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2024-12-07T18:15:38Z

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Der '''Durbin-Watson-Test''' ist ein [[statistischer Test]], mit dem man versucht zu überprüfen, ob eine [[Autokorrelation]] 1. Ordnung vorliegt, d. h., ob die [[Korrelation]] zwischen zwei aufeinanderfolgenden Residualgrößen bei einer [[Regressionsanalyse]] ungleich null ist. Der Test wurde von dem britischen Statistiker [[James Durbin]] und dem Australier Geoffrey Watson entwickelt.

== Vorgehen ==
=== Hypothesen ===
Die Störterme werden bei Autokorrelation 1. Ordnung wie folgt modelliert <math>\epsilon_t=\rho_1\epsilon_{t-1}+\nu_t</math>. Beim Durbin-Watson-Test wird eine Nullhypothese, die besagt, dass keine Autokorrelation vorliegt (<math>\rho_1 = 0</math>) und deren Gegenhypothese, welche aussagt, dass Autokorrelation vorliegt (<math>\rho_1 \ne 0</math>), aufgestellt.

=== Teststatistik ===
Die Teststatistik lautet:

:<math>d := \frac{\sum_{t=2}^T (\epsilon_t - \epsilon_{t-1})^2} {\sum_{t=1}^T \epsilon_t^2} \approx 2 (1-\hat \rho_1)</math>

Hierbei bezeichnen die <math>\epsilon_t</math> jeweils die Residuen der Regression in der <math>t</math>-ten Periode. Wenn die Differenz zwischen den Residualgrößen sehr klein bzw. sehr groß ist, so liegt positive bzw. negative Autokorrelation vor. Dies führt dazu, dass der Durbin-Watson-Wert <math>d</math> gegen den Wert null bzw. vier strebt.

=== Testentscheidung ===
{| class="wikitable" style="border:0;"
!Wert der Teststatistik
!Korrelation
!Bedeutung
|-
|<math>d=2\,</math>
|<math>\hat\rho_1=0\,</math>
|keine Autokorrelation
|-
|<math>d=0\,</math>
|<math>\hat\rho_1=1\,</math>
|perfekte positive Autokorrelation
|-
|<math>d=4\,</math>
|<math>\hat\rho_1=-1\,</math>
|perfekte negative Autokorrelation
|}

Die An- und Ablehnungsbereiche können tabellarisch ermittelt werden.<ref>Vergleiche zu diesem Absatz: Eckey, Hans-Friedrich/Kosfeld, Reinhold/Dreger, Christian (2004): Ökonometrie, 3., überarb. und erw. Aufl., Wiesbaden: Gabler, 2004.</ref> Für <math>d < d_u</math> liegt positive Autokorrelation vor, für <math>d > 4-d_u</math> negative Autokorrelation, zwischen <math>d_o</math> und <math>4-d_o</math> liegt keine Autokorrelation vor. In den Intervallen <math>\lbrack d_u; d_o\rbrack</math> und <math>\lbrack4-d_o; 4-d_u\rbrack</math> liegen Unschärfebereiche vor, in denen keine Aussagen getroffen werden können.

== Durbin h-Statistik ==
Bei [[ARMA-Modell|autoregressiven Modellen]] ist diese Teststatistik zum Wert zwei hin verzerrt, sodass die Autokorrelation unterschätzt wird. Allerdings lässt sich aus der obigen Statistik leicht die bei großen Stichproben [[Normalverteilung|standardnormalverteilte]] und unverzerrte Durbin h-Statistik herleiten:

:<math>h = \left(1 - \frac{1}{2} d\right) \sqrt{\frac{T}{1 - T \cdot \widehat{\mathrm{Var}}\left(\hat\beta\right)}}</math>,

wobei <math>\widehat{\mathrm{Var}}\left(\hat\beta\right)</math> die geschätzte Varianz des Regressionskoeffizienten der [[Exogene und endogene Variable#Verzögerte exogene und endogene Variable|zeitlich verzögerten endogenen Variable]] ist und <math>T \cdot \widehat{\mathrm{Var}}\left(\hat\beta\right) < 1</math> sein muss.

== Durbin-Watson-Test für Paneldaten ==
Für [[Paneldaten]] lässt sich die obige Teststatistik wie folgt verallgemeinern:

:<math>d_{pd} = \frac{\sum_{i=1}^N \sum_{t=2}^T (\epsilon_{it} - \epsilon_{i,t-1})^2} {\sum_{i=1}^N \sum_{t=1}^T \epsilon_{it}^2}</math>, mit <math>\epsilon_{it}</math> = Residuen der Within-Regression

Diese Teststatistik wird dann mit den in Abhängigkeit von ''T'' (Länge des [[Paneldaten#Einteilung nach Paneldesign|balancierten Paneldatensatzes]]), ''K'' (Zahl der Regressoren) und ''N'' (Zahl der beobachteten Individuen) tabellierten Annahme- und Ablehnungsbereiche verglichen [siehe hierzu bspw. Bhargava et al. (1982), Seite 537]. Eine Variante dieser Statistik für unbalancierte Paneldaten wurde von Baltagi und Wu (1999) entwickelt.<ref>d1 in Formel 16 in Baltagi/Wu (1999), Unequally spaced panel data regressions with AR(1) disturbances. Econometric Theory, 15(6), S. 814–823.</ref>

== Literatur ==
* Gujarati, Damodar N. (1995): Basic Econometrics, 3. Aufl., New York et al.: McGraw-Hill, 1995, Seite 605f.
* Eckey, Hans-Friedrich/Kosfeld, Reinhold/Dreger, Christian (2004): Ökonometrie, 3., überarb. und erw. Aufl., Wiesbaden: Gabler, 2004, Seite 114ff.
* Verbeek, Marno (2004): A Guide to Modern Econometrics, 2. Aufl., Chichester: John Wiley & Sons, 2004, Seite 102f.
* Bhargava, A./Franzini, L./Narendranathan, W. (1982): Serial Correlation and the Fixed Effects Models, in: Review of Economic Studies, Vol. 49 Iss. 158, 1982, Seite 533–549.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Parametrischer Test]]

Durbin-Watson-Test - Versionsgeschichte

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