math>\dot p_i = -\frac{\partial V}{\partial x_i} = F_i</math>

Wenn man zum Potenzial und zum Impuls jeweils noch einen konstanten Term hinzufügt, also definiert:
:<math>V_1(\vec x) = V(\vec x) + V_0</math>
:<math>\vec p_1 = m\vec v + \vec p_0</math>
und dann die Bewegung des Teilchens mittels der „Index-1-Größen“ beschreibt, so lautet die Energie
:<math>E = \frac{|\vec p_1 - \vec p_0|^2}{2m} + V_1(\vec x) - V_0</math>
und die Bewegungsgleichungen sind:
:<math>\dot x_i = \frac{\partial H}{\partial (p_1)_i}
= \frac{(p_1)_i - (p_0)_i}{m} = v_i</math>
:<math>(\dot p_1)_i = -\frac{\partial V}{\partial x_i} = F_i</math>
Da außerdem
:<math>\dot{\vec p} = \dot{\vec p}_1</math>
gilt (denn Konstanten verschwinden ja in der Ableitung), sind das genau dieselben Bewegungsgleichungen.

Es ist also möglich, sowohl für die Energie als auch für den Impuls einen konstanten Summanden festzulegen, ohne die dadurch beschriebene Physik zu verändern. Diese Eigenschaft nennt man ''globale Eichsymmetrie.''

Nun stellt sich die Frage, ob man stattdessen auch nichtkonstante Größen addieren kann, ohne die Bewegungsgleichungen zu verändern, also allgemein
:<math>V_1(x) = V(x) + q\phi(x, t)\,</math>
:<math>\vec p_1(x) = m\vec v + q\vec A(x, t),</math>
wobei die Konstante ''q'' herausgezogen wurde, weil es sich nachher als praktisch erweisen wird; für die Argumentation hat diese Tatsache aber keine Bedeutung.

Es ist unmittelbar klar, dass es nicht möglich ist, beliebige Funktionen für <math>\phi</math> und <math>\vec A</math> zu verwenden, da z. B. ein beliebiges <math>\phi</math> wie ein zusätzliches Potenzial wirkt. Nimmt man für beide Größen beliebige Funktionen an, so zeigt Nachrechnen, dass die Bewegungsgleichungen gegeben sind durch:
:<math>\dot{\vec x} = \vec v</math>
:<math>\dot{\vec p} = q\vec v\times\operatorname{rot}\,\, \vec A - q\,\frac{\partial\vec A}{\partial t} - q\,\operatorname{grad}\,\, \phi -\operatorname{grad}\,\, V(\vec{x})</math>

Dies sind aber gerade die Bewegungsgleichungen, die man erwarten würde, wenn das Teilchen die Ladung ''q'' hat und sich außer im Potenzial ''V'' auch noch im elektrischen Feld
:<math>\vec E = - \frac{\partial\vec A}{\partial t} - \operatorname{grad}\,\, \phi</math>
und im magnetischen Feld
:<math>\vec B = \operatorname{rot}\,\, \vec A</math>
bewegt.

Die Bewegung wird nun nicht geändert, wenn eine Änderung von <math>\phi</math> und <math>\vec A</math> zu <math>\phi' = \phi+ \delta \phi</math> und <math>\vec A' = \vec A + \delta \vec A</math> die Felder <math>\vec E</math> und <math>\vec B</math> nicht ändert (also insbesondere die Felder auf null lässt, wenn sie vorher null waren). Das bedeutet, dass <math>\delta \phi </math> und <math>\delta \vec A</math> die Gleichungen <math>\textstyle \operatorname {rot} \delta \vec A = 0</math> und <math>\textstyle \partial_t \delta \vec A + \operatorname {grad} \delta \phi =0</math> erfüllen müssen. Da die Rotation eines Gradientenfeldes stets null ist, ist klar, dass die erste dieser Gleichungen erfüllt ist (und daher das magnetische Feld unverändert bleibt), wenn für <math>\delta \vec A</math> der Gradient einer beliebigen zeit- und ortsabhängigen Funktion gewählt wird. Um die zweite Gleichung zu erfüllen, muss man dann als <math>-\delta \phi</math> die Zeitableitung dieser Funktion setzen, also das Potenzial entsprechend verringern. Wählt man also die Orts- und negative Zeitableitung ein und derselben Funktion als <math>\delta \vec A</math> und <math>\delta \phi</math>, ändern sich die Bewegungsgleichungen für das Teilchen nicht. Durch eine solche Wahl ist daher eine ''lokale Eichsymmetrie'' gegeben.

