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Das '''Ehrenfest-Theorem''', benannt nach dem österreichischen Physiker [[Paul Ehrenfest]], stellt innerhalb der [[Physik]] einen Zusammenhang zwischen der [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]] und der [[Quantenmechanik]] her. Es besagt, dass unter bestimmten Bedingungen die klassischen Bewegungsgleichungen für die Mittelwerte der Quantenmechanik gelten; die klassische Mechanik also in gewissem Maße in der Quantenmechanik enthalten ist ([[Korrespondenzprinzip]]).

Mathematisch drückt sich das in seiner allgemeinsten Form so aus, dass die vollständige Zeitableitung des [[Erwartungswert#Quantenmechanischer Erwartungswert|Erwartungswertes]] eines quantenmechanischen [[Operator (Mathematik)|Operators]] mit dem [[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]] dieses Operators und des [[Hamiltonoperator]]s <math>H</math> wie folgt in Zusammenhang steht:

:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle O\rangle = \frac{1}{\mathrm i\hbar }\langle [O,H] \rangle + \left\langle \frac{\partial O}{\partial t}\right\rangle</math>

Dabei stellt <math>O</math> einen quantenmechanischen Operator und <math>\langle O \rangle</math> dessen [[Erwartungswert]] dar.

== Klassisches Analogon ==
Im [[Hamiltonsche Mechanik|Hamilton-Formalismus]] der klassischen Mechanik gilt für die Zeitentwicklung einer Phasenraumfunktion:

:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}f(p,q,t) = \{f,H\} + \frac{\partial f}{\partial t}</math>

mit der [[Poisson-Klammer]] <math>\{f,H\} = \nabla_q f \nabla_p H - \nabla_p f \nabla_q H</math>. Bei der [[Quantisierung (Physik)|Quantisierung]] wird die Poisson-Klammer durch den mit <math>\tfrac{1}{i \hbar}</math> multiplizierten Kommutator ersetzt. Das quantenmechanische Analogon einer Phasenraumfunktion ist ein Operator ([[Observable]]). Somit ist das Ehrenfest-Theorem das direkte Analogon zu der obigen klassischen Aussage.

== Herleitung ==
Folgende Herleitung verwendet das [[Schrödinger-Bild]]. Für eine alternative Betrachtung im [[Heisenberg-Bild]] ''siehe'' "Bewegungsgleichung für Erwartungswerte" unter [[Heisenbergsche Bewegungsgleichung]].

Es sei das betrachtete System im [[Quantenzustand]] <math>|\psi\rangle </math>. Man erhält somit für die Zeitableitung des Erwartungswertes eines Operators O:

:<math>\begin{align}
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle O \rangle &= \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle \psi| O |\psi \rangle = \frac{\mathrm d \langle \psi|}{\mathrm dt}O|\psi\rangle + \langle \psi|\frac{\mathrm dO}{\mathrm dt}|\psi\rangle + \langle \psi| O \frac{\mathrm d|\psi\rangle}{\mathrm dt}\\
&=\frac{\mathrm d \langle \psi|}{\mathrm dt}O|\psi\rangle + \langle \psi| O \frac{\mathrm d|\psi\rangle}{\mathrm dt} + \left \langle \frac{\mathrm dO}{\mathrm dt}\right\rangle
\end{align}</math>.

Da im Schrödingerbild die Operatoren und Zustände nur explizit von der Zeit abhängen können, vereinfachen sich die totalen Zeitableitungen zu partiellen (<math>\mathrm d/\mathrm dt = \partial/\partial t</math>). Man betrachtet nun die [[Schrödingergleichung]]

:<math> \frac{\partial |\psi\rangle}{\partial t} = \frac{1}{\mathrm i\hbar}H|\psi\rangle</math>

Konjugiert man diese Gleichung und beachtet, dass der Hamilton-Operator <math>H</math> [[selbstadjungiert]] ist, so folgt
:<math> \frac{\partial \langle\psi|}{\partial t} = -\frac{1}{\mathrm i\hbar}\langle\psi|H</math>.

