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2026-02-20T18:31:50Z

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[[Datei:Koordinatenebenen.png|right|mini|Die drei [[Koordinatenebene]]n]]
Die '''Ebene''' ist ein Grundbegriff der [[Geometrie]]. Allgemein handelt es sich um ein unbegrenzt ausgedehntes flaches zweidimensionales Objekt.

* Hierbei bedeutet unbegrenzt ausgedehnt und flach, dass zu je zwei Punkten auch eine durch diese verlaufende [[Gerade]] vollständig in der Ebene liegt.<ref>{{Literatur |Autor=Jens Kunath |Titel=Analytische Geometrie und Lineare Algebra zwischen Abitur und Studium I |Auflage=2. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2023 |ISBN=978-3-662-67811-4 |Seiten=196 |Abruf=}}</ref>
* [[Zweidimensional]] bedeutet, dass – abgesehen von enthaltenen Geraden – kein echter Teilraum ebenfalls diese Eigenschaft hat.

Konkreter bezeichnet man mit Ebene, je nach Teilgebiet der [[Mathematik]], allerdings durchaus verschiedene Objekte.

== Ebene als eigenständiges Objekt ==
[[Datei:Fano plane.svg|right|mini|Kleinste projektive Ebene (sieben Punkte, sieben Geraden)]]
[[Datei:4punktsmodell.svg|right|mini|Kleinste affine Ebene (vier Punkte, sechs Geraden)]]

=== Der klassische Ebenenbegriff nach Euklid ===
In der klassischen Geometrie etwa im Sinne von [[Elemente (Euklid)|Euklids ''Elementen'']] bildet ''die'' [[Euklidische Ebene|(euklidische) Ebene]] – in diesem Zusammenhang üblicherweise mit dem bestimmten Artikel bezeichnet – den Rahmen geometrischer Untersuchungen, etwa für [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal|Konstruktionen mit Zirkel und Lineal]]. Man kann sie sich vorstellen als [[Abstraktion]] der Zeichenebene (Papier) als unendlich ausgedehnt und unendlich flach, so wie die Gerade eine als unendlich dünn und unendlich lang vorgestellte Abstraktion des gezeichneten Strichs (Bleistiftlinie) ist. Die [[euklidische Geometrie]] wird heutzutage durch [[Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie]] beschrieben.

Seit [[Descartes]] die euklidische Ebene mit [[Koordinaten]] versehen hat, kann man die euklidische Ebene mit der [[Menge (Mathematik)|Menge]] <math>\mathbb R^2</math> aller [[Geordnetes Paar|geordneten Paare]] [[Reelle Zahl|reeller Zahlen]] identifizieren.
Oder andersherum: <math>\mathbb R^2</math> bildet ein [[Modelltheorie|Modell]] für die Hilbertschen Axiome der Ebene.
Dieser reelle [[Vektorraum]] wird daher ebenfalls als Ebene bezeichnet.

=== Die Projektive Ebene ===
{{Hauptartikel|Projektive Ebene}}

Ergänzt man Euklids affine Ebene um eine unendlich ferne Gerade und auf ihr liegende unendlich ferne Punkte, erhält man eine projektive Ebene.

Auch die projektive Ebene lässt sich [[algebra]]isch beschreiben, nämlich als die Menge aller eindimensionalen Unterräume im <math>\mathbb R^3</math>. Man fasst also die durch den Ursprung verlaufenden Geraden als Punkte der projektiven Ebene auf. Die Geraden der projektiven Ebene sind dann genau die zweidimensionalen [[Untervektorraum|Untervektorräume]] von <math>\mathbb R^3</math>, also die durch den Ursprung verlaufenden „herkömmlichen“ Ebenen.

=== Verallgemeinerungen ===
Schwächt man das Hilbertsche Axiomensystem ab, so sind sogar endliche Strukturen möglich, die auch als [[affine Ebene]] oder projektive Ebene bezeichnet werden. Die Abbildung rechts zeigt eine endliche projektive Ebene mit sieben Punkten und sieben Geraden. Durch Entfernen einer beliebigen Gerade und der auf ihr liegenden Punkte erhält man eine endliche affine Ebene mit vier Punkten und sechs Geraden.

In Verallgemeinerung des kartesischen Modells der euklidischen Ebene wird auch für beliebige [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> der zweidimensionale Vektorraum <math>K^2</math> als affine Ebene bezeichnet; entsprechend für die projektive Ebene.
Man beachte: Ist <math>K</math> der Körper <math>\mathbb C</math> der komplexen Zahlen, die ja durch die [[Gaußsche Zahlenebene]] veranschaulicht werden, so ist bereits <math>\mathbb C</math> (reell) zweidimensional, wird aber als komplexe Gerade bezeichnet.
Die Ebene <math>\mathbb C^2</math> ist reell vierdimensional, aber nur ein zweidimensionaler komplexer Vektorraum.
Der Körper <math>K</math> kann auch ein [[endlicher Körper]] sein. Im Fall <math>K=\mathbb F_2</math> erhält man die oben beschriebene kleinste endliche affine Ebene mit vier Punkten bzw. die projektive Ebene mit sieben Punkten.

