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2025-01-18T22:31:55Z

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[[Datei:SimpSuppBeamPointLoad.svg|mini|Unten: eine [[Biegelinie]] (blau), deren Abstand von der Geraden (schwarz) an einer Stelle x<sub>1</sub> die örtliche Durchbiegung w<sub>1</sub> ist]]

Als '''Durchbiegung''' länglicher Gegenstände wie [[Balken]] oder [[Stab (Statik)|Stäben]] wird der Versatz zwischen belasteter und unbelasteter Lage bezeichnet, der bei [[Biegung (Mechanik)|Biege]][[Belastung (Physik)|belastung]] quer zur Längsachse entsteht.

Die Durchbiegung lässt sich bei [[Linear-elastisches Verhalten|linear-elastischer]] [[Verformung]] mit Hilfe der [[Balkentheorie]] berechnen. Als Durchbiegung wird i. d. R. der Versatz <math>w_1</math> bezeichnet, der in der dabei ermittelten [[Biegelinie]] <math>w(x)</math> an einer Stelle <math>x_1</math> dargestellt wird.

== Durchbiegung von Balken ==
Die erste Biegetheorie stammt von [[Galileo Galilei|Galilei]] (1564–1642). Weiter ausgebaut wurde sie v. a. durch das [[Hookesches Gesetz|Hookesche Gesetz]] (1678) sowie im 17. und 18. Jahrhundert durch Forschungen von [[Jakob I Bernoulli]], [[Leonhard Euler]] und [[Claude Navier]].

Unter der Annahme, dass y und z die [[Hauptträgheitsachse]]n sind (y horizontal nach hinten und z vertikal) und dass sich die [[Krümmung]] <math>\kappa_y(x)</math> in y-Richtung, d. h. die [[Ableitungsfunktion|Ableitung]] des [[Steigungswinkel]]s ''w' ''  in der vertikalen xz-Bildebene, an der Stelle x wie folgt berechnen lässt: <ref name="Festigkeitslehre">H. Mang, G Hofstetter: ''Festigkeitslehre.'' Springer Verlag, WienNewYork 2008 (3. Auflage), ISBN 978-3-211-72453-8, S. 176; 249</ref>

:<math>\kappa_y(x) = -\frac{\frac{\mathrm d^2w(x)}{\mathrm dx^2}}{\left( 1 + \left( \frac{\mathrm dw(x)}{\mathrm dx} \right) ^2 \right) ^{1{,}5}} \approx -\frac{\mathrm d^2w(x)}{\mathrm dx^2} = -{w}''(x)</math>,

gilt:

:<math>\begin{align}
w''(x) &= {w^{b}}''(x)+{w^{e}}''(x) +{w^{s}}''(x)\\
&= -\kappa_y^{b}(x) - \kappa^{e}_y(x) + \frac{\mathrm d\gamma (x)}{\mathrm dx}
\end{align}</math> <ref name='Festigkeitslehre'/><ref name="BaustatikSkript">Pichler, Bernhard. Eberhardsteiner, Josef: ''Baustatik VO'' - ''LVA-Nr 202.065''. [http://www.grafischeszentrum.com/ Grafisches Zentrum an der Technischen Universität Wien], {{Webarchiv | url=http://shop.tuverlag.at/de/baustatik-vo?info=74 | wayback=20160313142039 | text=TU Verlag}} Wien 2016, ISBN 978-3-903024-17-5, Kapitel ''2.7.1 Queranteile'' und ''10.2 Ausgewählte Lastglieder für die Queranteile''</ref>

mit
* Krümmung <math>\kappa_y^{b}(x) = \frac{M_y(x)}{EI_{yy}(x)}</math> aufgrund von Biegung (unter Annahme der Balkentheorie)
** [[Biegemoment]] ''M<sub>y</sub>'' quer zur Stabrichtung, an der Stelle ''x''
** [[Biegesteifigkeit]] <math>EI_{yy}(x) = E \cdot I_{yy}(x)</math>
*** [[Elastizitätsmodul]] ''E'' (ein [[Materialkennwert]]) (im inelastischen (z. B. [[Beton]]) oder [[nichtlinear]]en Bereich (z. B. [[Gummielastizität|Elastomerlager]]) ist dieser mit einem geeigneten Sekantenmodul zu ersetzen)
*** [[Flächenträgheitsmoment]] ''I'' des Balkenquerschnitts (eine rein geometrische Eigenschaft)
* eingeprägter Krümmung <math>\kappa^{e}_y(x)</math> (z. B. zufolge Temperaturdifferenz)
* [[Schub]]<nowiki/>deformation <math>\gamma (x) = \frac{V(x)}{GA(x)}</math> zufolge [[Querkraft]] <math>V</math>
** [[Schubsteifigkeit]] <math>GA(x)</math>
*** [[Schubmodul]] <math>G</math>
*** Balken-[[Querschnittsfläche]] <math>A</math> in der yz-Ebene.