Einsetzen dieser Relationen liefert nun:

:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle O\rangle = \frac{1}{\mathrm i\hbar}\langle \psi|OH|\psi\rangle - \frac{1}{\mathrm i\hbar} \langle \psi|HO|\psi\rangle + \left\langle\frac{\partial O}{\partial t}\right\rangle = \frac{1}{\mathrm i\hbar}\langle[O,H]\rangle + \left\langle \frac{\partial O}{\partial t}\right\rangle</math>

== Anwendung ==
=== Orts- und Impulsoperatoren ===
Für den Spezialfall des [[Impulsoperator]]s (dieser ist nicht explizit zeitabhängig, das heißt <math>\frac{\partial p}{\partial t} = 0</math>) gilt nach dem Ehrenfest-Theorem:

:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle p\rangle=\frac{i}{\hbar}\langle[H,p]\rangle=\frac{i}{\hbar}\langle[\frac{p^{2}}{2m}+V(x),p]\rangle=\frac{i}{\hbar}\langle[V(x),p]\rangle</math>

Nun wird der Kommutator <math>[V,p]</math> in der Ortsdarstellung ausgewertet, also mit <math>p=-i\hbar\nabla</math>, <math>V=V(x)</math> und <math>\Psi=\Psi(x)</math>:

:<math>[V,-i\hbar\nabla]\Psi=-i\hbar V\nabla\Psi-(-i\hbar\nabla(V\Psi))=-i\hbar V\nabla\Psi+i\hbar(\nabla V)\Psi+i\hbar V(\nabla\Psi)=i\hbar(\nabla V)\Psi\quad\Rightarrow\quad[V,p]=i\hbar(\nabla V)</math>

Die zeitliche Ableitung des Impuls-Erwartungswerts in der Ortsdarstellung ist also:

:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \langle p \rangle = \frac{i}{\hbar} \langle i\hbar \nabla V(x) \rangle = - \langle \nabla V(x) \rangle</math>

Da auch der [[Ortsoperator]] nicht explizit zeitabhängig ist, folgt mit dem Ehrenfest-Theorem für dessen Zeitentwicklung:

:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle x\rangle=\frac{i}{\hbar}\langle[H,x]\rangle=\frac{i}{\hbar}\langle[\frac{p^{2}}{2m}+V(x),x]\rangle=\frac{i}{\hbar}\frac{1}{2m}\langle[p^{2},x]\rangle=\frac{i}{\hbar}\frac{1}{2m}\langle p\underbrace{[p,x]}_{-i\hbar}+\underbrace{[p,x]}_{-i\hbar}p\rangle=\frac{1}{m}\langle p\rangle</math>

Dabei wurden die einfache Kommutatorrelation <math>[p^2,x]=p[p,x]+[p,x]p</math> sowie die [[Kanonische Vertauschungsrelationen|kanonischen Vertauschungsrelationen]] zwischen Impuls- und Ortsoperator verwendet.

Aus den beiden hergeleiteten Beziehungen

:<math>m\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle x\rangle=\langle p\rangle\ ,\quad\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle p\rangle=-\langle\nabla V(x)\rangle</math>

folgt:

:<math>m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2}\langle x\rangle = -\langle\nabla V(x)\rangle = \langle F(x)\rangle</math>

Hier wurde die Kraft <math>F(x)</math> als negativer Gradient des Potentials eingesetzt. Die Bewegungsgleichungen für den Erwartungswert des Orts- und Impulsoperators sind also nahezu identisch zu denen der klassischen Mechanik, wobei jedoch die Kraft am Erwartungswert des Ortes <math>F(\langle x \rangle)</math> durch den Erwartungswert der Kraft <math>\langle F(x)\rangle</math> ersetzt ist. Wenn die Kraft keine lineare Funktion des Ortes ist, kann der Erwartungswert nicht in das Argument absorbiert werden und klassische und quantenmechanische Bewegungsgleichungen weichen voneinander ab.

