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{{Dieser Artikel|behandelt das mathematische Modell. Zum Begriff der Systemtheorie siehe [[Dynamisches System (Systemtheorie)]].}}

Ein ([[Systemeigenschaften #Determiniertheit|deterministisches]]) '''dynamisches System''' ist ein [[mathematisches Modell]] eines zeitabhängigen [[Prozess]]es, der [[Homogenität|homogen]] bezüglich der Zeit ist, dessen weiterer Verlauf also nur vom Anfangs''zustand'', aber ''nicht'' von der Wahl des Anfangs''zeitpunkts'' abhängt. Der Begriff des dynamischen [[System]]s geht in seiner heutigen Form auf die Mathematiker [[Henri Poincaré]] und [[George David Birkhoff]] zurück.

Dynamische Systeme finden vielfältige Anwendungen auf Prozesse im Alltag und erlauben Einblicke in viele Bereiche nicht nur der [[Mathematik]] (z. B. [[Zahlentheorie]], [[Stochastik]]), sondern auch der [[Physik]] (z. B. [[Mathematisches Pendel|Pendelbewegung]], [[Numerische Wettervorhersage|Klimamodelle]]) oder der [[Theoretische Biologie|theoretischen Biologie]] (z. B. [[Lotka-Volterra-Gleichung|Räuber-Beute-Modelle]]).

Man unterscheidet zwischen [[diskret]]er und [[Kontinuum (Mathematik)|kontinuierlicher]] [[Zeitentwicklung]]. Bei einem zeitdiskreten dynamischen System ändern sich die Zustände in äquidistanten Zeitsprüngen, d. h. in aufeinanderfolgenden, stets gleich großen zeitlichen Abständen, während die Zustandsänderungen eines zeitkontinuierlichen dynamischen Systems in [[infinitesimal]] kleinen Zeitschritten stattfinden. Das wichtigste Beschreibungsmittel für zeitkontinuierliche dynamische Systeme sind [[Autonome Differentialgleichung|autonome gewöhnliche Differenzialgleichungen]]. Ein gemischtes System aus kontinuierlichen und diskreten Teilsystemen mit kontinuierlich-diskreter Dynamik wird auch als [[hybrid]] bezeichnet. Beispiele solcher hybrider Dynamiken finden sich in der [[Verfahrenstechnik]] (z. B. Dosiervorlage-Systeme).

Wichtige Fragestellungen im Zusammenhang mit dynamischen Systemen betreffen vor allem ihr Langzeitverhalten (zum Beispiel [[Stabilitätstheorie|Stabilität]], [[Periodizität (Mathematik)|Periodizität]], [[Chaosforschung|Chaos]] und [[Ergodizität]]), die [[Systemidentifikation]] und ihre [[Regelung (Natur und Technik)|Regelung]].

== Einführende Beispiele ==

=== Exponentielles Wachstum ===
[[Datei:Exponentielles Wachstum zwei.svg|mini|Zwei exponentiell wachsende Populationen ''xt'' (rot) und ''yt'' (blau) mit ''y''0 = ''x''3]]
Ein einfaches Beispiel für ein dynamisches System ist die zeitliche Entwicklung einer [[Größe (Mathematik)|Größe]], die einem [[Exponentielles Wachstum|exponentiellen Wachstum]] unterliegt, wie etwa eine [[Population (Biologie)|Population]] einer ungehindert wachsenden [[Bakterien]]kultur. Der Zustand zu einem festen Zeitpunkt ist hier durch eine nichtnegative [[reelle Zahl]], nämlich die Bestandsgröße der Population, gegeben, das heißt, der ''Zustandsraum'' des Systems ist die Menge <math>X = [0, \infty)</math> der nichtnegativen reellen Zahlen. Betrachtet man zunächst die Zustände <math>x_0, x_1, x_2, \dotsc</math> zu den diskreten Zeitpunkten <math>t = 0, 1, 2, \dotsc</math>, also auf dem ''Zeitraum'' <math>T = \N_0</math>, dann gilt <math>x_{t+1} = a x_t</math> mit einem konstanten Wachstumsfaktor <math>a</math>. Für den Zustand zu einem Zeitpunkt <math>t \in T</math> ergibt sich daraus <math>x_t = a^t x_0</math>.

