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'''Duration''' ({{laS|duratio}}, „Dauer“) ist im [[Finanzwesen]] eine [[Kennzahl]], welche die durchschnittliche [[Kapitalbindungsdauer]] eines [[zins]]tragenden [[Finanzinstrument]]s oder [[Finanzprodukt]]s angibt.
Die Kapitalbindungsdauer ist der Zeitraum, in dem ein [[Anleger (Finanzmarkt)|Anleger]] zwischen [[Kaufentscheidung|Kauf]] und [[Verkaufsentscheidung|Verkauf]] sein [[Kapital]] in einem [[Finanzierungstitel]] investiert hat. Während der Kapitalbindung ist es ihm nicht möglich, das Kapital alternativen Verwendungen ([[Konsum]] oder andere Finanzprodukte) zuzuführen. Als zinstragende Finanzinstrumente kommen vor allem [[Anleihe]]n oder [[Termingeld]]er in Betracht.

== Inhalt ==
Bei der Duration wird ein [[vollkommener Kapitalmarkt]] unterstellt, bei dem es möglich ist, jederzeit zu einem einheitlichen [[Kapitalmarktzins]] [[Kapitalanlage]]n zu erwerben.<ref>[https://www.google.de/books/edition/Gerke_B%C3%B6rsen_Lexikon/DyIkBgAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=duration+lexikon&pg=PA245&printsec=frontcover Wolfgang Gerke, ''Gerke Börsen Lexikon'', 2002, S. 245 f.]</ref> Die in Jahren gemessene Duration gibt den Zeitraum an, der bei einem festverzinslichen Finanzprodukt ([[festverzinsliches Wertpapier]], Termingeld) benötigt wird, damit sich die aus einer Zinsänderung ergebenden [[Börsenkurs|Kurs-]] und [[Zinseszins]]-Effekte gerade wieder ausgleichen und damit die ursprüngliche [[Rendite]] sichern.

== Arten ==
[[Frederick R. Macaulay]] entwickelte im Jahre 1938 die nach ihm benannte einfache/grobe Duration ({{enS|dirty duration}})<ref>[http://www.nber.org/chapters/c6342.pdf Frederick R. Macaulay, ''Some Theoretical Problems Suggested by the Movements of Interest Rates, Bond Yields, and Stock Prices in the United States since 1856'', 1938, S. 44]</ref> (<math>D_M</math>). Sie stellt sich formal wie folgt dar:<ref name="gerke-246">Wolfgang Gerke: ''Gerke Börsen Lexikon''. 2002, S. 246.</ref>
:<math>D_M = -\frac{\Delta BW}{\Delta r} \frac{(1+r)}{BW}</math>.
Dabei steht <math>BW</math> für den [[Barwert]] und <math>r</math> für die [[Rendite]].

Wird diese einfache Duration mit dem [[Nominalzins]] [[Gewichtung|gewichtet]], erhält man die abgeleitete Duration ({{enS|modified duration}}) nach Hicks<ref name="gerke-246" /> (<math>D_{mod}</math>). [[John Richard Hicks]] entwickelte diese Formel 1939<ref>John Richard Hicks, ''[[Value and Capital]]'', 1939, S. 1 ff.</ref>, ohne sich auf Macauley zu beziehen.<ref>[https://www.google.de/books/edition/Derivative_Products_and_Pricing/Rfw5TCiiIgQC?hl=de&gbpv=1&dq=duration+nach+hicks&pg=PA180&printsec=frontcover Satyajit Das, ''Derivative Products and Pricing'', 2006, S. 180]</ref> Sie drückt die prozentuale Barwertänderung in Abhängigkeit von einer Zinsänderung aus:
:<math>D_{mod} = D_M \left( \frac{1+r}\frac{r}{f}\right)</math>,
wobei <math>f</math> die jährlichen [[Cashflow]]s und <math>\frac{r}{f}</math> die jährliche Rendite bedeuten.

