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[[Datei:Matrix multiplication qtl3.svg|miniatur|Dyadisches Produkt zweier Vektoren als Matrizenprodukt]]
Das '''dyadische Produkt''' (kurz auch '''Dyade''' von griechisch δύας, dýas „Zweiheit“) oder '''tensorielle Produkt''' ist in der [[Mathematik]] ein spezielles [[Produkt (Mathematik)|Produkt]] zweier [[Vektor]]en. Das Ergebnis eines dyadischen Produkts ist eine [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] (oder ein [[Tensor]] zweiter Stufe) mit [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] eins. Das dyadische Produkt kann als Spezialfall eines [[Matrizenprodukt]]s einer einspaltigen Matrix mit einer einzeiligen Matrix angesehen werden; es entspricht dann dem [[Kronecker-Produkt]] dieser beiden Matrizen. Um den Gegensatz zum [[Skalarprodukt|inneren Produkt]] (Skalarprodukt) zu betonen, wird das dyadische Produkt gelegentlich auch '''äußeres Produkt''' genannt, wobei diese Bezeichnung aber nicht eindeutig ist, da sie auch für das [[Kreuzprodukt]] und das [[Dachprodukt]] verwendet wird.

Das Konzept des dyadischen Produkts und damit die '''Dyadenrechnung''' geht auf den US-amerikanischen Physiker [[Josiah Willard Gibbs]] zurück, der es erstmals im Jahr 1881 im Rahmen seiner [[Vektoranalysis]] formulierte.<ref>{{Literatur |Autor=Ari Ben-Menahem |Titel=Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences |Band=1 |Verlag=Springer |Datum=2009 |ISBN=978-3-5406-8831-0 |Seiten=2463}}</ref>

== Definition ==
Das dyadische Produkt ist eine [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] zweier reeller [[Vektor]]en <math>x \in \R^m</math> und <math>y \in \R^n</math> der Form

:<math>\otimes \colon \R^m \times \R^n \to \R^{m \times n}, \quad (x,y) \mapsto x \otimes y</math>,

wobei das Ergebnis eine [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>C \in \R^{m \times n}</math> ist. Jeder Eintrag <math>c_{ij}</math> der Ergebnismatrix berechnet sich dabei aus den Vektoren <math>x = (x_1, \ldots , x_i , \ldots , x_m)</math> und <math>y = (y_1, \ldots , y_j , \ldots , y_n)</math> über

:<math>c_{ij} = x_i \cdot y_j</math>

als das [[Produkt (Mathematik)|Produkt]] der Elemente <math>x_i</math> und <math>y_j</math>. Interpretiert man den ersten Vektor als einspaltige Matrix und den zweiten Vektor als einzeilige Matrix, so lässt sich das dyadische Produkt mittels

:<math>
x \otimes y = x \cdot y^T = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y_1 & \cdots & y_n \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
{x_1 y_1 } & \cdots &{x_1 y_n}\\
\vdots & \ddots &\vdots\\
{x_m y_1 } & \cdots &{x_m y_n}
\end{pmatrix}
</math>

als [[Matrizenprodukt]] darstellen, wobei <math>y^T</math> der zu <math>y</math> [[Transponierte Matrix|transponierte Vektor]] ist. Das dyadische Produkt kann so auch als Spezialfall des [[Kronecker-Produkt]]s einer einspaltigen mit einer einzeiligen Matrix angesehen werden.

== Beispiele ==

Sind <math>x = (1, 3, 2) \in \R^3</math> und <math>y = (2, 1, 0, 3) \in \R^4</math>, dann ist das dyadische Produkt von <math>x</math> und <math>y</math>

:<math>
x \otimes y =
\begin{pmatrix}
1 \cdot 2 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 & 1 \cdot 3 \\
3 \cdot 2 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 0 & 3 \cdot 3 \\
2 \cdot 2 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 3 \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & 3 \\
6 & 3 & 0 & 9 \\
4 & 2 & 0 & 6 \\
\end{pmatrix} \in \R^{3 \times 4}.
</math>

Jede Spalte dieser Matrix ist also ein [[Vielfaches]] von <math>x</math> und jede Zeile ein Vielfaches von <math>y^T</math>. Als [[trivial]]e Beispiele sind jede [[Nullmatrix]] das dyadische Produkt von [[Nullvektor]]en und jede [[Einsmatrix]] das dyadische Produkt von [[Einsvektor]]en entsprechend passender Größe:

:<math>0_{mn} = 0_m \otimes 0_n</math>   und   <math>1_{mn} = 1_m \otimes 1_n</math>

== Eigenschaften ==

Die folgenden Eigenschaften des dyadischen Produkts ergeben sich direkt aus den [[Matrizenmultiplikation#Eigenschaften|Eigenschaften der Matrizenmultiplikation]].