Die charakterisierende Eigenschaft eines dynamischen Systems ist, dass der Zustand zwar von der verstrichenen Zeit <math>t \in T</math> und vom Anfangswert <math>x_0 \in X</math> abhängt, jedoch nicht von der Wahl des Anfangszeitpunkts. Sei etwa <math>y_0, y_1, y_2, \ldots</math> eine weitere exponentiell wachsende Population mit dem gleichen Wachstumsfaktor <math>a</math>, aber mit dem Anfangswert <math>y_0 = x_t</math> gegeben. Zu einem Zeitpunkt <math>s \in T</math> gilt dann

:<math>y_s = a^s y_0 = a^s a^t x_0 = a^{s+t} x_0 = x_{s+t}</math>.

Die zweite Population wächst also im Zeitabschnitt <math>[0,s]</math> genauso wie die erste im Zeitabschnitt <math>[t,s+t]</math>. Dieses Verhalten lässt sich noch anders ausdrücken: Die sogenannte ''Flussfunktion'' <math>\Phi \colon T \times X \to X</math>, die jedem Zeitpunkt <math>t \in T</math> und jedem Anfangszustand <math>x \in X</math> den Zustand <math>\Phi(t,x)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> zuordnet, hier also <math>\Phi(t,x) = a^t x</math>, erfüllt für alle <math>s,t \in T</math> und alle <math>x\in X</math> die Gleichung

:<math>\Phi\bigl(s, \Phi(t,x)\bigr) = \Phi(s+t, x)</math>.

Das ist die sogenannte ''Halbgruppeneigenschaft'' des Flusses eines dynamischen Systems.

=== Federpendel ===
Eine weitere Quelle für dynamische Systeme ist die mathematische Modellierung [[Mechanik|mechanischer]] Systeme, im einfachsten Fall die Bewegung eines [[Massenpunkt]]es unter dem Einfluss einer [[Kraft]], die vom Ort und von der Geschwindigkeit abhängt, aber nicht explizit von der Zeit. Der Zustand eines solchen Systems zu einem Zeitpunkt <math>t \in T = [0, \infty)</math> ist gegeben als das [[Geordnetes Paar|geordnete Paar]] <math>(x(t), v(t))</math>, bestehend aus dem Ort <math>x(t)</math> und der Geschwindigkeit <math>v(t)</math>. Insbesondere ist dann der gesamte Bewegungsablauf durch die Vorgabe einer Anfangsposition <math>x(0) = x_0</math> zusammen mit einer Anfangsgeschwindigkeit <math>v(0) = v_0</math> eindeutig bestimmt. Im Fall einer eindimensionalen Bewegung ist somit der Zustandsraum <math>X = \R^2</math>.

{| style="border:1pt solid" | class="floatright"
|[[Datei:damped spring.gif|63px]][[Datei:Phasenportraet mit trajektorie.svg|300px]]
|-
|Gedämpfte Schwingung und Bahn im Zustandsraum
|}
Als konkretes Beispiel soll ein [[Federpendel]] betrachtet werden, auf dessen Massestück mit der Masse <math>m</math> die [[Rückstellkraft]] der Feder sowie möglicherweise eine geschwindigkeitsabhängige [[Reibungskraft]] einwirkt. Bezeichnet man die Gesamtkraft mit <math>F(x(t), v(t))</math>, so ergibt sich für den Zustand das [[Gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnliche Differentialgleichungssystem]]
:<math>\begin{align}
\dot{x}(t) &= v(t),\\
\dot{v}(t) &= \frac{1}{m} F(x(t), v(t)),
\end{align}</math> 
wobei der Punkt über den Variablen die Ableitung nach der – in diesem Beispiel kontinuierlichen – Zeit bezeichnet. Die erste Gleichung besagt, dass die Geschwindigkeit die Ableitung des Ortes nach der Zeit ist, und die zweite ergibt sich direkt aus dem [[Zweites newtonsches Axiom|zweiten newtonschen Axiom]], nach dem Masse mal Beschleunigung gleich der auf den Massenpunkt wirkenden Gesamtkraft ist.