Unterschieden wird ferner zwischen der positiven und negativen Duration.<ref>[https://www.google.de/books/edition/Gabler_Bank_Lexikon/gurNBgAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=Zinskurve+lexikon&pg=PA1769&printsec=frontcover Wolfgang Grill/Ludwig Gramlich/Roland Eller, ''Gabler Bank Lexikon: Bank, Börse, Finanzierung'', 1996, S. 469]</ref> Während bei der ''positiven Duration'' der Börsenkurs einer Anleihe sinkt, wenn die Marktrendite steigt, ist es bei der ''negativen Duration'' umgekehrt. Eine negative Duration liegt vor, wenn die Barwertfunktion eine positive Steigung aufweist. Dies ist der Fall, wenn ein steigendes [[Zinsniveau]] den Wert des [[Zahlungsstrom]]s aus der Anleihe erhöht.<ref>[https://www.google.de/books/edition/Finanzierung/6_N3DwAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=anleihe+negative+duration&pg=PA597&printsec=frontcover Matthias Bank/Wolfgang Gerke, ''Finanzierung: Grundlagen für Investitions- und Finanzierungsentscheidungen im Unternehmen'', 2016, S. 598]</ref>

== Duration-Konzept ==
Die Duration stellt jenen Zeitpunkt dar, bei dem völlige Immunisierung gegenüber dem Zinsänderungsrisiko im Sinne von Endwertschwankungen eintritt. Das Konzept baut auf dem Umstand auf, dass unvorhergesehene Zinsänderungen zwei gegenläufige Auswirkungen auf den Endwert eines festverzinslichen Wertpapiers haben: So führt etwa ein Zinsanstieg zwar zu einem geringeren Barwert der Anleihe; wegen der Reinvestitionsprämisse werden die zukünftigen Zahlungen ([[Kupon]]s) jedoch höher verzinst. Letztlich führt ein Zinsanstieg zu einem höheren Endwert. Umgekehrt verhält es sich bei einer Zinssenkung. Jenen Zeitpunkt, bis zu dem der [[Marktwert]] der Anleihe bei gestiegenen Zinsen wegen der reinvestierten Kupons mindestens wieder den erwarteten Wert erreicht hat oder bis zu dem er bei gesunkenen Zinsen wegen der geringeren Diskontierung nicht den erwarteten Wert unterschritten hat, nennt man Duration.

Ein weiterer Terminus ist ''Mittlere Restbindungsdauer''. Denn die Duration ist der gewichtete Mittelwert der Zeitpunkte, zu denen der Anleger Zahlungen aus einem Wertpapier erhält. Als Gewichtungsfaktoren dieses [[Mittelwert]]es werden die jeweiligen Anteile des [[Barwert]]es der Zins- und Tilgungszahlungen zum jeweiligen Zeitpunkt am Gesamtbarwert aller Zahlungen herangezogen.

Genauer entspricht die Duration einer [[Taylorreihe]]nentwicklung der Wertänderung, die nach dem ersten linearen Glied abgeschnitten wird. Für die Praxis ergibt sich mit der Duration eine einfache Formel, die die Wertänderung einer Anleihe <math>\Delta P</math> mit der Zinsänderung <math>\Delta r</math> verknüpft:
:<math>\Delta P/P = -D/(1+r) \cdot\Delta r</math>.
Der Wert von [[Standardanleihe]]n ohne besondere Ausstattungsmerkmale ist jedoch [[Konvexität (Finanzmathematik)|konvex]] im [[Zinsniveau]]. Durch die vorgenannte [[lineare Approximation]] unterschätzt man daher die Wertänderung von Anleihen, eine Abschätzung mit der Duration ist deshalb stets pessimistisch. Der [[Wertminderung|Wertverlust]] bei steigendem Zinsniveau wird überschätzt, der Wertzuwachs bei sinkendem Zinsniveau wird unterschätzt. Dieser Effekt wird umso stärker, je größer die Änderung des Zinsniveaus ist. Reicht die Näherung mit der linearen Approximation in der Praxis nicht mehr aus, ist das zweite Glied der Taylorreihenentwicklung zu berücksichtigen. Dieses Vorgehen führt zum Konzept der [[Konvexität (Finanzmathematik)|Konvexität]].