Für die Biegelinie eines hinreichend elastischen, schlanken Bauteiles mit konstantem Querschnitt lautet eine oft verwendete [[Näherungsformel]] der Krümmung für betragsmäßig kleine Steigungswinkel w'≈0 unter ausschließlicher Momentenbelastung (<math>V = 0 \Rightarrow \gamma = 0</math>):

:<math>\kappa_y(x) = -w''(x) \approx \frac{M_y(x)}{E \cdot I_y}</math>

Die eigentlich gesuchte Durchbiegung ''w'' erhält man durch zweimalige [[Integralrechnung|Integration]] der Krümmung unter Berücksichtigung der [[Randbedingungen|Rand- und Übergangsbedingungen]] (u. a.: ''keine'' Durchbiegung an den [[Lager (Statik)|Lagerstellen]], d. h. <math>w(x = 0) = w(x = L) = 0</math>):

:<math>\begin{align}
\Rightarrow w(x) &= -\int \int \kappa_y(x) \, \mathrm{dx}\\
&\approx -\int \int \frac{M_y(x)}{E \cdot I_y} \, \mathrm{dx}
\end{align}</math>

=== Beispiele ===
[[Datei:Biegemoment Balken Mittenlast.svg|mini|Balken unter Mittellast]]
==== 1. Beispiel ====
Wirkt die [[Kraft]] ''F'' mittig (d. h. bei der halben Stablänge <math>\frac l 2</math>) auf einen [[Träger (Statik)|Träger]] mit konstanten Querschnittseigenschaften auf zwei Stützen, so ist das Biegemoment und damit auch die Stabkrümmung in der Stabmitte am größten (Erläuterung [[Biegemoment #An den Enden abgestützter Balken, Einzelkraft dazwischen|hier]]):

:<math>w_\mathrm{max} = w \left( x = \frac l 2 \right)</math>

Für <math>0 \leq x \leq \frac l 2</math> gilt unter Vernachlässigung der Schubverformungen (GA=∞):

:<math>M_y(x) = \frac F 2 \cdot x</math>
:<math>\Rightarrow w''(x) = - \frac{\frac F 2 \cdot x}{EI}</math>

damit folgt unter Berücksichtigung der Randbedingung <math>w(x = 0) = 0</math> und der Übergangsbedingung <math>w'(x = \frac l 2) = 0</math>:

:<math>w(x) = - \frac{F \cdot x^3}{12 EI} + \frac{F \cdot l^2 \cdot x}{16 EI}</math>

und somit:

:<math>w_\mathrm{max} = \frac{F \cdot l^3}{48 EI}</math>

==== 2. Beispiel ====
Wirkt eine konstante [[Streckenlast #Gleichstreckenlast|Liniengleichlast]] (<math>q_0</math> in N/m)<ref>{{Internetquelle|url=http://www.statik-lernen.de/grundl_kraefte_3.html|titel=Kräfte und Kraftarten |werk=statik-lernen.de |autor=Tobias Renno|zugriff=2017-08-23|archiv-url=https://web.archive.org/web/20170515005641/http://www.statik-lernen.de/grundl_kraefte_3.html|archiv-datum=2017-05-15|offline=ja}}</ref> auf einen Träger auf zwei Stützen mit konstanten Querschnittseigenschaften, so gilt unter Vernachlässigung der Schubverformungen (GA=∞):

:<math>w(x) = \frac{q_0}{12\cdot EI} \left( -l \cdot x^3 + \frac{x^4}2 + \frac{l^3 \cdot x}2 \right)</math>

Dies ergibt:

:<math>w_\mathrm{max} = w \left( x = \frac l 2 \right) = \frac{5 \cdot l^4 \cdot q_0}{384 \cdot EI}</math>

