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2024-02-22T13:31:30Z

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Im [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] ist der (algebraische) '''Dualraum''' eines [[Vektorraum]]s <math>V</math> über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> der Vektorraum aller [[Lineare Abbildung|linearen Abbildungen]] von <math>V</math> nach <math>K</math>. Diese linearen Abbildungen werden manchmal auch '''Kovektoren''' genannt.

Ist der Vektorraum <math>V</math> endlichdimensional, so hat er dieselbe [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] wie sein Dualraum. Die beiden Vektorräume sind somit [[isomorph]].

In der [[Funktionalanalysis]] betrachtet man den '''topologischen Dualraum''' eines (im Allgemeinen unendlichdimensionalen) [[Topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraums]]. Dieser besteht aus allen stetigen linearen [[Funktional]]en. Der Dualraum eines Dualraums heißt '''Bidualraum'''.

== Algebraischer Dualraum ==
=== Definition und Begriffsbildung ===
Zu einem Vektorraum <math>V</math> über einem [[Körper (Algebra)|Körper]]  <math>K</math> bezeichnet <math>V^*</math> den zu <math>V</math> gehörigen Dualraum, das heißt die Menge aller [[Lineare Abbildung|linearen Abbildungen]] von <math>V</math> nach <math>K</math>. Seine Elemente werden je nach Kontext auch [[Funktional]]e, [[Linearform]]en oder auch [[1-Form]]en genannt. Insbesondere in der Physik verwendet man gerne die Sprache der [[Tensor]]algebra; dann heißen die Elemente von  <math>V</math> ''kontravariante'', die von  <math>V^*</math> ''kovariante'' Vektoren oder auch ''Kovektoren''.
Die Abbildung <math>V \times V^* \to K, \ (x,f) \mapsto \langle x, f\rangle := f(x)</math> ist eine [[Ausgeartete Bilinearform|nicht ausgeartete Bilinearform]] und heißt [[duale Paarung]].

=== Dualraum als Vektorraum ===
Durch die nachfolgende Definition der Addition und der [[Skalarmultiplikation]] von <math>K</math> auf  <math>V^*</math> ist <math>V^*</math> selbst ein Vektorraum über dem Körper  <math>K</math>.

Hierzu wird die vektorielle Addition
:<math> +\colon V^* \times V^* \rightarrow V^*</math> durch <math> \left(f+g\right)(x) := f(x) + g(x)</math> für alle <math>x\in V, f , g\in V^*</math>
und die skalare Multiplikation
:<math> \cdot\colon K \times V^* \rightarrow V^*</math> durch <math>(\alpha f)\left(x\right) := \alpha f(x)</math> für alle <math>x\in V, f \in V^*,\,\alpha \in K</math>
definiert.

=== Basis des Dualraums ===
Ist <math>V</math> ein <math>n</math>-dimensionaler Vektorraum, so ist auch <math>V^*</math> <math>n</math>-dimensional. Es gilt also <math>\dim_K V^* = \dim_K V = n</math>.

Sei <math>X=\left\{x_i\right\}_{i=1,2,\dotsc,n}</math> eine Basis von <math>V</math>, dann heißt <math>X^*=\left\{x^*_i\right\}_{i=1,2,\dotsc,n}</math> mit
{| style="margin-left:2em"
|-
|<math>x^{*}_i:</math>
|<math>V\,\rightarrow\,K</math>
|<math>\,</math>
|<math>\,</math> linear und
|-
|
|<math>x^{*}_i(x_j)\,</math>
|<math>=</math>
|<math>\begin{cases} 1, & \text{falls} \; i = j \\ 0, & \text{falls} \; j\neq i \end{cases}</math>
|}
die [[duale Basis]] zur Basis <math>X</math> und ist eine Basis des Dualraumes <math>V^*</math>.<ref>{{Literatur |Autor=[[Albrecht Beutelspacher]] |Titel=Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen |Auflage=7., aktualisierte |Verlag=Vieweg + Teubner |Ort=Wiesbaden |Datum=2010 |ISBN=978-3-528-66508-1 |Seiten=140–141}}</ref> Mit Hilfe der dualen Paarung lässt sich die Wirkung dualer Basisvektoren <math>x_{i}^{*}\in V^{*}</math> auf Basisvektoren <math>x_{j}\in V</math> übersichtlich mit dem [[Kronecker-Delta]] schreiben:
:<math>\langle x_{j},x_{i}^{*}\rangle=\delta_{ij}</math>.