Es lässt sich zeigen, dass auch bei diesem System der Fluss
:<math>\Phi \colon T \times X \to X, \quad \Phi(t,( x_0, v_0)) = \bigl(x(t), v(t)\bigr)</math>
die Halbgruppeneigenschaft erfüllt. Betrachtet man den Verlauf des Systemzustandes im Zustandsraum <math>X = \R^2</math>, also die sogenannte ''Bahn'' <math>\{ (x(t), v(t)) \in \R^2 \mid t \geq 0 \}</math>, so ergibt sich bei einer [[Gedämpfte Schwingung|gedämpften Schwingung]] des Federpendels eine [[Trajektorie (Physik)|Trajektorie]], die spiralförmig auf die Ruhelage <math>(0,0)</math> zuläuft.

== Definitionen ==
Ein ''dynamisches System'' ist ein [[Tupel|Tripel]] <math>(T,X,\Phi),</math> bestehend aus einer [[Menge (Mathematik)|Menge]] <math>T = \N_0, \Z, \R^+_0</math> oder <math>\R,</math> dem ''Zeitraum'', einer nichtleeren Menge <math>X</math>, dem ''Zustandsraum'' (dem ''Phasenraum''), und einer [[Zweistellige Verknüpfung#Äußere zweistellige Verknüpfungen erster Art|Operation]] <math>\Phi\colon\, T \times X \to X</math> von <math>T</math> auf <math>X,</math> so dass für alle ''Zustände'' <math>x \in X</math> und alle ''Zeitpunkte'' <math>t, s \in T</math> gilt:
# <math>\Phi(0,x) = x</math>   (''Identitätseigenschaft'')   und
# <math>\Phi(s,\Phi(t,x)) = \Phi(s+t,x)</math>   (''Halbgruppeneigenschaft'').

Wenn <math>T = \N_0</math> oder <math>T = \Z</math> ist, dann heißt <math>(T,X,\Phi)</math> ''zeitdiskret'' oder kurz ''diskret'', und mit <math>T = \R^+_0</math> oder <math>T = \R</math> nennt man <math>(T,X,\Phi)</math> ''zeitkontinuierlich'' oder ''kontinuierlich''. <math>(T,X,\Phi)</math> wird außerdem als diskretes oder kontinuierliches dynamisches System ''für reelle Zeit'' oder als ''invertierbar'' bezeichnet, falls <math>T = \Z</math> bzw. <math>T = \R</math> gilt.

Für jedes <math>x \in X</math> heißt die Abbildung <math>\beta_x\colon\, T \to X,\, t \mapsto \beta_x(t) := \Phi(t,x)</math> die ''Bewegung'' von <math>x = \beta_x(0)</math>, und die Menge <math>O(x) := \{\beta_x(t) \mid t \in T\}</math> wird die ''Bahn'' (der (volle) ''Orbit'', die ''Trajektorie'', die ''Phasenkurve'', die ''Bahnkurve'', die ''Lösungskurve'') von <math>x</math> genannt. Der ''positive Halborbit'' oder ''Vorwärtsorbit'' von <math>x</math> ist <math>O^+(x) := \{\beta_x(t) \mid t \in T\cap\R^+_0\}</math> und, falls <math>(T,X,\Phi)</math> invertierbar ist, ist <math>O^-(x) := \{\beta_x(t) \mid -t \in T\cap\R^+_0\}</math> der ''negative Halborbit'' oder ''Rückwärtsorbit'' von <math>x</math>.