=== Kommutativität ===

Das dyadische Produkt ist, wie zahlreiche Beispiele belegen, nicht [[Kommutativgesetz|kommutativ]].

Für die Transponierte des dyadischen Produkts zweier Vektoren <math>x \in \R^m</math> und <math>y \in \R^n</math> gilt

:<math>(x \otimes y)^T = y \otimes x</math>.

Zwei Vektoren <math>x</math> und <math>y</math> sind damit genau dann vertauschbar, das heißt, es gilt

:<math>x \otimes y = y \otimes x</math>,

wenn die Ergebnismatrix [[Symmetrische Matrix|symmetrisch]] ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn einer der beiden Vektoren ein Vielfaches des anderen Vektors ist, das heißt, wenn es eine Zahl <math>\lambda \in \R</math> gibt, sodass <math>x = \lambda y</math> oder <math>y = \lambda x</math> gilt. Ist einer der Vektoren ein Nullvektor, dann gilt insbesondere für alle <math>x \in \R^n</math>

:<math>x \otimes 0_n = 0_n \otimes x = 0_{nn}</math>,

wobei die Ergebnismatrix dann die Nullmatrix ist.

=== Distributivität ===

Mit der [[Vektoraddition]] <math>x+y</math> ist das dyadische Produkt [[Distributivgesetz|distributiv]], das heißt, es gilt für alle <math>x \in \R^m</math> und <math>y,z \in \R^n</math>

:<math>x \otimes (y + z) = x \otimes y + x \otimes z</math>

sowie für alle <math>x,y \in \R^m</math> und <math>z \in \R^n</math> entsprechend

:<math>(x + y) \otimes z = x \otimes z + y \otimes z</math>.

Weiter ist das dyadische Produkt verträglich mit der [[Skalarmultiplikation]], das heißt für <math>x \in \R^m</math> und <math>y \in \R^n</math> sowie <math>\lambda \in \R</math> gilt

:<math>\lambda(x \otimes y) = (\lambda x) \otimes y = x \otimes (\lambda y)</math>.

=== Skalarprodukt ===

Das dyadische Produkt ist verträglich mit dem [[Skalarprodukt]], das heißt, es gilt für alle <math>x \in \R^m</math> und <math>y,z \in \R^n</math><ref name="altenbach">{{Literatur
| Autor=[[Holm Altenbach]]
| Titel=Kontinuumsmechanik
| TitelErg=Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen
| Verlag=Springer-Verlag
| Ort=Berlin, Heidelberg
| Datum=2012
| Seiten=30
| ISBN=978-3-642-24118-5
| DOI=10.1007/978-3-642-24119-2}}</ref><ref>{{Literatur
| Autor=Wolfgang Werner
| Titel=Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik
| TitelErg=Tensoralgebra und Tensoranalysis
| Band=1
| Verlag=Springer Vieweg Verlag
| Ort=Wiesbaden
| Jahr=2019
| Seiten=29
| ISBN=978-3-658-25271-7
| DOI=10.1007/978-3-658-25272-4}}</ref>

:<math>(x \otimes y) \cdot z = x \otimes (y \cdot z)=(y \cdot z)x</math>

und

:<math>z \cdot (x \otimes y) = (z \cdot x) \otimes y=(z \cdot x)y</math>

=== Kreuzprodukt ===

Das dyadische Produkt ist verträglich mit dem [[Kreuzprodukt]], das heißt, es gilt für alle <math>x \in \R^m</math> und <math>y,z \in \R^3</math><ref name="altenbach"/>

:<math>(x\otimes y)\times z=x\otimes(y\times z)=x\otimes y\times z</math>

und

:<math>z\times(x\otimes y)=(z\times x)\otimes y=z\times x\otimes y</math>

== Dyadisches Produkt zweier Vektoren ==

Das dyadische Produkt zweier Vektoren <math>x \in \R^m</math> und <math>y \in \R^n</math> ergibt, sofern keiner der beiden Vektoren der Nullvektor ist, eine [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]]-Eins-Matrix, das heißt

:<math>\operatorname{rang}(x \otimes y) = 1</math>.