=== Eichsymmetrie der quantenmechanischen Wellenfunktion ===

In der [[Quantenmechanik]] werden Teilchen nicht mehr durch Ort und Impuls, sondern durch die sogenannte [[Wellenfunktion]] <math>\psi(\vec x,t)</math> beschrieben. Diese ist ein Feld, also eine Funktion von Raum und Zeit, und im Allgemeinen [[Komplexe Zahlen|komplex]] (z. B. ist sie in der nichtrelativistischen Schrödingergleichung ein komplexer Skalar und in der [[Dirac-Gleichung]] ein komplexer [[Spinor]]). Allerdings ist sie nicht eindeutig: Die Wellenfunktionen <math>\psi(\vec x,t)</math> und <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\psi(\vec x,t)</math> mit beliebig gewähltem, reellen <math>\phi</math> beschreiben beide denselben Zustand. Hierbei handelt es sich wiederum um eine globale Symmetrie. Mathematisch wird diese Symmetrie durch die [[Lie-Gruppe]] [[U(1)]] beschrieben, denn diese besteht genau aus den Zahlen <math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}</math>.

Wie vorher im Fall der klassischen Bewegungsgleichung stellt sich hier die Frage, ob man statt der globalen Phase auch eine orts- und zeitabhängige Phase einführen könnte. Nun treten jedoch in der Bewegungsgleichung der Wellenfunktion ([[Schrödingergleichung]], Dirac-Gleichung etc.) [[partielle Ableitung]]en auf, die bei der so veränderten Wellenfunktion zu Zusatztermen führen:
:<math>\frac{\partial}{\partial t}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi(\vec x,t)}\psi(\vec x,t)\right) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi(\vec x,t)}\frac{\partial}{\partial t}\psi(\vec x,t) + \mathrm{i}\frac{\partial\phi(\vec x,t)}{\partial t}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi(\vec x,t)}\psi(\vec x,t)</math>
:<math>\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi(\vec x,t)}\psi(\vec x,t)\right) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi(\vec x,t)}\frac{\partial}{\partial x_i}\psi(\vec x,t) + \mathrm{i}\frac{\partial\phi(\vec x,t)}{\partial x_i}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi(\vec x,t)}\psi(\vec x,t)</math>
Diese Beziehungen kann man auch so interpretieren, dass die partiellen Orts- und Zeitableitungen durch die Ableitungsoperatoren
:<math>\operatorname{D}_t = \frac{\partial}{\partial t} + \mathrm{i}\frac{\partial\phi(\vec x,t)}{\partial t}</math>
:<math>\operatorname{D}_{x_i} = \frac{\partial}{\partial x_i} + \mathrm{i}\frac{\partial\phi(\vec x,t)}{\partial x_i}</math>
ersetzt werden. Der Zusammenhang mit dem elektromagnetischen Feld erschließt sich, wenn man die Form der Schrödingergleichung betrachtet:
:<math>\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\vec x, t) = \hat H\psi(\vec x, t),</math>
wobei im [[Hamiltonoperator]] <math>\hat H</math> die Ortsableitungen über die Komponenten des Impulsoperators
:<math>\hat p_i = -\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial x_i}</math>
auftreten. Ersetzen wir im Impulsoperator nun <math>\frac{\partial}{\partial x_i}</math> durch <math>\operatorname{D}_{x_i}</math>, so erhalten wir:
:<math>\hat p_i = -\mathrm{i}\hbar \operatorname{D}_{x_i} = -\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial x_i} + \hbar\frac{\partial\phi(\vec x,t)}{\partial x_i}</math>
Es tritt also ein zusätzlicher Summand auf, der wie ein Beitrag zum elektromagnetischen Vektorpotential <math>\vec A</math> aussieht. Analog ergibt sich beim Einsetzen von <math>\operatorname{D}_t</math> in die Schrödingergleichung ein zusätzlicher Potentialterm der Form <math>\frac{\partial\phi(\vec x,t)}{\partial t}</math>. Diese zusätzlichen elektromagnetischen Potentiale erfüllen aber gerade die Eichbedingung für elektromagnetische Felder, sodass die Physik in der Tat durch die lokale Phase nicht beeinflusst wird, sondern nur in der Beschreibung die elektromagnetischen Potentiale angepasst werden müssen.

Im Zusammenhang mit Beziehungen der Art <math>\vec p \to \vec p+q\vec A</math> spricht man oft von „[[Minimale Kopplung|minimaler Kopplung]]“.

== Eichtheorien in der Mathematik ==
In der [[Mathematik]] spielen Eichtheorien ebenfalls eine bedeutende Rolle bei der Klassifikation [[vierdimensional]]er [[Mannigfaltigkeit]]en. So konnten [[Edward Witten]] und [[Nathan Seiberg]] 1994 mit eichtheoretischen Methoden [[Topologie (Mathematik)|topologische]] [[Invariante (Mathematik)|Invarianten]] definieren, die [[Seiberg-Witten-Invariante]]n.