Ein diskretes dynamisches System <math>(T,X,\Phi)</math> ist ''stetig'', wenn sein Zustandsraum <math>X</math> ein (nichtleerer) [[metrischer Raum]] ist und wenn jede zu einem Zeitpunkt <math>t \in T</math> gehörende [[Zweistellige Verknüpfung#Äußere zweistellige Verknüpfungen erster Art|Transformation]] <math>\varphi_t\colon\, X \to X,\, x \mapsto \varphi_t(x) := \Phi(t,x),</math> [[stetig]] ist. Man nennt ein kontinuierliches dynamisches System <math>(T,X,\Phi)</math> ''stetig'' oder einen ''[[Fluss (Mathematik)|Halbfluss]]'', wenn sein Zustandsraum <math>X</math> ein metrischer Raum ist und wenn jede zu einem Zeitpunkt gehörende Transformation sowie jede Bewegung eines Zustands stetig ist. Außerdem nennt man ein stetiges diskretes dynamisches System <math>(\Z,X,\Phi)</math> auch eine ''Kaskade'' und einen Halbfluss <math>(\R,X,\Phi)</math> einen ''[[Fluss (Mathematik)|Fluss]]''. Der Zustandsraum eines stetigen dynamischen Systems wird auch als ''[[Phasenraum]]'' und von jedem <math>x_0 \in X</math> der Orbit als die ''Phasenkurve'' oder ''[[Phasenraum|Trajektorie]]'' von <math>x_0</math> bezeichnet, die einfach <math>x\colon\, t \mapsto x(t)</math> geschrieben wird mit <math>x(0) = x_0</math>.

Koppelt man kontinuierliche und gegebenen Falles noch zusätzliche diskrete dynamische Systeme zu einem System zusammen, so nennt man dieses ein ''kontinuierlich-diskretes'' oder auch ''[[Hybrides Modell|hybrides]]'' dynamisches System.

