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2018-09-24T00:45:07Z

Duffing-Oszillator ohne Anregung: Wikilink

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[[Datei:Forced Duffing equation Poincaré section.png|mini|[[Poincaré-Abbildung]] eines getriebenen Duffing-Oszillators]]
Der '''Duffing-Oszillator''', benannt nach [[Georg Duffing]], ist ein nichtlinearer [[Oszillator]]. Er kann als Erweiterung des [[Harmonischer Oszillator|harmonischen Oszillators]], dessen [[Potential (Physik)|Potential]] das lineare [[Hookesches Gesetz|hookesche Gesetz]] zu Grunde liegt, um eine kubische Rückstellkraft betrachtet werden.
Sein Verhalten wird durch folgende [[Differentialgleichung]] mit den zeitlichen Ableitungen von x beschrieben:

:<math>\ddot{x}+\delta\dot{x}+\alpha x+\beta x^3=\gamma\cos(\omega_0 t)</math>

<math>\delta</math> ist die Dämpfung, <math>\gamma, \omega_0</math> sind die Amplitude und Frequenz der Anregung, <math>\alpha, \beta</math> sind systemspezifische Parameter, welche die nichtlineare, rücktreibende Kraft charakterisieren.

== Duffing-Oszillator ohne Anregung ==

Die [[Zustandsraumdarstellung]] des [[Gleichung#Homogene Gleichungen|homogenen]] Duffing-Oszillators <math>\ddot{x}+\delta\dot{x}+\alpha x+\beta x^3= 0</math> ist

:<math>
\begin{bmatrix}
\dot x_1 \\ \dot x_2 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
x_2 \\ -\delta x_2 -\alpha x_1 -\beta x_1^3 \\
\end{bmatrix}
</math>

Für den stationären Fall gilt

:<math>
\begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
x_2 \\ -\delta x_2 -\alpha x_1 -\beta x_1^3 \\
\end{bmatrix}
</math>

und damit
:<math>x_2 = 0\,</math> und <math>\alpha x_1 +\beta x_1^3 = 0</math>.

Die Gleichung liefert für <math>x_1\;</math> drei stationäre Lösungen

:<math>x_{1_0} = 0, x_{1_{1,2}} = \pm \sqrt{-\frac{\alpha}{\beta}}</math>

Diese sind nur dann reell, wenn <math>\frac{\alpha}{\beta} < 0 </math> ist. Zur Beurteilung, welche dieser stationären Lösungen stabil sind, wird das Differentialgleichungssystem um diese Punkte linearisiert. Die [[Jacobi-Matrix]] des Systems

:<math>
\textbf{J}=
\begin{bmatrix}
0& 1 \\ -\alpha -3\beta x_1^2& -\delta \\
\end{bmatrix}
</math>

hat für <math>x_{1_0}\;</math> die [[Eigenwert]]e

:<math>\lambda_0 = \frac{-\delta \pm \sqrt{\delta ^2-4\alpha}}{2}</math>

und für <math>x_{1_{1,2}}\;</math> die Eigenwerte

:<math>\lambda_1 = \frac{-\delta \pm \sqrt{\delta ^2+8\alpha}}{2}</math>.

Die Bedingung <math>\frac{\alpha}{\beta} < 0 </math> liefert zwei Fälle.

'''Fall 1:''' <math>\alpha > 0\;</math> und <math> \beta < 0\;</math>

:<math>\lambda_0\;</math> hat negative Realteile, d. h. dieser Punkt ist stabil.

:<math>\lambda_1\;</math> hat einen positiven Realteil, d. h. diese Punkte sind instabil.

'''Fall 2:''' <math>\alpha < 0\;</math> und <math> \beta > 0\;</math>

:<math>\lambda_0\;</math> hat einen positiven Realteil, d. h. dieser Punkt ist instabil.

:<math>\lambda_1\;</math> hat negative Realteile, d. h. diese Punkte sind stabil.

Die Differenzialgleichung

:<math>\ddot{x}+\delta\dot{x}-a x+b x^3= 0</math>

mit <math>\delta >0, a>0, b> 0\;</math> beschreibt den stabilen Duffing-Oszillator.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Duffing oscillator|Duffing-Oszillator}}
* [http://www.scholarpedia.org/article/Duffing_oscillator Duffing-Oszillator bei Scholarpedia]

[[Kategorie:Dynamisches System]]
[[Kategorie:Oszillator]]
[[Kategorie:Nichtlineare Dynamik]]

Duffing-Oszillator - Versionsgeschichte

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