Indem man jede Linearform <math>f</math> des algebraischen Dualraums mit ihrem [[Kern (Algebra)|Kern]], also der Lösungsmenge der homogenen linearen Gleichung <math>f(x)=0</math> identifiziert, kommt man in der [[Projektive Geometrie|Projektiven Geometrie]] zu einer Dualität zwischen Punkten und Hyperebenen des [[Projektiver Raum|projektiven Raumes]]. Diese Dualität wird im Artikel „[[Projektives Koordinatensystem]]“ dargestellt.

Ist <math>V</math> hingegen ein unendlichdimensionaler Vektorraum, so lässt sich auf diese Art und Weise im Allgemeinen keine duale Basis konstruieren. Sei nämlich <math>(x_i)_{i \in I}</math> eine Basis des unendlichdimensionalen Vektorraums <math>V</math>. Dann kann man die lineare Abbildung <math>f\colon V\to K,f(x_i)=1 \,\forall i \in I</math> betrachten. Diese ist ein Element des Dualraums <math>V^*</math>, jedoch lässt sie sich nicht als endliche Linearkombination der  <math> x_i^* </math> darstellen. Daher bilden die <math> x_i^* </math> kein [[Erzeuger (Algebra)|Erzeugendensystem]] von <math>V^*</math>.

=== Duale Abbildung ===
Ist <math>F \colon V \to W</math> eine lineare Abbildung zwischen <math>K</math>-Vektorräumen <math>V</math> und <math>W</math>, dann ist durch

:<math>F^{\ast} \colon W^{\ast} \to V^{\ast}, \quad f \mapsto F^{\ast}(f) = f \circ F</math>

eine lineare Abbildung zwischen den Dualräumen <math>W^{\ast}</math> und <math>V^{\ast}</math> gegeben. Sie wird die zu <math>F</math> ''duale Abbildung'' genannt.

Sind <math>F, G \colon V \to W</math> <math>K</math>-lineare Abbildungen, so gilt

:<math>(F + G)^{\ast} = F^{\ast} + G^{\ast}</math>

sowie für alle <math>\alpha \in K</math>

:<math>(\alpha F)^{\ast} = \alpha \cdot F^{\ast}</math>.

Durch die Zuordnung <math>F \mapsto F^{\ast}</math> ist also eine <math>K</math>-lineare Abbildung <math>\operatorname{Hom}(V,W) \to \operatorname{Hom}(W^{\ast}, V^{\ast})</math> gegeben.

Wenn <math>F</math> eine [[Injektivität|injektive]] lineare Abbildung ist, dann ist die duale Abbildung <math>F^{\ast}</math> [[Surjektivität|surjektiv]]. Ist dagegen <math>F</math> surjektiv, dann ist <math>F^{\ast}</math> injektiv.

Ist <math>U</math> ein weiterer <math>K</math>-Vektorraum und sind <math>F \colon U \to V</math> und <math>G \colon V \to W</math> linear, dann gilt

:<math>(G \circ F)^{\ast} = F^{\ast} \circ G^{\ast}</math>.

=== Bidualraum ===
Der Dualraum <math>{(V^\ast)}^\ast</math> des Dualraums <math>V^\ast</math> eines <math>K</math>-Vektorraums <math>V</math> wird ''Bidualraum'' genannt und mit <math>{V^\ast}^\ast</math> bezeichnet. Die Elemente von <math>{V^\ast}^\ast</math> sind also lineare Abbildungen, die den Funktionalen <math>f \in V^\ast</math> Skalare aus <math>K</math> zuordnen. Für jedes <math>v \in V</math> ist die Abbildung <math>\Phi_v</math>, die jedem <math>f \in V^\ast</math> den Skalar <math>f(v)</math> zuordnet, eine solche Abbildung, das heißt, es gilt <math>\Phi_v \in {V^\ast}^\ast</math>.