=== Modellannahmen ===
Folgende [[Hypothese|Annahmen]] werden beim Duration-Konzept getroffen:
* ''flache [[Zinsstrukturkurve]]'': Durch diese vereinfachende Annahme laufzeitunabhängiger Zinsen können Zahlungen, die zu verschiedenen Zeitpunkten anfallen, mit einem einheitlichen Zinssatz abgezinst werden.
* ''Einmalige Änderung des [[Marktzins]]niveaus'' durch Parallelverschiebung der (flachen) Zinsstrukturkurve. Diese Änderung erfolgt unmittelbar nach Erwerb der Anleihe.
* Wiederanlage der [[Kupon]]zahlungen erfolgt zum Marktzins <math>r</math>.
* Keine [[Transaktionskosten]] oder Ganzzahligkeitsprobleme.
* Keine [[Steuer]]n.

== Modifizierte Duration ==
Die (Macaulay-)Duration wird in der Einheit Jahre gemessen. Eine besonders häufige Fragestellung aus der Praxis ist jedoch, eine Aussage über die relative Veränderung des [[Anleihekurs]]es in Abhängigkeit einer Veränderung des Marktzinsniveaus treffen zu können. Diese Aufgabe übernimmt die ''modifizierte Duration''. Sie gibt an, um wie viel Prozent sich der Anleihekurs ändert, wenn sich das Marktzinsniveau um einen Prozentpunkt ändert; damit misst sie den durch eine marginale Zinssatzänderung ausgelösten Kurseffekt und stellt somit eine Art [[Elastizität (Wirtschaft)|Elastizität]] des Anleihekurses vom Marktzinssatz dar. Da auch hierbei die sehr restriktiven Annahmen des Duration-Konzeptes gelten, ist eine praktische Anwendbarkeit wieder nur bei sehr geringen Zinsänderungen gegeben.

Die modifizierte Duration ist eine Kennzahl aus der [[Finanzmathematik]], welche angibt, wie stark sich der Gesamtertrag einer Anleihe (bestehend aus den Tilgungen, Kuponzahlungen und dem [[Zinseszins]]effekt bei der Wiederveranlagung der Rückzahlungen) ändert, wenn sich der Zinssatz am Markt ändert.

Die modifizierte Duration <math>D_{\mathrm{MD}}</math> steht wie folgt mit der Duration im Zusammenhang:
:<math>D_{\mathrm{MD}} = D_{\mathrm{Mac}} \cdot \frac{1}{1+r} </math>.

== Portfolioduration ==
Um die Duration eines ganzen [[Portfolio]]s ([[Investmentfonds]], [[Pensionsfonds]], [[Wertpapierdepot]]) zu bestimmen, berechnet man im ersten Schritt die Durationen der Anleihen des Portfolios. Die ''Portfolioduration'' ergibt sich als die mit dem Anteil am Portfoliogesamtwert jeder Anleihe gewichtete Summe der einzelnen Anleihedurationen:
:<math>D_{\mathrm{PF}} = \sum_{i=1}^{N} x_i \cdot D_i</math>,
mit
:<math>D_{\mathrm{PF}}</math> = Duration des Portfolios,
:<math>x_i</math> = Anteil der Anleihe <math>i</math> am Portfoliogesamtwert,
:<math>D_i</math> = Duration der Anleihe <math>i</math>,
:<math>N</math> = Anzahl der verschiedenen Anleihen im Portfolio.
Alternativ lässt sich die Duration für einen Gesamtzahlungsstrom berechnen, indem die einzelnen Zahlungsströme addiert werden.

