imported>Hutch: Abschnittlink korrigiert

2025-12-24T06:53:22Z

Abschnittlink korrigiert

Neue Seite

Eine '''ebene Welle''' ist eine [[Welle]] im dreidimensionalen Raum, deren [[Wellenfront]]en (d. h. [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] gleichen [[Phasenwinkel]]s) [[Parallelität (Geometrie)|parallele]] [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]] bilden. Die [[Ausbreitungsrichtung]] der Welle steht senkrecht dazu, ist also räumlich konstant.
[[Datei:Plane wave wavefronts 3D.svg|mini|Darstellung der Ebenen gleicher Phase im dreidimensionalen Raum]]

Der Begriff wird fast ausschließlich für Wellen verwendet, die auch ''homogen'' und ''[[Schwingung#Harmonische Schwingung|harmonisch]]'' sind, d. h. die mit zeitlich konstanter [[Frequenz]] einen [[Sinus und Kosinus|sinusförmigen]] Verlauf zeigen, dessen [[Amplitude]] im ganzen Raum konstant ist. Solche Wellen gehören zu den einfachsten Lösungen der [[Wellengleichung]], die in der klassischen [[Mechanik]] für [[elastische Verformung]]en sowie [[Druck (Physik)|Druck]]- und [[Dichte]]<nowiki/>schwankungen, in der [[Elektrodynamik]] für [[elektromagnetisches Feld|elektromagnetische Felder]] und in der [[Quantenmechanik]] für manche [[Materiewelle]]n eine wichtige Rolle spielt.

Andere Lösungen der Wellengleichung sind die [[Kugelwelle]] ([[konzentrisch]] um einen Punkt) und die [[Zylinderwelle]] (konzentrisch um eine Gerade). Diese lassen sich in weiter Entfernung vom Zentrum in kleinen Bereichen gut durch eine ebene Welle annähern.

Das zweidimensionale Analogon zur ebenen Welle ist eine Welle, deren Wellenfronten gerade Linien sind, die sich auf einer ebenen Fläche bewegen. Ein anschauliches, aber nur näherungsweise<ref group="Anm.">Wasserwellen verringern (bei gleichbleibender Frequenz) ihre Fortpflanzungsgeschwindigkeit und Wellenlänge, wenn die Wassertiefe abnimmt, und verändern daher ihre ohnehin meist nicht sinusförmige Form bis hin zum [[Wellenbrechen|Brecher]].</ref> zutreffendes Beispiel sind die auf den Strand zulaufenden Ozeanwellen.

== Homogene harmonische ebene Welle ==
[[Datei:Wave Sinusoidal Cosine wave sine Blue.svg|mini|Schnappschuss einer harmonischen ebenen Welle in einer Dimension]]

Im nebenstehenden Bild ist der örtliche Verlauf einer harmonischen ebenen Welle gezeigt, die sich in x-Richtung ausbreitet und deren [[Physikalische Größe|Größe]] ''A(x,t)'' in y-Richtung schwingt (ein Schnappschuss zum Zeitpunkt ''t=0''). Die maximale [[Auslenkung]] ([[Amplitude]]) der Welle ist mit <math>A_0</math> bezeichnet, ihre [[Wellenlänge]] mit <math>\lambda</math> und ihre [[Phasenlage]] zu diesem Zeitpunkt mit <math>\varphi</math>. Die Wellenlänge gibt die [[Periode (Physik)|Periodizität]] von ''A'' ''im Raum'' an.
[[Datei:AC wave.gif|mini|Ebene Sinuswelle, die in die negative ''x''-Richtung läuft]]
Im nachfolgenden Bild ist der zeitliche Verlauf an einem festen Ort als Animation dargestellt. Die Frequenz <math>f = 1/T</math> ist ein Maß für die Periodizität von ''A'' ''in der Zeit''.
Die [[Phasengeschwindigkeit]] ''c'' gibt das Verhältnis aus räumlicher Periode <math>\lambda</math> und zeitlicher Periode ''T'' an:

::<math>c = \frac{\lambda}{T} = \lambda \cdot f</math>

Eine ebene Welle wird am einfachsten beschrieben, wenn das [[Koordinatensystem]] so gewählt wird, dass eine Achse ihrer Ausbreitungsrichtung entspricht. In den Richtungen senkrecht zur Ausbreitung findet ''keine'' Schwingung statt.