Die Abbildung
:<math>\Phi \colon V \to {V^\ast}^\ast, v \mapsto \Phi_v</math> mit <math>\Phi_v(f) = f(v)</math>
ist linear und injektiv. Daher kann <math>V</math> stets mit einem [[Untervektorraum|Unterraum]] von <math>{V^\ast}^\ast</math> identifiziert werden. Man nennt <math>\Phi</math> die ''natürliche'' oder ''kanonische Einbettung'' des Raums in seinen Bidualraum.

Ist <math>V</math> endlichdimensional, so gilt <math>\dim_K V = \dim_K V^\ast = \dim_K {V^\ast}^\ast</math>. In diesem Fall ist <math>\Phi</math> sogar bijektiv und wird ''kanonischer Isomorphismus'' zwischen <math>V</math> und <math>{V^\ast}^\ast</math> genannt.

== Topologischer Dualraum ==
Falls der zugrundeliegende Vektorraum <math>V</math> ein [[topologischer Vektorraum]] ist, kann man zusätzlich zum algebraischen auch den topologischen Dualraum betrachten. Dieser ist die Menge aller [[Stetige Funktion|stetigen]] linearen Funktionale und wird in der Regel mit <math>V\,'</math> bezeichnet. Die Unterscheidung zwischen algebraischem und topologischem Dualraum ist nur dann wichtig, wenn <math>V</math> ein unendlichdimensionaler Raum ist, da alle linearen Operatoren, die auf einem endlichdimensionalen topologischen Vektorraum definiert sind, auch stetig sind<ref>[[Helmut H. Schaefer]]: ''Topological Vector Spaces'' (= ''[[Graduate Texts in Mathematics]].'' 3). 3rd printing corrected. Springer, New York NY u. a. 1971, ISBN 0-387-90026-8, S. 22.</ref>. Somit sind in diesem Falle der algebraische und der topologische Dualraum identisch. Wenn im Zusammenhang mit topologischen Vektorräumen von einem Dualraum die Rede ist, ist meistens der topologische Dualraum gemeint. Das Studium dieser Dualräume ist eines der Hauptgebiete der [[Funktionalanalysis]].

=== Topologischer Dualraum eines normierten Raums ===
Die in der Funktionalanalysis betrachteten Räume tragen häufig eine Topologie, die durch eine Norm induziert wird. In diesem Fall ist auch der topologische Dualraum ein normierter Vektorraum mit der [[Operatornorm]] <math>\|f\| = \sup_{\|x\| \leq 1} |f(x)| </math>.

Da der zugrundeliegende Körper eines normierten Raums entweder der Körper der [[Reelle Zahl|reellen]] oder [[Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlen und damit vollständig ist, ist der Dualraum <math>V\,'=L(V,K)</math> ebenfalls [[Vollständiger Raum|vollständig]], also ein [[Banachraum]], unabhängig davon, ob <math>V</math> selbst vollständig ist.

Besonders einfach ist der (topologische) Dualraum, falls <math>V</math> ein [[Hilbertraum]] ist. Nach einem Satz, den [[Maurice René Fréchet|M. Fréchet]] 1907 für separable und [[Frigyes Riesz|F. Riesz]] 1934 für allgemeine Hilberträume bewiesen hat, sind ein reeller Hilbertraum und sein Dualraum [[Isometrische Isomorphie|isometrisch isomorph]] zueinander, siehe [[Satz von Fréchet-Riesz]]. Die Vertauschbarkeit von Raum und Dualraum kommt besonders deutlich in der [[Bra-Ket]]-Schreibweise von Dirac zum Ausdruck.
Diese wird besonders in der [[Quantenmechanik]] verwendet, denn die quantenmechanischen Zustände werden durch Vektoren in einem Hilbertraum modelliert.