Umgekehrt lässt sich jede Rang-Eins-Matrix als dyadisches Produkt zweier Vektoren darstellen. Für die [[Spektralnorm]] und die [[Frobeniusnorm]] eines dyadischen Produkts gilt

:<math>\| x \otimes y \|_2 = \| x \otimes y \|_F = \| x \|_2 \cdot \| y \|_2</math>,

wobei <math>\| x \|_2</math> die [[euklidische Norm]] des Vektors <math>x</math> ist. Neben der Nullmatrix sind Rang-Eins-Matrizen die einzigen Matrizen, für die diese beiden Normen übereinstimmen.

== Bezüge zu anderen Produkten ==

=== Skalarprodukt ===

Bildet man umgekehrt das Produkt aus einem Zeilenvektor mit einem Spaltenvektor, so erhält man das [[Standardskalarprodukt]] zweier Vektoren <math>x,y \in \R^n</math> gegeben durch

:<math>\langle x, y \rangle = x^T \cdot y</math>,

wobei das Ergebnis eine reelle Zahl ist. Das Standardskalarprodukt zweier Vektoren ist gleich der [[Spur (Mathematik)|Spur]] (der Summe der Diagonalelemente) ihres dyadischen Produkts, also

:<math>\operatorname{Spur}(x \otimes y) = \langle x, y \rangle</math>.

Weiter ist die Matrix <math>x \otimes y</math> genau dann [[Nilpotente Matrix|nilpotent]] (immer vom Grad 2), wenn die beiden Vektoren [[Orthogonalität|orthogonal]] sind, das heißt

:<math>( x \otimes y )^2 = 0 \Leftrightarrow \langle x,y \rangle = 0</math>.

Wenn sich Zeilen- und Spaltenvektoren passender Größe abwechseln, können auch mehrere Vektoren miteinander multipliziert werden. Aufgrund der Assoziativität der Matrizenmultiplikation erhält man so die Identitäten

:<math>x^T \cdot (y \otimes z) = x^T \cdot y \cdot z^T = \langle x, y \rangle \, z^T</math>

und

:<math>(x \otimes y) \cdot z = x \cdot y^T \cdot z = x \, \langle y, z \rangle</math>.

Ein [[Skalarprodukt]] wird auch inneres Produkt genannt, weswegen das dyadische Produkt gelegentlich auch als äußeres Produkt bezeichnet wird. Diese Dualität wird in der [[Bra-Ket]]-Notation der [[Quantenmechanik]] genutzt, wo ein inneres Produkt durch <math>\langle x | y \rangle</math> und ein äußeres Produkt durch <math>| y \rangle \langle x |</math> notiert wird.

=== Tensorprodukt ===

Der [[Vektorraum]], der durch dyadische Produkte von Vektoren <math>x \in \R^m, y \in \R^n</math> [[Lineare Hülle|aufgespannt]] wird, ist der [[Tensorprodukt]]raum

:<math>\R^m \otimes \R^n = \operatorname{span} \{ x \otimes y \mid x \in \R^m, y \in \R^n \}</math>.

Dieser Raum ist [[Isomorphismus|isomorph]] zum Raum aller Matrizen <math>\R^{m \times n}</math>. Jede Matrix <math>A \in \R^{m \times n}</math> lässt sich demnach als [[Linearkombination]] dyadischer Produkte von Vektoren darstellen, das heißt

:<math>A = \sum_{i=1}^r x_i \otimes y_i</math>,

wobei <math>x_1, \ldots , x_r \in \R^m</math>, <math>y_1, \ldots , y_r \in \R^n</math> und <math>r = \operatorname{rang}(A)</math> sind. Durch eine geeignete Wahl von Vektoren <math>x_i, y_i</math> und einer Rangschranke <math>r' < r</math> lässt sich auf diese Weise auch eine [[Niedrigrang-Approximation]] einer Matrix erreichen, wodurch [[Numerische Mathematik|numerische]] Berechnungen bei sehr großen Matrizen beschleunigt werden können.<ref>{{Literatur |Autor=Ivan Markovsky |Titel=Low Rank Approximation. Algorithms, Implementation, Applications |Verlag=Springer |Datum=2011 |ISBN=978-1-447-12227-2}}</ref>