== Literatur ==

=== Artikel ===

* {{Literatur |Autor=Gerard ’t Hooft |Titel=Gauge Theories of the Forces between Elementary Particles |Sammelwerk=Scientific American |Band=242 |Nummer=6 |Datum=1980 |Sprache=en |JSTOR=24966349 |Seiten=104–141}}
* {{Literatur |Autor=Gerard ’t Hooft |Titel=Nobel Lecture: A confrontation with infinity |Sammelwerk=Reviews of Modern Physics |Band=72 |Nummer=2 |Datum=2000-04-01 |Sprache=en |DOI=10.1103/RevModPhys.72.333 |Seiten=333–339}}

=== Bücher ===

* {{Literatur |Autor=Mark J.D. Hamilton |Titel=Mathematical Gauge Theory |Verlag=Springer International Publishing |Ort=Cham |Datum=2017 |Sprache=en |Reihe=Universitext |ISBN=978-3-319-68438-3 |DOI=10.1007/978-3-319-68439-0}}
* {{Literatur |Autor=Stefan Scherer |Titel=Eichtheorien |Sammelwerk=Symmetrien und Gruppen in der Teilchenphysik |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2016 |ISBN=978-3-662-47733-5 |DOI=10.1007/978-3-662-47734-2_7 |Seiten=287–317}}
* {{Literatur |Autor=Helga Baum |Titel=Eichfeldtheorie: Eine Einführung in die Differentialgeometrie auf Faserbündeln |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2014 |ISBN=978-3-642-38538-4 |DOI=10.1007/978-3-642-38539-1}}
* {{Literatur |Autor=Richard Healey |Titel=Gauging What’s Real |Verlag=Oxford University Press |Datum=2007 |ISBN=978-0-19-928796-3 |DOI=10.1093/acprof:oso/9780199287963.001.0001}}
* {{Literatur |Autor=Stefan Pokorski |Titel=Gauge Field Theories |Auflage=2 |Verlag=Cambridge University Press |Datum=2000 |ISBN=978-0-521-47245-6 |DOI=10.1017/CBO9780511612343 |Online=https://archive.org/details/gaugefieldtheori0000poko}}
* {{Literatur |Autor=Taichiro Kugo |Titel=Eichtheorie |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=1997 |ISBN=978-3-642-63860-2 |DOI=10.1007/978-3-642-59128-0}}
* {{Literatur |Autor=[[Peter Schmüser]] |Titel=Feynman-Graphen und Eichtheorien für Experimentalphysiker |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=1995 |ISBN=978-3-540-58486-5 |DOI=10.1007/978-3-642-57766-6}}
* {{Literatur |Autor=David Bailin, A. Love |Titel=Introduction to Gauge Field Theory |Auflage=Rev. ed. |Verlag=Institute of Physics Pub |Ort=Bristol ; Philadelphia |Datum=1993 |Sprache=en |Reihe=Graduate student series in physics |ISBN=978-0-85274-817-6 |Online=https://www.routledge.com/Introduction-to-Gauge-Field-Theory-Revised-Edition/Bailin-Love/p/book/9780750302814#sup}}
* {{Literatur |Autor=Dietmar Ebert |Titel=Eichtheorien |Verlag=VCH |Ort=Weinheim |Datum=1989 |ISBN=978-3-527-27819-0}}
* {{Literatur |Autor=Ta-Pei Cheng, Ling-Fong Li |Titel=Gauge Theory of Elementary Particle Physics |Verlag=Clarendon Press ; Oxford University Press |Ort=Oxford [Oxfordshire] : New York |Datum=1984 |Sprache=en |Reihe=Oxford science publications |ISBN=978-0-19-851956-0 |Online=https://library.oapen.org/handle/20.500.12657/59106}}
* {{Literatur |Autor=Peter Becher, Manfred Böhm, Hans Joos |Titel=Eichtheorien der starken und elektroschwachen Wechselwirkung |Verlag=Teubner |Ort=Stuttgart |Datum=1981 |Reihe=Teubner-Studienbücher: Physik |ISBN=978-3-519-03045-4}}

=== Historische Informationen ===

* {{Literatur |Autor=[[John David Jackson (Physiker)|J. D. Jackson]], [[Lew Okun|L. B. Okun]] |Titel=Historical roots of gauge invariance |Sammelwerk=Reviews of Modern Physics |Band=73 |Nummer=3 |Datum=2001-09-14 |Sprache=en |DOI=10.1103/RevModPhys.73.663 |Seiten=663–680}}
* {{Literatur |Autor=[[Lochlainn O’Raifeartaigh|Lochlain O’Raifeartaigh]], [[Norbert Straumann]] |Titel=Early History of Gauge Theories and Kaluza-Klein Theories, with a Glance at Recent Developments |Datum=1999-04-05 |Sprache=en |arXiv=hep-ph/9810524}}
* {{Literatur |Autor=L. O’Raifeartaigh |Titel=The Dawning of Gauge Theory |Verlag=Princeton University Press |Ort=Princeton, NJ |Datum=1997 |Sprache=en |Reihe=Princeton series in physics |ISBN=978-0-691-21511-2}}

== Siehe auch ==
* [[Gittereichtheorie]]

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* [https://www.goldsilberglitzer.at/Rezepte/Rezept008.pdf Helmut Hörner: Wie alleine aus der Forderung nach lokaler Eichinvarianz der Schrödingergleichung das elektromagnetische Feld, der kanonische Impuls und die quantenmechanische Wechselwirkung zwischen geladenen Teilchen und EM-Feld entsteht.]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Feldtheorie]]
[[Kategorie:Differentialgeometrie]]

Eichtheorie - Versionsgeschichte

imported>Unterathena: Doppelte Verlinkung entfernt