Da jeder endlichdimensionale Vektorraum über den [[Reelle Zahl|reellen]] oder [[Komplexe Zahl|komplexen]] Zahlen isomorph zu einem Hilbertraum ist, sind endlichdimensionale Räume stets zu sich selbst dual.

=== Starker Dualraum eines lokalkonvexen Raums ===
Ist <math>E</math> ein [[lokalkonvexer Raum]], so bezeichnet <math>E'</math> wie im Falle der normierten Räume den Raum der stetigen linearen Funktionale.
Die Auszeichnung einer geeigneten Topologie auf dem Dualraum ist aufwändiger.
Folgende Definition ist so angelegt, dass sich im Spezialfall des normierten Raums die oben beschriebene Normtopologie auf dem Dualraum ergibt:

Ist <math>B\subset E</math> [[Beschränkte Menge#Funktionalanalysis|beschränkt]], so definiert <math>p_B(f):= \sup\{\, |f(x)| \colon x \in B \,\}</math> eine [[Halbnorm]] auf <math>E'</math>.
Die Menge der Halbnormen <math>p_B</math>, wobei <math>B</math> die beschränkten Mengen von <math>E</math> durchläuft, definiert die sogenannte ''starke Topologie'' auf <math>E'</math>. Man nennt <math>E'</math> mit der starken Topologie den ''starken Dualraum'' und bezeichnet ihn manchmal genauer mit <math>E_\text{b}'</math>, wobei das tiefgestellte b für ''beschränkt'' (engl. ''bounded'', frz. ''borné'') steht.

Die [[schwach-*-Topologie]] ist ebenfalls eine häufig betrachtete Topologie auf <math>E'</math>, diese fällt aber im Falle unendlichdimensionaler normierter Räume nicht mit der oben beschriebenen Normtopologie auf dem Dualraum zusammen.
In der Theorie der lokalkonvexen Räume ist daher mit Dualraum in der Regel der starke Dualraum gemeint.

=== Bidualraum ===
Da der Dualraum <math> V' </math> eines normierten Raums nach obigem ein [[Banachraum]] ist, kann man den Dualraum des Dualraums, den sogenannten Bidualraum <math> V'' </math> betrachten. Hier ist interessant, dass es eine kanonische Einbettung von <math>V</math> in <math>V''</math> gibt, die durch <math>v\mapsto\left(\left(f\colon V\rightarrow K\right)\mapsto f\left(v\right)\right)</math> gegeben ist. (Das heißt: jedes Element des ursprünglichen Raumes <math>V</math> ist auf natürliche Weise auch ein Element des Bidualraums). Wenn sich jedes Element des Bidualraums durch ein Element aus <math>V</math> darstellen lässt, genauer wenn die kanonische Einbettung ein [[Isomorphismus]] ist, dann heißt der Banachraum [[Reflexiver Raum|reflexiv]]. Reflexive Räume sind einfacher zu handhaben als nicht reflexive, sie sind in gewisser Weise den [[Hilbertraum|Hilberträumen]] am ähnlichsten. Im nicht-reflexiven Fall ist die kanonische Einbettung <math>V\to V''</math> zwar nicht mehr surjektiv aber immer noch [[Isometrie|isometrisch]], und man schreibt üblicherweise <math>V\subset V''</math>. Demnach ist jeder normierte Raum in einem Banachraum enthalten; der Übergang von <math>V</math> zum topologischen Abschluss in <math> V''</math> ist eine Möglichkeit, die [[Vollständiger Raum|Vervollständigung]] eines normierten Raumes zu bilden.

Ein Beispiel für einen nicht-reflexiven Raum ist der [[Folgenraum]] <math>c_0</math> aller Nullfolgen mit der [[Maximumsnorm]]. Der Bidualraum kann in natürlicher Weise mit dem Folgenraum <math>\ell^\infty</math> der beschränkten Folgen mit der Supremumsnorm identifiziert werden.
Es gibt nicht-reflexive Banachräume, bei denen die kanonische Einbettung also kein Isomorphismus ist, es aber einen anderen Isomorphismus zwischen Raum und Bidualraum gibt. Ein Beispiel dafür ist der sogenannte [[James-Raum]], nach [[Robert C. James]].