Somit lässt sich eine harmonische homogene ebene Welle darstellen als

:<math>\begin{align}
A(x,t)
&= A_0 \cdot \sin \left[ 2\pi f \left( \frac{x}{c} - t \right) + \varphi \right]\\
&= A_0 \cdot \sin \left[ \omega \left( \frac{x}{c} - t \right) + \varphi \right]\\
&= A_0 \cdot \sin \left[ k x - \omega t + \varphi \right]
\end{align}</math>

mit der [[Kreisfrequenz]] <math>\omega</math>.

Bei dieser bewegen sich die Punkte konstanter Phase mit der Phasengeschwindigkeit ''c'' in die positive ''x''-Richtung. In der inneren Klammer kompensiert das Anwachsen von ''x''/''c'' gerade das der Zeit ''t'', so dass

::<math>\frac{x}{c} - t = \mathrm{const} \Leftrightarrow c = \frac{x}{t} + \mathrm{const}'</math>

eine [[Ebenengleichung]] für die Wellenfront darstellt.

Für eine Richtungsumkehr, wie sie etwa durch [[Reflexion (Physik)|Reflexion]] an einer [[Inhomogenität]] im Medium auftritt (z. B. Änderung von [[Brechungsindex]] oder [[Schallkennimpedanz]]), ist das [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] von ''x'' oder die x-Achse selbst umzudrehen.

Die Physik der sich periodisch ändernden Größe ''A'' ist für das Konzept der ebenen Welle unwichtig. Es kann sich um eine [[Seismische Welle|mechanische Auslenkung]], eine [[Schallausbreitung|Druckänderung]], eine [[Elektromagnetische Welle|Feldstärke]] oder etwa eine [[Aufenthaltswahrscheinlichkeit|Wahrscheinlichkeitsamplitude]] handeln. Falls es sich um eine [[vektor]]ielle Größe handelt, gibt die Richtung ihrer [[Amplitude]] <math>\vec A_0</math> relativ zur Ausbreitungsrichtung ihre [[Polarisation]] an.

== Allgemeine Form einer ebenen Welle ==
In allgemeiner Form ist eine ebene Welle einer physikalischen Größe <math>A</math> gegeben durch:

:<math>A({\vec x},t) = f \left( \vec n \cdot \frac{\vec x}{c} - t\right)</math>

Darin ist
* <math>f(\tau)</math> eine beliebige ([[Skalar (Mathematik)|skalare]] oder [[Vektorielle Größe|vektorwertige]]) Funktion, die nicht notwendig [[Periodische Funktion|periodisch]] sein muss
* <math>|\vec n| = 1</math> der [[Einheitsvektor]] in Ausbreitungsrichtung.
Die Welle pflanzt sich in Richtung <math>\vec n</math> fort mit der Geschwindigkeit ''c''.

Beobachtet man die Welle an einem festen Ort <math>\vec x</math>, so ändert sich die betrachtete Größe <math>A</math> zeitlich gemäß der Funktion <math>f</math>.

Die Schwingungsphase ist gegeben durch:

::<math>\vec n \cdot \frac{\vec x}{c} - t</math>

Die Punkte gleicher Schwingungsphase bilden eine Ebene, die auf dem Vektor <math>\vec n</math> senkrecht steht.

Bei der physikalischen Größe <math>A</math> kann es sich handeln um:
* einen [[Skalar (Mathematik)|Skalar]], z. B. den [[Druck (Physik)|Druck]]
* einen Vektor, z. B. die räumliche [[Auslenkung]] aus einer [[Ruhelage]]
* ein [[Kraftfeld]].
Bei vektoriellen Wellen kann man unterscheiden:
* die longitudinale [[Polarisation]]: Vektor <math>\vec A</math> liegt parallel zur Ausbreitungsrichtung <math>\vec n</math>
* die transversale Polarisation: Vektor <math>\vec A</math> liegt senkrecht zur Ausbreitungsrichtung <math>\vec n</math>.

Die ebene Welle ist eine Lösung der [[Wellengleichung]]:

:<math>\nabla^2A-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2A}{\partial t^2} = 0</math>

mit
* dem [[Nabla-Operator]] <math>\nabla</math>
* der [[partielle Ableitung|partiellen Ableitung]] nach der Zeit<math>\frac{\partial}{\partial t}</math>.