'''Bemerkungen'''
* In der Literatur wird häufig nicht zwischen dynamischen Systemen und stetigen dynamischen Systemen bzw. Flüssen unterschieden, außerdem versteht man unter einem Fluss nicht selten einen differenzierbaren Fluss (siehe unten). Es finden sich auch allgemeinere Definitionen stetiger dynamischer Systeme, bei denen z. B. als Phasenraum eine [[topologische Mannigfaltigkeit]], ein (u. U. [[Kompakter Raum|kompakter]]) [[Hausdorff-Raum]] oder gar nur ein [[topologischer Raum]] genommen wird.
* An Stelle der Linksoperation <math>\Phi</math> wie in der obigen Definition werden oft dynamische Systeme mit einer [[Zweistellige Verknüpfung#Äußere zweistellige Verknüpfungen erster Art|Rechtsoperation]] <math>\Phi^*\colon\, X \times T \to X</math> auf <math>X</math> definiert, die Reihenfolge der [[Funktion (Mathematik)|Argumente]] dreht sich dann entsprechend um.
* In der Definition wird die Identitätseigenschaft von der Operation <math>\Phi</math> deshalb gefordert, weil jeder Zustand <math>x</math>, so lang keine Zeit vergeht (also für <math>t = 0</math>), sich nicht verändern soll. Diese Eigenschaft bedeutet, dass die zu <math>0</math> gehörende Transformation die [[identische Abbildung]] auf <math>X</math> ist:  <math>\varphi_0 = \operatorname{id}_X.</math>
* Die Halbgruppeneigenschaft macht das dynamische System bezüglich der Zeit homogen: Man gelangt zunächst in <math>t</math> Zeiteinheiten vom Zustand <math>x</math> zum Zustand <math>\Phi(t,x)</math> und anschließend von dort in <math>s</math> Zeiteinheiten zum Zustand <math>\Phi(s+t,x)</math>, d. h. zum gleichen Zustand, zu dem man direkt vom Zustand <math>x</math> in <math>s+t</math> Zeiteinheiten kommt. Die zu allen Zeitpunkten <math>t</math> gehörenden Transformationen <math>\varphi_t\colon\, X \to X,\, x \mapsto \varphi_t(x) := \Phi(t,x),</math> bilden eine [[kommutativ]]e [[Halbgruppe]] mit der [[Komposition (Mathematik)|Komposition]] <math>\circ</math> als [[Zweistellige Verknüpfung|Verknüpfung]] und mit einem [[Neutrales Element|neutralen Element]] <math>\varphi_0</math>, außerdem ist die Abbildung <math>T \to X^X\!,\, t \mapsto \varphi_t,</math> ein Halbgruppen[[homomorphismus]]:  <math>\varphi_{s+t} = \varphi_{s} \circ \varphi_{t}</math> für alle <math>s, t \in T.</math> Diese Transformationshalbgruppe ist bei invertierbaren dynamischen Systemen sogar eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]], denn für alle <math>t \in T</math> ist <math>\varphi_{-t}</math> das [[Inverses Element|inverse Element]] zu <math>\varphi_t.</math>
* Ein dynamisches System <math>(T,X,\Phi)</math> mit <math>T = \N_0</math> oder mit <math>T = \R^+_0</math> lässt sich genau dann zu einem invertierbaren dynamischen System <math>(T',X,\Phi')</math> mit <math>(T'\cap\R^+_0,X,\Phi'|_{(T'\cap\R^+_0)\times X}) = (T,X,\Phi)</math> [[Einschränkung (Mathematik)|fortsetzen]], wenn die zu <math>1</math> gehörende Transformation <math>\varphi_1</math> eine [[Umkehrfunktion]] <math>(\varphi_1)^{-1}</math> besitzt. Es sind dann <math>\varphi_{-1} := (\varphi_1)^{-1}</math> und [[rekursiv]] <math>\varphi_{-(n+1)} := \varphi_{-1} \circ \varphi_{-n}</math> für alle <math>n \in \N.</math> Ist <math>(T,X,\Phi)</math> kontinuierlich, so sind durch <math>\varphi_{-t} := \varphi_{1-s} \circ \varphi_{-(n+1)}</math> für alle <math>t = n+s \in \R^+_0</math> mit <math>n \in \N_0</math> und <math>s \in [\,0,1)</math> ebenso sämtliche zu negativen Zeiten gehörenden Transformationen eindeutig gegeben. Mit <math>T' := T\cup\{-t \mid t\in T\}</math> ist so genau eine Operation <math>\Phi'\colon\, T'\times X \to X,\, (t,x) \mapsto \Phi'(t,x) := \varphi_t(x),</math> von <math>T'</math> auf <math>X</math> erklärt, so dass <math>(T',X,\Phi')</math> die invertierbare Fortsetzung von <math>(T,X,\Phi)</math> ist.
* Wegen der Halbgruppeneigenschaft lässt sich jedes diskrete dynamische System <math>(\N_0,X,\Phi)</math> oder <math>(\Z,X,\Phi)</math> als [[Iteration|iterative Anwendung]] der zu <math>1</math> gehörenden Transformation <math>\varphi := \varphi_1</math> mit den Zeitpunkten als Iterationsindizes auffassen:  <math>\varphi_{t+1} = \varphi \circ \varphi_t</math> für alle <math>t \in \N_0</math> und bei <math>(\Z,X,\Phi)</math> ist zusätzlich <math>\varphi_{t-1} = \varphi^{-1} \circ \varphi_t</math> für alle <math>-t \in \N_0.</math> Daher ist <math>(T,X,\Phi)</math> bereits durch <math>\varphi</math> eindeutig bestimmt und lässt sich einfacher <math>(X,\varphi)</math> schreiben.
* Schränkt man bei einem kontinuierlichen dynamischen System <math>(T,X,\Phi),</math> die Zeit auf <math>T\cap\Z</math> ein, dann ergibt sich mit <math>(T\cap\Z, X, \Phi|_{(T\cap\Z)\times X})</math> stets ein diskretes dynamisches System. Diese [[Diskretisierung]] findet zum einen in der [[Numerik]] eine große Anwendung, wie z. B. bei der Rückwärtsanalyse. Zum anderen existieren natürliche und technische Systeme, die durch nichtkontinuierliche Zustandsänderungen charakterisiert und in direkter Weise durch diskrete Dynamische Systeme modelliert werden können.
* ''Differenzierbare'' (Halb-)Flüsse sind (Halb-)Flüsse <math>(T,X,\Phi)</math>, bei denen jede zu einem Zeitpunkt gehörende Transformation [[differenzierbar]] ist. Insbesondere ist jede dieser Transformationen eines differenzierbaren Flusses ein [[Diffeomorphismus]].
* In der Theorie dynamischer Systeme interessiert man sich besonders für das Verhalten von Trajektorien für <math>t \to \pm\infty</math>. Hierbei sind [[Limesmenge]]n und deren [[Stabilitätstheorie|Stabilität]] von großer Bedeutung. Die einfachsten Limesmengen sind [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkte]], das sind diejenigen Punkte <math>x \in X</math> mit <math>\Phi(t,x) = x</math> für alle <math>t \in T</math>, also diejenigen Zustände <math>x</math>, deren Bahn die einelementige Menge <math>\{x\}</math> ist. Weiter interessiert man sich für Punkte, deren Bahn für <math>t \to +\infty</math> gegen einen Fixpunkt konvergiert. Die wichtigsten Limesmengen sind neben Fixpunkten die [[Periodischer Orbit|periodischen Orbits]]. Gerade in [[Nichtlineares System|nichtlinearen Systemen]] trifft man aber auch komplexe nichtperiodische Grenzmengen an. In der Theorie der nichtlinearen Systeme werden Fixpunkte, periodische Orbits und allgemeine nichtperiodische Grenzmengen unter dem Oberbegriff [[Attraktor]] (bzw. ''Repeller'', falls abstoßend, vgl. auch [[seltsamer Attraktor]]) subsumiert. Diese werden in der [[Chaostheorie]] ausführlich untersucht.

