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2026-04-24T16:47:32Z

Vorlagen-fix (Hrsg)

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[[Datei:Diameter.svg|mini|Die Länge der roten Linie bezeichnet man als Durchmesser]]
Der '''Durchmesser''' ({{grcS|διάμετρος|diámetros|prefix=nein}}) eines [[Kreis]]es in der [[Euklidische Ebene|euklidischen Ebene]] oder einer [[Kugel]] im [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] ist der [[Größtes und kleinstes Element|größte]] [[Abstand]] zweier Punkte der Kreislinie beziehungsweise der [[Kugeloberfläche]]. Bei einem Kreis ist dies die [[Länge (Mathematik)|Länge]] jeder längsten [[Sehne (Geometrie)|Sehne]]<ref>{{Literatur |Autor=Dr. Hubert Bossek u.a. |Hrsg=Günther Rolles, Dr. Michael Unger |Titel=Schulwissen Mathematik, 5. bis 10. Klasse |Sammelwerk=Schulwissen 5. bis 10. Klasse |Auflage=1. |Verlag=Bibliographisches Institut AG / DUDEN PAETEC GmbH |Ort=Mannheim / Berlin |Datum=2009 |ISBN=978-3-411-73591-4 |Seiten=253}}</ref>.

Allgemein ist der Durchmesser eines [[Rotationskörper]]s die Länge der längsten Sehne senkrecht zur Rotationsachse des Körpers. Ein gebräuchliches [[Durchmesserzeichen]] ist der diagonal durchgestrichene Kreis (Ø).

== Geometrie ==
Der Durchmesser eines Kreises entspricht der Länge einer jeden Sehne, die den Mittelpunkt enthält.<ref>{{Literatur |Titel=Duden Rechnen und Mathematik |Verlag=Bibliographisches Institut |Ort=Mannheim etc. |Datum=1985 |Seiten=343}}</ref> Sie ist demnach gleich dem Abstand zwischen den beiden [[Schnittpunkt]]en, welche die [[Schnittmenge]] der Kreislinie mit einer durch den Kreismittelpunkt verlaufenden [[Gerade]]n bilden. Entsprechend gilt auch im höherdimensionalen Fall einer <math>n</math>-[[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]] (und insbesondere im Fall einer Kugel), dass der Durchmesser die Länge der [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] ist, die aus einer den Mittelpunkt enthaltenden Geraden von der Sphäre ausgeschnitten wird. Hier wird eine solche Strecke dann selbst gelegentlich als ein Durchmesser (dieser Sphäre) bezeichnet.<ref>{{Literatur |Autor=Gerd Fischer |Titel=Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger |Auflage=18. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Wiesbaden |Datum=2014 |ISBN=978-3-658-03945-5 |Seiten=249}}</ref>

Die Hälfte eines Durchmessers wird [[Radius]] <math>r</math> genannt. Das Verhältnis vom [[Umfang (Geometrie)|Umfang]] <math>U</math> eines Kreises zum Durchmesser <math>d</math> ist die [[Kreiszahl]] <math>\pi=3{,}14159\dots</math> und bei einem Kreis gilt daher<ref>{{Literatur |Autor=I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew u.a. |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=10. |Verlag=Verlag Harri Deutsch |Ort=Frankfurt am Main |Datum=2016 |ISBN=978-3-8171-2007-9 |Seiten=194}}</ref>
:<math> d = \frac{U}{\pi} = 2 r</math>.

=== Innen- und Außendurchmesser ===
[[Datei:Kreisring.svg|mini|Kreisring mit Innendurchmesser <math>d=2r</math>, Außendurchmesser <math>D=2R</math> und Ringbreite <math>b=R-r</math>]]
Im Falle eines [[Kreisring]]s oder eines [[Zylinder (Geometrie)#Hohlzylinder|Hohlzylinders]] unterscheidet man zwischen dem inneren und äußeren Durchmesser, genannt Innen- und Außendurchmesser.

Zur Abgrenzung werden meist verschiedene Formelzeichen verwendet, z. B. <math>d</math>, <math>d_i</math> oder <math>D_i</math> für den Innen- und <math>D</math>, <math>d_a</math> oder <math>D_a</math> für den Außendurchmesser.

Analog wird <math>r=\frac{d}{2}</math> als ''Innenradius'' und <math>R=\frac{D}{2}</math> als ''Außenradius'' bezeichnet. Die Differenz von Außen- und Innenradius <math>b=R-r</math> nennt man bei Kreisringen ''Ringbreite'' und bei Hohlkörpern ''[[Wanddicke]]''.

=== Durchmesser in metrischen Räumen ===
Eine mathematische Verallgemeinerung ist der Durchmesser einer Menge <math>M</math> in einem [[Metrischer Raum|metrischen Raum]] <math>X</math>. Er ist definiert als das [[Infimum und Supremum|Supremum]] aller Abstände je zweier Punkte des Raumes,<ref>{{Literatur |Autor=Klaus Jänich |Titel=Topologie |Auflage=8. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2005 |ISBN=3-540-21393-7 |Seiten=28}}</ref>
:<math>\operatorname{diam}(M) := \sup\{d(x,y):x,y\in M\}</math>.