In der Praxis werden nur ''harmonische'' ebene Wellen verwendet, da jede ''allgemeine'' ebene Welle als Summe ''harmonischer'' ebener Wellen dargestellt werden kann ([[Fourier-Analysis]]). Dies liegt daran, dass man die allgemeine Form der ebenen Welle ''A'' als [[Fouriertransformation|Fourierintegral]] darstellen kann:

:<math>\begin{align}
f(\tau) &= \mathrm{Re}\int_0^\infty \phi(\omega) \cdot e^{i\tau\omega} \, \mathrm{d}\omega\\
&= \frac{1}{2} \left( \int_0^\infty \phi(\omega) \cdot e^{i\tau\omega} \, \mathrm{d}\omega + \int_0^\infty \phi^*(\omega) \cdot e^{-i\tau\omega} \, \mathrm{d}\omega\right)
\end{align}</math>

mit der [[imaginäre Einheit|imaginären Einheit]] <math>i</math>.

Dies entspricht einer Summe über harmonische ebene Wellen mit [[Dispersion (Physik)|kreisfrequenzabhängigen]] Amplituden <math>\phi(\omega)</math>. Hier wird nur der physikalisch sinnhafte [[Realteil]] der Fouriertransformation betrachtet und im letzten Teil der Gleichung mithilfe der Identität
::<math>\mathrm{Re}(a) = \frac{1}{2}(a + a^*)</math>

mit der [[Komplexe Konjugation|komplexen Konjugation]] * dargestellt.

=== Harmonische ebene Welle ===
Aufgrund der Gültigkeit des [[Superposition (Mathematik)|Superpositionsprinzips]] für die Wellengleichung reicht es nun für weitere Betrachtungen, nur die [[Frequenzspektrum|spektrale Komponente]] der Kreisfrequenz <math>\omega</math> zu betrachten:

:<math>\begin{align}
g(\omega,t,x,y,z)
&= \phi(\omega) \cdot \exp(i\,\omega\,\tau)\\
&= \phi(\omega) \cdot \exp \left[ i \, \omega \left( \vec n \cdot \frac{\vec x}{c} -t \right) \right]
\end{align}</math>

''g'' wird ''harmonische ebene Welle'' genannt.

Üblicherweise wird diese Form noch ausgedrückt mit Hilfe des [[Wellenvektor]]s <math>\vec k</math>:

::<math>\vec k = (k_x,k_y,k_z)^T = \frac{\omega}{c} \, \vec n</math>

bzw. der [[Kreiswellenzahl]] <math>k</math>:

::<math>k := \left| \vec k \right| = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi \, f}{c}</math>

als

:<math>g(\omega,t,x,y,z) = \phi(\omega) \cdot \exp \left[ i \left( \vec k \cdot \vec x - \omega \cdot{t} \right) \right]</math>

Mit

::<math>\omega \cdot t = \pi/2</math> (im [[Bogenmaß]]),

::<math>\phi(\omega) = A_0</math>

und

::<math>e_{i \cdot \varphi} = \cos(\varphi) + i \cdot \sin(\varphi)</math>

entspricht der Realteil der harmonischen ebenen Welle der weiter oben eingeführten sinusförmigen ebenen Welle.

== Inhomogene ebene Welle ==
[[Datei:Inhomogenious plane wave wavefronts 3D.svg|mini|Vergleich zwischen homogener und inhomogener ebener Welle]]
Eine ebene Welle ist immer eine Lösung der [[Helmholtzgleichung]] (zeitliche Fouriertransformation der Wellengleichung):

:<math>\nabla^2A + k^2(\omega)A = 0</math>

mit realer [[Dispersionsrelation]] <math>k(\omega)</math>.

Die Helmholtzgleichung wird auch gelöst, wenn man für den Wellenvektor [[Komplexe Zahl|komplexe]] Komponenten zulässt:

::<math>\vec k = \vec\beta + i \vec\alpha</math>

Damit die Helmholtzgleichung erfüllt bleibt, muss aber das Quadrat <math>k^2(\omega) = \vec k\cdot \vec k</math> der [[Wellenzahl]] real bleiben, was auf folgende Bedingung führt:

:<math>\begin{align}
\mathrm{Im}(k^2) &= 0 \\
\Leftrightarrow \mathrm{Im}[(\vec\beta + i \vec\alpha) \cdot (\vec\beta + i \vec\alpha)] &= 0 \\
\Leftrightarrow \alpha_x\beta_x + \alpha_y\beta_y + \alpha_z\beta_z &= 0
\end{align}</math>

und eine Einschränkung der Wahl des komplexen Wellenvektors bedeutet. Diese Bedingung bedeutet anschaulich, dass der Realteil <math>\vec\beta</math> des Wellenvektors senkrecht zu seinem Imaginärteil <math>\vec\alpha</math> stehen muss.