== Herleitung der Durationsformel ==
Der Barwert einer Anleihe lässt sich allgemein durch [[Abzinsung und Aufzinsung|Diskontieren]] (Abzinsen) der zukünftigen Zahlungen (d. h. der oftmals jährlich anfallenden Kuponzahlungen sowie der Kupon- und Tilgungszahlung im Zeitpunkt <math>n</math>) berechnen:
:<math>P_0 = \sum_{t=1}^{T} \frac{C_t}{(1+r_t)^t}= \frac{C_1}{1+r_1} + \frac{C_2}{(1+r_2)^2} + \dotsb + \frac{C_T}{(1+r_T)^T}</math>,
mit
:<math>P_0</math> = Barwert im Betrachtungszeitpunkt <math>t_0</math>,
:<math>C_t</math> = Zahlung zum Zeitpunkt <math>t</math> (in Jahren),
:<math>r_t</math> = Für die Laufzeit <math>t</math> gültiger Zinssatz,
:<math>T</math> = Laufzeitende der Anleihe (letzte Zahlung).
Nimmt man an, dass es einen laufzeitunabhängigen Zinssatz <math>r</math> (mit <math>r = r_t</math> für alle Zeitpunkte <math>t</math>) gibt, und leitet nach <math>r</math> ab, erhält man:
:<math>\frac{\partial P_0}{\partial r} = \sum_{t=1}^T C_t \cdot (-t) \cdot (1+r)^{-(t+1)} = -\sum_{t=1}^T \frac{t \cdot C_t}{(1+r)^{(t+1)}}=-\frac{1}{1+r} \cdot \sum_{t=1}^T \frac{t \cdot C_t}{(1+r)^t}</math>.
Dies ist die ''Euro-Duration''. Division der Ableitung durch den Barwert <math>P_0</math> liefert
:<math>\frac{\frac{\partial P_0}{\partial r}}{P_0} = -\frac{1}{1+r}\cdot \underbrace{\sum_{t=1}^T \frac{t \cdot C_t}{(1+r)^t} \cdot \frac{1}{P_0}}_{\mathrm{Macaulay-Duration}}</math>.
Der berechnete Ausdruck stellt die approximative relative Preisänderung bei (kleiner) Zinsänderung dar. Eine derartige Definition der Macaulay-Duration hat historische Gründe.

;Macaulay-Duration <math>D_{\mathrm{Mac}}</math>:
:<math>D_{\mathrm{Mac}} = \sum_{t=1}^T \frac{t \cdot C_t}{(1+r)^t} \cdot \frac{1}{P_0}</math>.

== Die Macaulay-Duration bei flacher Zinsstrukturkurve und konstanten Zahlungen ==
Im Spezialfall einer flachen Zinsstrukturkurve (d. h. <math>r_t = r</math> für alle <math>t</math>) und konstanten Zahlungen (d. h. <math>C_t = C</math> für alle <math>t</math>) lässt sich die Macaulay-Duration explizit berechnen. Es gilt:
:<math>D_{\mathrm{Mac}}= \frac{1-(T+1)q^T+Tq^{T+1}}{(1-q)(1-q^T)}</math>,

wobei <math>q = \frac{1}{1+r}</math>. Insbesondere gilt:
:<math>\lim_{r \rightarrow 0}D_{\mathrm{Mac}}= \frac{T+1}{2}</math>.

== Zusammenfassung der Formeln der Durationsberechnung ==
:<math>D_{\mathrm{Euro}}= \sum^{n-1}_{i=1} t_i c_i(1+\bar{y})^{-(t_i+1)} + t_n (100+c_n) (1+\bar{y})^{-(t_n+1)}</math>.