== Verwendung ==

In vielen Anwendungen wird ein dyadisches Produkt nicht komponentenweise ausgerechnet, sondern zunächst stehen gelassen und erst ausgewertet, wenn es mit weiteren Termen multipliziert wird. Multipliziert man das dyadische Produkt <math>x \otimes y</math> mit einem Vektor <math>z</math>, erhält man einen Vektor, der [[Parallelität (Geometrie)|parallel]] zu <math>x</math> ist, da

:<math>(x \otimes y) \cdot z = x \, \langle y, z \rangle</math>

gilt. Das dyadische Produkt eines [[Einheitsvektor]]s <math>v</math> mit sich selbst ist ein [[Orthogonalprojektion|Projektionsoperator]], denn das [[Matrix-Vektor-Produkt]]

:<math>(v \otimes v) \cdot x = v \, \langle v, x \rangle</math>

projiziert einen gegebenen Vektor <math>x</math> orthogonal auf eine [[Ursprungsgerade]] mit [[Richtungsvektor]] <math>v</math>. Die [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]] eines Vektors an einer [[Ursprungsebene]] mit Einheits-[[Normalenvektor]] <math>n</math> ergibt sich entsprechend als

:<math>(I - 2n \otimes n) \cdot x = x - 2n \, \langle n, x \rangle</math>,

wobei <math>I</math> die [[Einheitsmatrix]] ist. Solche Spiegelungen werden beispielsweise in der [[Householdertransformation]] verwendet.

In der digitalen Bildverarbeitung können [[Faltungsmatrix|Faltungsmatrizen]] als dyadisches Produkt zweier Vektoren dargestellt werden. Durch diese [[Separierbarkeit]] können z. B. [[Weichzeichnen|Weichzeichnungs]]- oder [[Kantendetektion|Kantenerkennungsfilter]] in „two passes“ (engl. zwei Durchläufe) angewendet werden, um den Rechenaufwand zu reduzieren.

Als Beispiel der 5 × 5 „[[Faltungsmatrix]]“ (engl. convolution kernel) des [[Gaußscher Weichzeichner|Gaußschen Weichzeichners]]:

<math>\frac{1}{256}\begin{bmatrix} 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \\ 4 & 16 & 24 & 16 & 4 \\ 6 & 24 & 36 & 24 & 6 \\
4 & 16 & 24 & 16 & 4 \\ 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \end{bmatrix} =
\frac{1}{16} \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 6 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} \cdot
\frac{1}{16} \begin{bmatrix} 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \end{bmatrix}</math>

== Koordinatenfreie Darstellung ==

In einer abstrakteren, koordinatenfreien Darstellung ist das dyadische Produkt <math>\vec a\otimes\vec b</math> zweier Vektoren <math>\vec{a}\in\mathbb{V}_2</math> und <math>\vec{b}\in\mathbb{V}_1</math> aus zwei [[Vektorraum|Vektorräumen]] <math>\mathbb{V}_1</math> und <math>\mathbb{V}_2 </math> ein Tensor zweiter Stufe <math>\mathbf{T}</math> im [[Tensorprodukt]]raum <math>\mathbb{V}_2\otimes\mathbb{V}_1</math>. Die verschiedenen Notationen verwenden teilweise Fettdruck für Vektoren oder lassen das Zeichen <math>\otimes</math> weg:

:<math>\mathbf{T}=\vec{a}\otimes\vec{b}
=\mathbf{a}\otimes\mathbf{b}=\mathbf{a b}</math>

Nicht jeder Tensor zweiter Stufe ist ein dyadisches Produkt von zwei Vektoren, jedoch kann jeder Tensor zweiter Stufe als Summe dyadischer Produkte dargestellt werden. Ein Tensor, der dyadisches Produkt zweier Vektoren ist, heißt ''einfacher Tensor'' oder ''Dyade.''