Eine Welle der Form

:<math>A(x,t) = \int_0^\infty \phi(\omega) \exp\left[ i(\vec\beta\vec x - \omega t) - (\vec\alpha\vec x) \right] \mathrm{d}\omega</math>

wird ''inhomogene ebene Welle'' oder ''nicht uniforme ebene Welle''<ref>{{Literatur|Autor=G.S. Smith|Titel=An Introduction to Classical Electromagnetic Radiation|Verlag=Cambridge University Press|Jahr=1993|Online={{Google Buch|BuchID=nZZu85Gq_D8C}}|Seiten=179}}</ref> genannt. Sie breitet sich in die Richtung <math>\vec\beta</math> aus, und ihre Amplitude fällt senkrecht zur Ausbreitungsrichtung ab (vgl. Abb.). Im Gegensatz zur ''homogenen ebenen Welle'' stehen hier die Ebenen konstanter Amplitude senkrecht zu den Ebenen konstanter Phase. Außerdem ist die [[Phasengeschwindigkeit]] immer geringer als bei einer homogenen ebenen Welle gleicher Frequenz.<ref name="brekhovskikh1" details="4">
Inhomogene ebene Wellen können bei [[Brechung (Physik)|Brechung]] oder Reflexion in einfache ebene Wellen übergehen und umgekehrt. Sie existieren aber nur in beschränkten Räumen und nicht wie die einfache ebene Welle auch im unendlichen <math>\mathbb{R}^3</math>. Die Begründung dafür ist wie folgt: Die Amplitude der inhomogenen ebenen Welle nimmt in eine Richtung exponentiell ab, das aber ist gleichbedeutend mit einem exponentiellen Anwachsen in der Gegenrichtung. Dies führt in einem unbeschränkten Raum zu einer unendlichen [[Leistungsdichte]] und ist unphysikalisch.</ref><ref>{{Literatur|Titel=Space-Time Wireless Channels|Autor=G.D. Durgin|Jahr=2003|Verlag=Prentice Hall Professional|Online={{Google Buch|BuchID=6sK3nYBoUmAC}}|Seiten=78-79}}</ref>

== Absorption ==
{{Hauptartikel|Absorption (Physik)}}
Wählt man Real- und Imaginärteil des komplexen Wellenvektors als [[Vektor#Kollinearität und Komplanarität|parallele]] Vektoren, so ist der Imaginärteil <math>\alpha</math> der Wellenzahl ''nicht'' wie im vorherigen Abschnitt Null, und die Wellenzahl wird komplex:

:<math>k = \beta + i \alpha</math>

mit
* dem [[Absorptionskoeffizient]] <math>\alpha</math> (auch [[Dämpfungskonstante]] genannt)
* der [[Phasenkonstante]] <math>\beta</math>.

Dies führt auf eine ''[[Dämpfung|gedämpfte]]'' harmonische ebene Welle. Legt man die x-Achse in Ausbreitungsrichtung, so folgt:

:<math>g(\omega,t,\vec x) = \phi(\omega) \, \mathrm{e}^{i(\beta x-\omega t)} \, \mathrm{e}^{-\alpha x}</math>

Die Ebenen konstanter Phase und konstanter Amplitude sind identisch, nur die Amplitude nimmt in Ausbreitungsrichtung [[exponentiell]] ab (Faktor <math>\mathrm{e}^{-\alpha x}</math>).<ref>{{Literatur|Titel=Elektromagnetische Feldtheorie|Autor=G. Lehner|Online={{Google Buch|BuchID=7GL2s8yI27YC}}|Seiten=436|Verlag=Springer|Jahr=2008}}</ref>
Es handelt sich also um eine ''homogene'' ebene Welle.

== Idealisierung ==
Eine ebene Welle füllt immer einen unendlich ausgedehnten Raum aus und ist somit eine [[Idealisierung (Physik)|Idealisierung]] der realen Welle. Denn einerseits kann keine ebene Welle von einem endlich ausgedehnten Sender abgestrahlt werden und andererseits ist die Energie einer ebenen Welle unendlich. Beides ist unphysikalisch.

== Anmerkung ==
<references group="Anm." />

== Siehe auch ==
* [[Partialwellenentwicklung]]

== Weblinks ==
{{Commonscat|Plane waves|Ebene Welle}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Welle]]
[[Kategorie:Wellenlehre]]

Ebene Welle - Versionsgeschichte

imported>Hutch: Abschnittlink korrigiert