Für Kreise und Kugeln in [[Euklidischer Raum|euklidischen Räumen]] stimmt diese Definition mit dem oben genannten geometrischen Begriff überein.

=== Beispiele ===
* Das [[reell]]e [[Einheitsintervall]] <math>I = [0,1] \subset \R</math> hat den Durchmesser <math>\operatorname{diam}(I) = 1</math>.
* Im euklidischen Raum <math>\R^n</math> haben die [[offene Einheitskugel]] <math>B_{\R^n}</math>, die [[abgeschlossene Einheitskugel]] <math>\overline{B_{\R^n}}</math> und die zugehörige [[Einheitssphäre]] <math>S^{n-1} \subset \overline{B_{\R^n}} \; (n=2,3,\ldots)</math> den gemeinsamen Durchmesser <math>\operatorname{diam}(B_{\R^n}) = \operatorname{diam}(\overline{B_{\R^n}})=\operatorname{diam}(S^{n-1}) = 2</math>.

== Technik ==
Technische Formeln werden bevorzugt so aufgebaut, dass der Durchmesser und nicht der Radius als Variable enthalten ist, da sich der Durchmesser mit den werkstattüblichen Messmitteln (z. B. [[Messschieber]]) direkt ermitteln und dann in der Formel anwenden lässt.

In [[Technische Zeichnung|technischen Zeichnungen]] und Texten wird das [[Durchmesserzeichen]] <span style="font-size:large;">ø</span> (U+2300) den Maßzahlen von Kreisformen vorangestellt. Früher wurde dies Zeichen nur dann verwendet, wenn die Kreisform nicht sofort erkennbar war, d. h. beispielsweise bei der [[Schnittdarstellung]] von [[Bohrung]]en oder [[Durchgangsbohrung]]en. Laut [[Normenliste DIN 1 bis DIN 499|DIN 406-11]] von 1992 ist das Durchmesserzeichen seither in jedem Fall voran zu setzen.<ref>{{Literatur |Titel=DIN 406-11:1992-12. Technische Zeichnungen – Maßeintragung – Teil 11: Grundlagen der Anwendung |Verlag=Beuth Verlag |Ort=Berlin |Datum=1992}}</ref>

Beispiele für Hohlkörper mit Innen- und Außendurchmesser sind [[Unterlegscheibe]]n, [[Schlauch|Schläuche]], [[Rohr (Technik)|Rohre]], [[Welle (Mechanik)#Hohlwelle|Hohlwellen]] und [[Wälzlager]].
Bei Rohren und Schläuchen wird der genormte Innendurchmesser [[Nennweite]] genannt. Der Begriff [[Nenndurchmesser]] wird branchenabhängig für Innen- oder Außendurchmesser benutzt.

=== Messverfahren ===
Für die [[Messung]] und [[Lehre (Technik)|Prüfung]] von Durchmessern eignen sich abhängig von der [[Größenordnung]] verschiedene Messmethoden. Sowohl Innen- als auch Außendurchmesser können mit [[Messschraube]]n und [[Messschieber]]n gemessen werden.<ref>{{Literatur |Autor=Horst Wittel u.a. |Titel=Roloff/Matek Maschinenelemente |Auflage=23. |Verlag=Springer Vieweg |Ort=Wiesbaden |Datum=2017 |ISBN=978-3-658-17896-3 |Seiten=21–22}}</ref>

Größere Durchmesser lassen sich auch durch [[Koordinatenmessgerät]]e erfassen. Für kleine Durchmesser im [[Meter #Mikrometer|Mikrometer]]-Bereich eignen sich optische Messverfahren, wie [[Lasermikrometer]].

Zur Prüfung von Durchmessern eines Werkstücks können [[Grenzlehre]]n verwendet werden.

== Weitere Begriffsverwendungen ==
* [[Durchmesser (Graphentheorie)]] – der maximale Abstand zweier Knoten in einem Graphen
* [[Äquivalentdurchmesser]] – der Durchmesser einer zu einem gegebenen Körper äquivalenten Kugel
** [[Aerodynamischer Durchmesser]] – Äquivalentdurchmesser bezüglich der Aerodynamik
* [[Biparietaler Durchmesser]] – der Querdurchmesser des kindlichen Kopfes im Mutterleib
* [[Idealkritischer Durchmesser]] – eine Kenngröße in der Stahlherstellung
* [[Konjugierte Durchmesser]] – einander zugeordnete Durchmesser bei Kegelschnitten

== Literatur ==
* {{Literatur
|Hrsg=Fachredaktion des [[Bibliographisches Institut|Bibliographischen Instituts]]
|Titel=Duden Rechnen und Mathematik: Das Lexikon für Schule und Praxis
|TitelErg=Bearbeitet von Prof. Dr. [[Harald Scheid]]
|Auflage=4.
|Verlag=Bibliographisches Institut
|Ort=Mannheim, Wien, Zürich
|Datum=1985
|Seiten=124, 333, 343}}

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kreisgeometrie]]
[[Kategorie:Raumgeometrie]]

Durchmesser - Versionsgeschichte

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