:<math>D_{\mathrm{mod}}= \frac {\sum^{n-1}_{i=1} t_i c_i(1+\bar{y})^{-(t_i+1)} + t_n (100+c_n) (1+\bar{y})^{-(t_n+1)}} {\sum_{i=1}^{n-1} c_i(1+\bar{y})^{-(t_i+1)} + (100+c_n) (1+\bar{y})^{-(t_n+1)}}</math>.

:<math>D_{\mathrm{Mac}}= \frac {\sum^{n-1}_{i=1} t_i c_i(1+\bar{y})^{-(t_i+1)} + t_n (100+c_n) (1+\bar{y})^{-(t_n+1)}} {\sum_{i=1}^{n-1} c_i(1+\bar{y})^{-(t_i+1)} + (100+c_n) (1+\bar{y})^{-(t_n+1)}}</math>.

== Immunisierung gegen Zinsänderungsrisiken ==
Eine Position ist dann gegen Zinsänderungsrisiken immunisiert, wenn die mit den Marktwerten gewichteten modifizierten Durationen der [[Long- und Short-Position]] einander entsprechen:

:<math>D(long) \cdot Co(long) = D(short) \cdot Co(short)</math>,
mit <math>Co</math> als Preis der [[Option (Wirtschaft)|Option]] und <math>D</math> als Duration.

Dieses Verfahren wird „duration matching“ genannt. Eine derart gesicherte Position kann als [[Nullkuponanleihe]] betrachtet werden.

== Bewertung des Duration-Konzeptes ==
Für die Beurteilung der [[Zinssensitivität]] ([[Preissensivität]]) einer Anleihe ist es nicht ausreichend, nur die Gesamtlaufzeit zu betrachten: Beispielsweise weist eine Nullkuponanleihe mit nur einer einzigen Zahlung zum Laufzeitende eine weitaus größere Zinsempfindlichkeit auf als eine [[Standardanleihe]] gleicher Laufzeit, bei der jährlich Kuponzahlungen geleistet werden.

Neben der Laufzeit einer Anleihe ist somit das zeitliche Anfallen der Zahlungen von Bedeutung. Die Duration verknüpft diese beiden relevanten Komponenten auf multiplikative Weise, gewichtet also den jeweiligen Zahlungszeitpunkt <math>t</math> mit dem relativen Beitrag zum Barwert. Eine höhere Duration lässt auf eine tendenziell hohe Zinssensitivität schließen und zeigt, wie lange das Kapital im Mittel gebunden ist.

Die Duration ist umso höher, je niedriger der Kupon ist. Für den Extremfall der Nullkuponanleihe gilt, dass die Duration mit der Restlaufzeit der Anleihe übereinstimmt.

Da sich die Zinsen in der Regel jedoch nicht [[stetig]], sondern stufenweise ([[diskret]]) ändern, und die Abhängigkeit des Anleihekurses vom Zinssatz keine [[Lineare Funktion|lineare]] Beziehung darstellt, sind die Änderungen, welche die Duration berechnet, nicht ganz exakt. Der Kursrückgang wird überschätzt, wenn der Zins steigt, und die Kurssteigerung wird unterschätzt, wenn der Zins fällt. Dieser [[Beurteilungsfehler]], ausgelöst durch die [[Approximation]] einer nichtlinearen Beziehung durch eine lineare, fällt bei nur geringen Zinsänderungen kaum ins Gewicht. Bei größeren Zinsänderungen steigt dieser Konvexitätsfehler jedoch stark an; eine Linderung dieses Fehlers bietet die Einbeziehung der Konvexität bei der Preisabschätzung.

Die Existenz von [[Konditionsbeitrag|Konditionsbeiträgen]] belegt die Existenz von Marktunvollkommenheiten. Die Annahme einer flachen Zinsstrukturkurve kann mit Hilfe der [[Key Rate Duration]] aufgeweicht werden.