Anwendung findet diese Version des dyadischen Produkts in der [[Kontinuumsmechanik]], wo meist <math>\mathbb{V}_1=\mathbb{V}_2=\mathbb{V}</math> identisch mit dem dreidimensionalen Vektorraum <math>\mathbb{V}</math> der geometrischen [[Vektor]]en ist.

Ist <math>\mathbb{V}_1</math> ein [[Prähilbertraum|euklidischer Vektorraum]], so kann mit Hilfe des Skalarprodukts „·“ von <math>\mathbb{V}_1</math> das innere Produkt zwischen Tensoren und Vektoren definiert werden. Es ordnet jedem Tensor <math>\mathbf{T}\in\mathbb{V}_2\otimes\mathbb{V}_1</math> und Vektoren <math>\vec c\in\mathbb{V}_1</math> einen Vektor <math>\mathbf{T}\cdot\vec{c}\in\mathbb{V}_2</math> zu. Für Dyaden <math>\mathbf{T}=\vec{a}\otimes\vec{b},\ \vec a\in\mathbb V_2,\ \vec b\in\mathbb V_1</math> ist das innere Produkt wie folgt definiert:

:<math>(\mathbf{T},\vec{c})\mapsto\mathbf{T}\cdot\vec{c}
=(\vec{a}\otimes\vec{b})\cdot\vec{c}
=(\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}\in\mathbb{V}_2</math>

Hierdurch kann jede Dyade und damit auch jeder Tensor <math>\mathbf{T}\in\mathbb{V}_2\otimes\mathbb{V}_1</math> als [[lineare Abbildung]]

:<math>\mathbf{T}\colon\mathbb{V}_1\to\mathbb{V}_2,\quad\vec c\mapsto\mathbf T\cdot\vec c</math>

aufgefasst werden. Der Tensorproduktraum <math>\mathbb{V}_2\otimes\mathbb{V}_1</math> kann also mit dem Raum <math>\mathcal{L}(\mathbb{V}_1,\mathbb{V}_2)</math> der linearen Abbildungen von <math>\mathbb{V}_1</math> nach <math>\mathbb{V}_2</math> identifiziert werden. Dies wird im Folgenden getan.

Für das dyadische Produkt gelten die folgenden Rechenregeln. <math>\mathbb V_1</math>, <math>\mathbb V_2</math>, und <math>\mathbb V_3</math>, seien euklidische Vektorräume. Dann gilt für alle <math>\vec{a}\in\mathbb{V}_2,
\ \vec{b},\vec{c}\in\mathbb{V}_1,
\ \vec{d}\in\mathbb{V}_3,\mathbf{T}\in
\mathcal{L}(\mathbb{V}_2,\mathbb{V}_3) </math>:

:<math>\begin{array}{l}
(\vec{a}\otimes\vec{b})\cdot(\vec{c}\otimes\vec{d})
=(\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}\otimes\vec{d}
\\
(\mathbf{T}\cdot\vec{a})\otimes\vec{b}
=\mathbf{T}\cdot(\vec{a}\otimes\vec{b})
\\
\vec{b}\otimes(\mathbf{T}\cdot\vec{a})=
(\vec{b}\otimes\vec{a})\cdot\mathbf{T}^\top
\\
\vec{d}\cdot(\mathbf{T}\cdot\vec{a})
=(\mathbf{T}^\top\cdot\vec{d})\cdot\vec{a}\end{array} </math>.

Zu beachten ist hier, dass die Skalarprodukte „·“ in den Gleichungen aus den verschiedenen Vektorräumen stammen, was sich durch einen Index verdeutlicht beispielsweise wie folgt schreibt: <math>\vec{d}\cdot_3(\mathbf{T}\cdot_2\vec{a})=(\mathbf{T}^\top\cdot_3\vec{d})\cdot_2\vec{a}</math>.