== Wichtige Spezialfälle ==

=== Gewöhnliche Differentialgleichungen ===
Kontinuierliche dynamische Systeme treten vor allem im Zusammenhang mit [[Gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnlichen Differentialgleichungen]] auf. Gegeben sei die [[autonome Differentialgleichung]]
:<math>\dot x(t) = f(x(t))</math>
mit einem [[Vektorfeld]] <math>f \colon X \to \R^n</math> auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>X \subseteq \R^n</math>. Falls die Gleichung für alle Anfangswerte <math>x_0 \in X</math> eine für alle <math>t \in \R</math> definierte, eindeutig bestimmte Lösung <math>\beta_{x_0}\colon \R \to X</math> mit <math>\beta_{x_0}(0) = x_0</math>
besitzt, dann ist <math>(\R, X, \Phi)</math> mit <math>\Phi(t,x) := \beta_x(t)</math> ein kontinuierliches dynamisches System. Die Bahnen des Systems sind also die Lösungskurven der Differentialgleichung. Die Fixpunkte sind hier die <math>x \in X</math> mit <math>f(x) = 0</math>; sie werden auch ''stationäre'' oder ''kritische Punkte'' des Vektorfeldes genannt.

=== Iteration ===
Diskrete dynamische Systeme stehen in enger Beziehung zur [[Iteration]] von Funktionen. Ist <math>g \colon X \to X</math> eine [[Selbstabbildung]] einer beliebigen Menge <math>X</math>, also eine Funktion, die jedem <math>x \in X</math> wieder ein Element <math>g(x) \in X</math> zuordnet, dann kann man zu einem Anfangswert <math>x_0 \in X</math> die [[rekursiv]] definierte Folge <math>x_{n+1} = g(x_n)</math> für <math>n \in \N_0</math> betrachten. Mit der <math>n</math>-fachen [[Komposition (Mathematik)|Hintereinanderausführung]] <math>g^n = g \circ g \circ \ldots \circ g</math> (<math>n</math> Mal) gilt dann <math>x_n = g^n(x_0)</math>. Die Gleichung <math>g^{m+n} = g^m \circ g^n</math> zeigt, dass damit <math>(\N_0, X, \Phi)</math> mit <math>\Phi(n,x_0) = g^n(x_0)</math> ein diskretes dynamisches System ist. Umgekehrt wird für ein dynamisches System <math>(\N_0, X, \Phi)</math> durch <math>g(x) := \Phi(1,x)</math> eine Abbildung <math>g \colon X \to X</math> mit <math>\Phi(n,x_0) = g^n(x_0)</math> definiert. Die Fixpunkte eines solchen Systems sind die <math>x \in X</math> mit <math>g(x) = x</math>.