== Wirtschaftliche Aspekte ==
Die Duration ist im [[Portfoliomanagement]] und [[Risikomanagement]] ein wichtiges Instrument zur Erfassung, Steuerung, Kontrolle und Prognose des [[Zinsänderungsrisiko]]s.<ref>[https://www.google.de/books/edition/Gabler_Bank_Lexikon/rCUkBgAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=duration+lexikon&pg=PA371&printsec=frontcover Jürgen Krumnow/Ludwig Gramlich, ''Gabler Bank Lexikon: Bank, Börse, Finanzierung'', 2000, S. 371 f.]</ref> Je länger (kürzer) die Laufzeit eines Finanzinstruments ist, desto länger (kürzer) fällt – [[ceteris paribus]] – die gewichtete durchschnittliche Kapitalbindungsdauer der Cashflows aus.<ref>[https://www.google.de/books/edition/Finance_Angewandte_Grundlagen/kP1fDwAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=positive+duration+anleihe&pg=PA364&printsec=frontcover Enzo Mondello, ''Finance: Angewandte Grundlagen'', 2018, S. 364]</ref> Je höher die Duration, umso höher ist – ceteris paribus – das Zinsänderungsrisiko.

Der Einfluss von [[Nominalwert]], [[Fälligkeit]], Nominalzins und Verfallrendite auf die Duration kann wie folgt erklärt werden:<ref>Enzo Mondello, ''Finance: Angewandte Grundlagen'', 2018, S. 364</ref>

{| class="wikitable" style="padding:1em; vertical-align:top; border:2px;"
|-
! [[Anleihe]]
! [[Nominalwert]]
! [[Fälligkeit]]
! [[Nominalzins]]
! [[Rendite|Verfallrendite]]
! [[Börsenkurs]]
! Macauley-Duration
|-
| [[Anleihe|Referenzanleihe]] || 100 % || 5 Jahre || 3 % || 4 % || 95,548 % || 4,709
|-
| [[Anleihe]] 2 || 100 % || 6 Jahre || 3 % || 4 % || 94,758 % || 5,566
|-
| [[Anleihe]] 3 || 100 % || 5 Jahre || 2 % || 4 % || 91,006 % || 4,797
|-
| [[Anleihe]] 4 || 100 % || 5 Jahre || 3 % || 3 % || 100,0 % || 4,717
|}

Alle Anleihevarianten sind mit jährlich nachträglicher Zinszahlung ausgestattet. Die höchste Kapitalbindungsdauer (Duration) weist die Anleihe 2 auf.

== Abgrenzung ==
Die Duration misst die durchschnittliche Kapitalbindungsdauer einer Geldanlage bei einem [[Festverzinsliches Wertpapier|festverzinslichen Wertpapier]], während die [[Konvexität (Finanzmathematik)|Konvexität]] das [[Marktverhalten]] einer Anleihe bei Zinsänderungen wiedergibt.<ref>[https://www.google.de/books/edition/Zinsen_Anleihen_Kredite/FWyaEAAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=Konvexit%C3%A4t+anleihen&pg=PA174&printsec=frontcover Klaus Spremann/Pascal Gantenbein, ''Zinsen, Anleihen, Kredite'', 2007, S. 147]</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Alfred Bühler, Michael Hies |Titel=Key Rate Duration: Ein neues Instrument zur Messung des Zinsänderungsrisikos |Sammelwerk=[[Die Bank (Zeitschrift)|Die Bank]] |Band=Heft 2 |Jahr=1995 |Seiten=112–118}}

== Weblinks ==
* [http://www.reghellin.it/obbligazioni/duration_bunds.php Preis, Duration und Yield to maturity Rechner mit grafik]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4232771-4}}

[[Kategorie:Bankwesen]]
[[Kategorie:Betriebswirtschaftslehre]]
[[Kategorie:Betriebswirtschaftliche Kennzahl]]
[[Kategorie:Finanzmathematik]]
[[Kategorie:Kapitalmarkttheorie]]

Duration - Versionsgeschichte

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