=== Klassische Näherung ===
Der Erwartungswert der Kraft <math>F(x)</math> lässt sich in eine Taylorreihe um den Erwartungswert von <math>x</math> entwickeln:

:<math>\begin{align}
\left\langle F(x)\right\rangle & =\left\langle F(\langle x\rangle)+F^{\prime}(\langle x\rangle)(x-\langle x\rangle)+\frac{1}{2}F^{\prime\prime}(\langle x\rangle)(x-\langle x\rangle)^{2}+\mathcal{O}(x^{3})\right\rangle \\
& =F(\langle x\rangle)+F^{\prime}(\langle x\rangle)\underbrace{\left\langle (x-\langle x\rangle)\right\rangle }_{=0}+\frac{1}{2}F^{\prime\prime}(\langle x\rangle)\underbrace{\left\langle (x-\langle x\rangle)^{2}\right\rangle }_{=(\Delta x)^{2}}+\left\langle \mathcal{O}(x^{3})\right\rangle \\
& =F(\langle x\rangle)+\frac{1}{2}F^{\prime\prime}(\langle x\rangle)(\Delta x)^{2}+\left\langle \mathcal{O}(x^{3})\right\rangle \end{align}</math>

Berücksichtigt man nur den ersten Summanden, so erhält man

:<math>\langle F(x)\rangle\approx F(\langle x \rangle) \qquad (*)</math>

und somit

:<math>m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2}\langle x\rangle = F(\langle x\rangle)</math>.

In Worten bedeutet dies, dass sich der Erwartungswert der Position auf einer klassischen Bahn bewegt, d. h. der klassischen Bewegungsgleichung folgt.
Das Ehrenfest-Theorem führt somit direkt auf eine Analogie der [[Quantenmechanik]] zur [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]] – hier in Form des zweiten Newton’schen Axioms

:<math>m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2}x=F(x)</math>.

Die Annahme (*) und damit auch die klassische Bewegungsgleichung für quantenmechanische Erwartungswerte gelten allerdings ''nur dann exakt'', falls die Kraft F(x) eine [[lineare Funktion]] der Position x ist. Dies gilt für die einfachen Fälle des [[Harmonischer Oszillator|harmonischen Oszillators]] oder des [[Freies Teilchen|freien Teilchens]] (dann verschwinden alle Ortsableitungen der Kraft vom Grad größer gleich 2). Außerdem kann man sagen, dass (*) gilt, wenn die [[Halbwertsbreite|Breite]] der [[Aufenthaltswahrscheinlichkeit]] klein ist gegenüber der typischen Längenskala auf der die Kraft F(x) variiert.

Die Bewegungsgleichung für Erwartungswerte lautet mit der nächsten nichtverschwindenden Korrektur zur klassischen Bewegungsgleichung:

:<math>m\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2}\langle x\rangle=F(\langle x\rangle)+\frac{1}{2}F^{\prime\prime}(\langle x\rangle)(\Delta x)^2</math>

== Siehe auch ==
* [[Liouville-Gleichung]], [[Satz von Liouville (Physik)]]

== Literatur ==
* Leslie E. Ballentine: ''Quantum Mechanics: A Modern Development''. 1. Auflage. World Scientific Publishing, Singapore 1998, ISBN 981-02-4105-4
* P. Ehrenfest: ''Bemerkung über die angenäherte Gültigkeit der klassischen Mechanik innerhalb der Quantenmechanik''. Zeitschrift für Physik A Ausgabe 45, Nummern 7–8 / Juli, 1927, S. 455–457.

[[Kategorie:Quantenmechanik]]

Ehrenfest-Theorem - Versionsgeschichte

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