Beispiele hierfür sind [[Markow-Kette]]n in diskreter Zeit mit endlichem Zustandsraum <math> S </math>. Der Zustandsraum im Sinne eines dynamischen Systems sind dann alle [[Wahrscheinlichkeitsvektor]]en auf <math> S </math>, die Zeit ist <math> T=\mathbb{N} </math> und die Iteration ist gegeben durch die Linksmultiplikation des Wahrscheinlichkeitsvektors <math> x_n </math> mit der [[Übergangsmatrix]] <math> M </math>. Die Fixpunkte sind dann die [[Stationäre Verteilung|stationären Verteilungen]].

== Anwendungen ==
Seit Mitte der 1990er Jahre<ref>R.F. Port and T. van Gelder [eds.] (1995). Mind as Motion. Explorations in the Dynamics of Cognition. A Bradford Book. MIT Press, Cambridge/MA.</ref> hat die an einem systemtheoretischen [[Konnektionismus]] orientierte [[Kognitionswissenschaft]] zunehmend die Methoden der (nichtlinearen) „Dynamischen Systemtheorie (DST)“ übernommen.<ref>van Gelder, T. and R.F. Port (1995). It’s about time: an overview of the dynamical approach to cognition. S. 1–43. In: R.F. Port and T. van Gelder (Hrsg.): Mind as Motion. Explorations in the Dynamics of Cognition. A Bradford Book. MIT Press, Cambridge/MA.</ref><ref>van Gelder, T. (1998b). The dynamical hypothesis in cognitive science. Behavioral and Brain Sciences 21: 615-628.</ref><ref>Abrahamsen, A. and W. Bechtel (2006). Phenomena and mechanisms: putting the symbolic, connectionist, and dynamical systems debate in broader perspective. S. 159–185. In: R. Stainton (Hrsg.): Contemporary Debates in Cognitive Science. Basil Blackwell, Oxford.</ref> Eine Vielzahl von neurosymbolischen kognitiven Neuroarchitekturen im modernen Konnektionismus lassen sich unter Berücksichtigung ihres mathematischen Strukturkerns als (nichtlineare) dynamische Systeme kategorisieren.<ref>Nadeau, S.E. (2014). Attractor basins: a neural basis for the conformation of knowledge. S. 305–333. In: A. Chatterjee (Hrsg.): The Roots of Cognitive Neuroscience. Behavioral Neurology and Neuropsychology. Oxford University Press, Oxford.</ref><ref>Leitgeb, H. (2005). Interpreted dynamical systems and qualitative laws: from neural network to evolutionary systems. Synthese 146: 189-202.</ref><ref>Munro, P.W. and J.A. Anderson. (1988). Tools for connectionist modeling: the dynamical systems methodology. Behavior Research Methods, Instruments, and Computers 20: 276-281.</ref> Diese Versuche in der Neurokognition, konnektionistische kognitive Neuroarchitekturen mit der DST zu verschmelzen, kommen nicht nur aus der [[Neuroinformatik]] und dem Konnektionismus, sondern neuerdings auch aus der [[Entwicklungspsychologie]] („Dynamic Field Approach“<ref>Schöner, G. (2008). Dynamical systems approaches to cognition. S. 101–126. In: R. Sun (Hrsg.): The Cambridge Handbook of Computational Psychology. Cambridge University Press, Cambridge.</ref><ref>Schöner, G. (2009) Development as change of systems dynamics: stability, instability, and emergence. S. 25–31. In: J.P. Spencer, M.S.C. Thomas, and J.L. McClelland. (Hrsg.): Toward a Unified Theory of Development: Connectionism and Dynamic Systems Theory ReConsidered. Oxford University Press, Oxford.</ref>) und aus der „Evolutionary Robotics“ und „Developmental Robotics“<ref>Schlesinger, M. (2009). The robot as a new frontier for connectionism and dynamic systems theory. S. 182–199. In: J.P. Spencer, M.S.C. Thomas, and J.L. McClelland. (Hrsg.): Toward a Unified Theory of Development: Connectionism and Dynamic Systems Theory ReConsidered. Oxford University Press, Oxford.</ref> in Verbindung mit der mathematischen Methode der „Evolutionary Computation (EC)“. Für einen Überblick siehe Maurer.<ref>Maurer, H. (2021). Cognitive science: Integrative synchronization mechanisms in cognitive neuroarchitectures of the modern connectionism. CRC Press, Boca Raton/FL, chap. 1.4, 2., 3.26, 11.2.1, ISBN 978-1-351-04352-6. {{DOI|10.1201/9781351043526}}</ref><ref>Maurer, H. (2016). „Integrative synchronization mechanisms in connectionist cognitive Neuroarchitectures“. Computational Cognitive Science. 2: 3. {{DOI|10.1186/s40469-016-0010-8}}</ref>