Eine [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] im Sinne der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] ist die Ebene (auch die projektive) nur im Fall <math>K=\R</math>; im Falle <math>K=\mathbb C</math> handelt es sich um eine [[Komplexe Mannigfaltigkeit|komplexe Fläche]].

== Ebene als Teilraum ==
[[Datei:PlaneIntersection.png|right|mini|Zwei sich schneidende Ebenen]]

Betrachtet man höherdimensionale geometrische Räume, so bezeichnet man jeden Teilraum, der [[Isomorphismus|isomorph]] zu einer Ebene im obigen Sinne ist, als eine Ebene.
In einem dreidimensionalen [[Euklidischer Raum|Euklidischen Raum]] ist eine Ebene dabei festgelegt durch
* drei nicht kollineare Punkte,
* eine Gerade und einen nicht auf ihr liegenden Punkt,
* zwei sich schneidende Geraden oder
* zwei echt parallele Geraden.
Liegen zwei Geraden [[Windschiefe|windschief]] zueinander, so liegen sie dagegen nicht in einer gemeinsamen Ebene. Stattdessen gibt es dann zwei parallele Ebenen, deren jede je eine der Geraden enthält.

Zwei Ebenen sind entweder parallel, schneiden sich in einer Geraden oder sind identisch. Sie können im (dreidimensionalen) Raum also nicht windschief zueinander liegen.
* Im ersten Fall ist jede zur ersten Ebene senkrechte Gerade auch senkrecht zur zweiten. Die Länge der Strecke, die die Ebenen auf solch einer Geraden begrenzen, bezeichnet man als den Abstand der Ebenen.
* Im zweiten Fall betrachtet man eine zur Schnittgeraden senkrechte Ebene. Mit dieser schneiden sich die beiden ersten Ebenen in zwei Geraden. Den Winkel zwischen diesen Geraden bezeichnet man als Winkel zwischen den beiden Ebenen.

Jeder zweidimensionale Untervektorraum des [[Koordinatenraum]]s <math>\mathbb R^n</math> (bzw. <math>K^n</math>) bildet eine [[Ursprungsebene]], also eine Ebene, die den Nullpunkt des Raums enthält. Affine zweidimensionale Unterräume sind [[Parallelverschiebung|parallel verschobene]] Ebenen, die den Nullpunkt nicht enthalten.

Nicht jedes unter den Begriff der Ebene fallende mathematische Objekt lässt sich als Teilraum eines entsprechenden höherdimensionalen Raumes auffassen. So ist etwa die [[Moulton-Ebene]] eine affine Ebene, in der der [[Satz von Desargues]] nicht gilt, während er in jedem dreidimensionalen affinen Raum – und damit in jeder enthaltenen Ebene – immer gilt.

== Ebenengleichungen ==
{{Hauptartikel|Ebenengleichung}}
[[Datei:Plane equation qtl1.svg|miniatur|Darstellung einer Ebene in Parameterform]]

Ebenen im dreidimensionalen Raum können auf verschiedene Weise durch Ebenengleichungen beschrieben werden. Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten in einem [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystem]], deren Koordinaten die Ebenengleichung erfüllen. Man unterscheidet explizite Formen von Ebenengleichungen, bei denen jeder Punkt der Ebene direkt identifiziert wird, und implizite Formen, bei denen die Punkte der Ebene indirekt durch eine Bedingung charakterisiert werden. Zu den expliziten Formen gehören die [[Parameterform]] und die [[Dreipunkteform]], zu den impliziten Formen die [[Normalenform]], die [[Hessesche Normalform]], die [[Allgemeine Koordinatenform#Allgemeine Koordinatenform einer Ebenengleichung|allgemeine Koordinatenform]] und die [[Achsenabschnittsform]].

Bei der Beschreibung von Ebenen in höherdimensionalen Räumen behalten die Parameterform und die Dreipunkteform ihre Darstellung, wobei lediglich mit <math>n</math>-komponentigen statt dreikomponentigen Vektoren gerechnet wird. Durch die impliziten Formen wird allerdings in höherdimensionalen Räumen keine Ebene mehr beschrieben, sondern eine [[Hyperebene]] der Dimension <math>n-1</math>. Jede Ebene kann jedoch als Schnitt von <math>n-2</math> Hyperebenen mit linear unabhängigen Normalenvektoren dargestellt werden und muss demnach ebenso viele Koordinatengleichungen gleichzeitig erfüllen.