Das [[Frobenius-Skalarprodukt|Skalarprodukt]] zweier Tensoren aus <math>\mathcal{L}(\mathbb{V}_1,\mathbb{V}_2)</math> kann mit Vektoren <math>\vec{a},\vec{c}\in\mathbb{V}_2,\vec{b},\vec{d}\in\mathbb{V}_1</math> definiert werden:

:<math>(\vec{a}\otimes\vec{b})\cdot(\vec{c}\otimes\vec{d})
=\mathrm{Spur}\left(
(\vec{a}\otimes\vec{b})^\top\cdot(\vec{c}\otimes\vec{d})\right)
=(\vec{a}\cdot\vec{c})(\vec{b}\cdot\vec{d})</math>

Damit baut <math>\mathcal{L}(\mathbb{V}_1,\mathbb{V}_2)</math> einen [[Prähilbertraum|euklidischen Vektorraum]] auf, dessen Elemente Tensoren zweiter Stufe sind. Mit einer Basis <math>\{\vec{a}_i\}</math> von <math>\mathbb{V}_2</math> und <math>\{\vec{b}_j\}</math> von <math>\mathbb{V}_1</math> besitzt <math>\mathcal{L}(\mathbb{V}_1,\mathbb{V}_2)</math> eine Basis <math>\lbrace\vec{a}_i\otimes\vec{b}_j\rbrace</math> bezüglich der jeder Tensor komponentenweise dargestellt werden kann:

:<math>\mathbf{T}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} T^{ij}\vec{a}_i\otimes\vec{b}_j,</math>

worin <math>n</math> die Dimension von <math>\mathbb{V}_2</math> und <math>m</math> die Dimension von <math>\mathbb{V}_1</math> ist. Der Tensor ist von den verwendeten Basen unabhängig. Bei einem Basiswechsel ändern sich daher die Komponenten <math>T^{ij}</math> auf charakteristische Weise. Von Bedeutung sind ''Invarianten'', die bei solchen Basiswechseln ihren Wert nicht ändern, siehe z. B. [[Hauptinvariante]].

Die Komponenten <math>T^{ij}</math> können in einer Matrix angeordnet werden, wobei dann die verwendete Basis in Erinnerung behalten werden muss. Gelegentlich wird z. B.

:<math>\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} T^{ij}\vec{a}_i\otimes\vec{b}_j
=\left(\begin{array}{ccc}
T^{11} & T^{12} & T^{13}\\
T^{21} & T^{22} & T^{23}\\
T^{31} & T^{32} & T^{33}\end{array}\right)_{\vec{a}_i\otimes\vec{b}_j}
</math>

geschrieben. Ist der Definitionsbereich mit dem Bildbereich identisch, kann bei Verwendung der [[Standardbasis]] <math>\{\vec{e}_i\}</math> der Verweis auf die verwendete Basis weggelassen werden und der Tensor geht in seine Matrixrepräsentation über, z. B.:

:<math>\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} T^{ij}\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j
=\left(\begin{array}{ccc}
T^{11} & T^{12} & T^{13}\\
T^{21} & T^{22} & T^{23}\\
T^{31} & T^{32} & T^{33}\end{array}\right)
</math>.

In Koordinatendarstellung ist das oben als Matrix definierte dyadische Produkt zweier Spaltenvektoren gerade diese [[Abbildungsmatrix]] des Tensors.

== Einzelnachweise ==

<references />

== Literatur ==

* {{Literatur |Autor=[[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]] |Titel=Lineare Algebra |Auflage=14. |Verlag=Vieweg |Datum=2003 |ISBN=3-528-03217-0}}
* [[Erwin Lohr]]: ''Vektor- und Dyadenrechnung für Physiker und Techniker.'' De Gruyter, Berlin 1939, ISBN 9783112392959.
* {{Literatur |Autor=[[Rudolf Zurmühl]] |Titel=Matrizen und ihre Anwendungen |Auflage=7. |Verlag=Springer |Datum=1997 |ISBN=3-540-61436-2}}
* {{Literatur |Autor=Hans Karl Iben |Titel=Tensorrechnung |Auflage=2. |Verlag=Teubner |Datum=1999 |ISBN=3-519-00246-9}}
* H. Altenbach: ''Kontinuumsmechanik.'' Springer Verlag, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.
* Peter Haupt: ''Continuum Mechanics and Theory of Materials.'' Springer, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66114-X.

== Weblinks ==

* {{MathWorld|title=Vector Direct Product|id=VectorDirectProduct}}
* {{PlanetMath|author=pahio|title=Dyad Product|id=dyadproduct}}

[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Dyadisches Produkt - Versionsgeschichte

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