== Siehe auch ==
* [[Bifurkation (Mathematik)]]
* [[C*-dynamisches System]]
* [[Nichtlineare Dynamik]]
* [[Stochastischer Prozess]]
* [[Symbolische Dynamik]]
* [[W*-dynamisches System]]

== Literatur ==

=== Einführungen ===
* {{Literatur |Autor=Herbert Amann |Titel=Gewöhnliche Differentialgleichungen |Auflage=2 |Verlag=de Gruyter |Ort=Berlin |Datum=1995 |ISBN=3-11-014582-0}}
* [[George David Birkhoff]]: ''Dynamical Systems.'' Rev. Ed. AMS, Providence, RI, 1966.
* {{Literatur |Autor=Manfred Denker |Titel=Einführung in die Analysis dynamischer Systeme |Verlag=Springer |Ort=Berlin u. a. |Datum=2005 |ISBN=3-540-20713-9}}
* [[John Guckenheimer]], Philip Holmes: ''Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields.'' Corr. 3rd printing. Springer, New York 1990, ISBN 3-540-90819-6.
* Diederich Hinrichsen, Anthony J. Pritchard: ''Mathematical Systems Theory I – Modelling, State Space Analysis, Stability and Robustness.'' Springer, 2005.
* Wolfgang Metzler: ''Nichtlineare Dynamik und Chaos'', B.G. Teubner, Stuttgart/Leipzig 1998, ISBN 3-519-02391-1.
* {{Literatur |Autor=[[Gerald Teschl]] |Titel=Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems |Verlag=American Mathematical Society |Ort=Providence |Datum=2012 |ISBN=978-0-8218-8328-0 |Online=http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/}}
* J. de Vries: ''Elements of Topological Dynamics.'' Springer, 1993.

=== Ideengeschichte ===

* Christophe Letellier et al.: ''Some elements for a history of the dynamical systems theory''. In: ''Chaos''. Band 31, Nr. 5, 2021, 053110. [[DOI:10.1063/5.0047851]].

== Weblinks ==
{{Commonscat|Dynamical systems|Dynamisches System|audio=1|video=0}}{{Wikibooks|Einführung in die Systemtheorie}}
* {{Scholarpedia|http://www.scholarpedia.org/article/History_of_Dynamical_Systems|History of Dynamical Systems}}
* {{Scholarpedia|http://www.scholarpedia.org/article/Dynamical_systems|Dynamical Systems}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Theorie dynamischer Systeme| ]]
[[Kategorie:Klassische Mechanik]]
[[Kategorie:Nichtlineare Dynamik]]

Dynamisches System - Versionsgeschichte

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