== Schnittpunkte im dreidimensionalen Raum ==

=== Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene ===
[[Datei:Schnittp-ger-eb-s.svg|mini|Schnittpunkt: Gerade – Ebene]]
Am einfachsten lässt sich der Schnittpunkt einer Gerade im Raum und einer Ebene berechnen, wenn die Gerade in [[Parameterform|Parameterdarstellung]]

:<math> \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} </math>

und die Ebene in allgemeiner Koordinatenform <math>ax+by+cz=d</math> vorliegt. Dazu setzt man die Komponentenfunktionen für <math>x, y</math> und <math>z</math> in die [[Ebenengleichung]] ein und erhält die lineare Gleichung
:<math>a(p_1+ t u_1) + b(p_2 + t u_2) + c(p_3 + t u_3)=d</math>
mit der Unbekannten <math>t</math>. Hat diese Gleichung eine Lösung <math>t_0</math>, so schneidet die Gerade die Ebene und <math>t_0</math> ist der Parameter des Schnittpunkts; durch Einsetzen in die Parameterdarstellung erhält man dann die Koordinaten des Schnittpunkts.
(Falls die lineare Gleichung keine Lösung besitzt, ist die Gerade parallel zur Ebene, liegt aber nicht in der Ebene. Falls die Gleichung für alle <math>t\in \R</math> erfüllt ist, ist die Gerade in der Ebene enthalten.)

=== Schnittpunkt dreier Ebenen ===
Ist eine [[Gerade]] als Schnitt zweier nicht paralleler Ebenen <math>\varepsilon_i: \ \vec n_i\cdot\vec x=d_i, \ i=1,2</math> gegeben und soll mit einer dritten Ebene <math>\varepsilon_3: \ \vec n_3\cdot\vec x=d_3 </math> geschnitten werden, muss der gemeinsame [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] der drei Ebenen bestimmt werden.

Drei Ebenen <math>\varepsilon_i: \ \vec n_i\cdot\vec x=d_i, \ i=1,2,3 </math> mit linear unabhängigen Normalenvektoren <math> \vec n_1,\vec n_2, \vec n_3</math> besitzen den Schnittpunkt

: <math> \vec p_0=\frac{d_1(\vec n_2\times \vec n_3) +d_2(\vec n_3\times \vec n_1) + d_3(\vec n_1\times \vec n_2)}{\vec n_1\cdot(\vec n_2\times \vec n_3)} \ .</math>

Zum Beweis überzeuge man sich von <math>\vec n_i\cdot\vec p_0=d_i, \ i=1,2,3 , </math> unter Beachtung der Regeln für ein [[Spatprodukt]].<ref>[https://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/cdg-skript-1998.pdf CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt)]</ref>

== Abstand zwischen Punkt und Ebene ==
Der [[Abstand]] zwischen dem [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] <math> \vec{p_0} = (x_0, y_0, z_0)</math> und der Ebene mit der [[Koordinatenform]] <math> ax + by + cz + d = 0</math> beträgt:

:<math> \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}</math>

Wenn drei Punkte <math> \vec{p}_2 = (x_1, y_1, z_1)</math>, <math> \vec{p}_2 = (x_2, y_2, z_2)</math>, <math> \vec{p}_3 = (x_3, y_3, z_3)</math> gegeben sind, durch die die Ebene verläuft (siehe [[Dreipunkteform]]), dann lässt sich der Abstand mit folgender [[Formel]] berechnen:

:<math> \frac{(\vec{p}_2 - \vec{p}_1) \times (\vec{p}_3 - \vec{p}_1)}{\left|(\vec{p}_2 - \vec{p}_1) \times (\vec{p}_3 - \vec{p}_1)\right|} \cdot (\vec{p}_0 - \vec{p}_1)</math>

Dabei steht <math> \times</math> für das [[Kreuzprodukt]], <math> \cdot</math> für das [[Skalarprodukt]] und <math> \left| \quad \right|</math> für den [[Vektor#Länge/Betrag eines Vektors|Betrag des Vektors]]. Alternativ kann man auch
:<math>
\begin{align}
a &= y_1z_2 - y_2z_1 + y_2z_3 - y_3z_2 + y_3z_1 - y_1z_3 \\
b &= z_1x_2 - z_2x_1 + z_2x_3 - z_3x_2 + z_3x_1 - z_1x_3 \\
c &= x_1y_2 - x_2y_1 + x_2y_3 - x_3y_2 + x_3y_1 - x_1y_3 \\
d &= x_1y_2z_3 - x_1y_3z_2 + x_2y_3z_1 - x_2y_1z_3 + x_3y_1z_2 - x_3y_2z_1
\end{align}
</math>

einsetzen.<ref>Wolfram MathWorld: [https://mathworld.wolfram.com/Point-PlaneDistance.html Point-Plane Distance]</ref>

== Siehe auch ==
* [[Ebenengleichung]]
* [[Koordinatenform]]
* [[Achsenabschnittsform]]
* [[Parameterform]]
* [[Dreipunkteform]]

== Weblinks ==
{{Commonscat|Euclidean planes|Ebene}}
* [http://www.lernzentrum.de/lernhilfen/vektorgeometrie/index.htm lernzentrum.de] Erklärungen zu Geraden, Ebenen, ihrer gegenseitigen Lage, Abständen und Winkeln mit frei drehbaren dreidimensionalen Applets

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Affiner Raum]]
[[Kategorie:Analytische Geometrie]]
[[Kategorie:Ebene Geometrie]]

Ebene (Mathematik) - Versionsgeschichte

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