Anmerkung:<br>Bei Linienlast <math>q(x)</math> ist Ausgangsgleichung die 4. Ableitung der Biegelinie:

:<math>w''''(x) = \frac{q(x)}{EI}</math>

Diese (mit <math>q(x) = q_0</math>) wurde viermal integriert, wobei nach dem zweiten Integrieren als Zwischenergebnis der Zusammenhang zwischen der Biegelinie und dem Biegemomentverlauf gefunden wurde:
:<math>w''(x) = - \frac{M(x)}{EI} = \frac{q_0 \cdot x}{2 \cdot EI} \cdot (x-l)</math>

<div style="clear:both;"></div>

== Durchbiegung von Kreisflächen ==
{{Hauptartikel|Biegelinie #Kreismembran}}
Bei flächenhafter Ausdehnung des Gegenstandes wird die Berechnung recht kompliziert, lässt sich aber bei Kreisflächen – etwa für [[Membrantheorie|Membranen]] (z. B. Lautsprecher) oder große [[Linsendurchbiegung|Linsen]] (z. B. [[Fernrohrobjektiv]]e) – ebenfalls abschätzen.

Hat die Membran eine nur geringfügige Dicke ''d'', so folgen die Biegemomente einer radialen bzw. tangentialen [[Differentialgleichung]]. Die Biegelinie der Kreismembran erfordert aber eine zusammengesetzte Differentialformel, die bei einer Querkraft ''Q'' genähert lautet:

:<math>\frac{\mathrm d^3w}{\mathrm dr^3} + \frac{1}{r}\frac{\mathrm d^2w}{\mathrm dr^2} - \frac{1}{r^2}\frac{\mathrm dw}{\mathrm dr} = \frac{Q}{D}</math>

mit
* [[Widerstandsmoment]] <math>D = \frac{E \cdot d^3}{12 \cdot (1 - \nu^2)}</math>
** [[Poissonzahl]] ''ν'' des Materials.

== Komplexere Fälle ==
Solange ein Gegenstand sich auf einer Ebene mit Querschnittseigenschaften/Plattenerzeugendeneingenschaften eindeutig abbildbar und [[Homogenität|homogen]], [[orthotrop]] und linear elastisch aufgebaut ist, bietet die [[analytische Mechanik]] Lösungsmöglichkeiten auch für andere regelmäßige Formen ([[Airy’sche Spannungsfunktion]]). Auch Fälle mit unterschiedlichen Materialien sind genähert lösbar, wenn ihre Verbindungsstellen mechanisch klar definiert sind, z. B. bei axialer Anordnung.

Komplexere Formen sind jedoch ''nicht'' streng berechenbar. Sie werden oftmals durch [[Biegeversuch]]e im Labor oder mathematisch-physikalisch durch Zerlegung in netzartige Teile (v. a. [[Finite Elemente|Finite-Elemente]]-Methoden) untersucht. Für [[Beton]] gibt es für die Baupraxis ausreichend genaue Annahmen, um es im ungerissenen Bereich (der [[Mikroriss]]e, jedoch keine Makrorisse enthält) als verschmiert homogenes Material betrachten zu können.

== Literatur ==
* [[Heinz Parkus]]: ''Mechanik der festen Körper'', 2. Auflage. Springer-Verlag, Wien 1966, ISBN 3-211-80777-2
* Th. Dorfmüller, W. Hering, K. Stierstadt: ''[[Ludwig Bergmann (Physiker)|Ludwig Bergmann]]–[[Clemens Schaefer (Physiker)|Clemens Schaefer]] Lehrbuch der Experimentalphysik.'' Band 1: ''Mechanik, Relativität, Wärme.'' 11., neubearb. Auflage, De Gruyter, Berlin 1998, ISBN 3-11-012870-5.
* H. Mang, G Hofstetter: ''Festigkeitslehre.'' Springer Verlag, WienNewYork 2008 (3. Auflage), ISBN 978-3-211-72453-8, S. 176; 249.
* [[Karl-Eugen Kurrer]]: ''Geschichte der Baustatik. Auf der Suche nach dem Gleichgewicht'', Ernst und Sohn, Berlin 2016, ISBN 978-3-433-03134-6.

== Siehe auch ==
* [[Flächentragwerk]]

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Verformung]]
[[Kategorie:Balkentheorie]]

Durchbiegung - Versionsgeschichte

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