=== Beispiele ===
In der folgenden Aufstellung wird zu einem Banachraum <math>V</math> der ersten Spalte ein weiterer Banachraum <math>W</math> in der zweiten Spalte angegeben, der im Sinne der in der dritten Spalte angegebenen Dualität isometrisch isomorph zum Dualraum von <math>V</math> ist. Genauer bedeutet dies: Jedes Element aus <math>W</math> definiert durch die Formel der Dualität ein stetiges lineares Funktional auf <math>V</math>. Dadurch erhält man eine Abbildung <math>W\to V'</math>, und diese ist linear, bijektiv und isometrisch.

{| class="wikitable"
|-
! style="width:25%"| Banachraum
! style="width:25%"| Dualraum
! style="width:25%"| Duale Paarung
! style="width:25%"| Bemerkung
|-
| <math>c_{0}</math> = Raum der Nullfolgen mit der Supremumsnorm || <math>\ell^1</math> = Raum der absolut summierbaren Folgen mit der Norm <math>\|\cdot\|_1</math>|| <math>\langle (a_n)_n, (b_n)_n \rangle = \sum_n a_nb_n</math> || siehe [[Folgenraum]]
|-
| <math>c</math> = Raum der konvergenten Folgen mit der Supremumsnorm || <math>\ell^1</math> = Raum der absolut summierbaren Folgen mit der Norm <math>\|\cdot\|_1</math>|| <math>\langle (a_n)_n, (b_n)_n \rangle = \sum_n a_nb_{n+1} + b_1 \lim_n a_n</math> ||
|-
| <math>\ell^1</math> = Raum der absolut summierbaren Folgen mit der Norm <math>\|\cdot\|_1</math> || <math>\ell^\infty</math> = Raum der beschränkten Folgen mit der Supremumsnorm <math>\|\cdot\|_\infty</math>|| <math>\langle (a_n)_n, (b_n)_n \rangle = \sum_n a_nb_n</math> ||
|-
| <math>\ell^p</math> = Raum der in p-ter Potenz absolut summierbaren Folgen mit der Norm <math>\|\cdot\|_p</math> || <math>\ell^q</math> = Raum der in q-ter Potenz absolut summierbaren Folgen mit der Norm <math>\|\cdot\|_q</math>|| <math>\langle (a_n)_n, (b_n)_n \rangle = \sum_n a_nb_n</math> || <math>1 < p,q < \infty,\,\,\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1</math>
|-
| <math>K(H)</math> = Raum der [[Kompakter Operator|kompakten Operatoren]] auf dem Hilbertraum <math>H</math> || <math>N(H)</math> = Raum der [[Nuklearer Operator|nuklearen Operatoren]] auf dem Hilbertraum <math>H</math>|| <math>\langle A, B \rangle = Sp(AB)</math> || siehe [[nuklearer Operator]]
|-
| <math>N(H)</math> = Raum der nuklearen Operatoren auf dem Hilbertraum <math>H</math> || <math>B(H)</math> = Raum der [[Beschränkter Operator|beschränkten Operatoren]] auf dem Hilbertraum <math>H</math>|| <math>\langle A, B \rangle = Sp(AB)</math> || siehe [[nuklearer Operator]]
|-
| <math>N(E)</math> = Raum der nuklearen Operatoren auf <math>E</math> || <math>B(E,E'')</math> = Raum der beschränkten Operatoren <math>E \to E''</math> || <math>\langle \sum_nf_n(\cdot)x_n, B \rangle = \sum_n (B(x_n))(f_n)</math> || <math>E</math> Banachraum mit [[Approximationseigenschaft]], siehe [[nuklearer Operator]]
|-
| <math>{\mathcal S}_p(H)</math> = p-[[Schatten-Klasse]] auf dem separablen Hilbertraum <math>H</math> || <math>{\mathcal S}_q(H)</math> = q-Schatten-Klasse auf dem separablen Hilbertraum <math>H</math> || <math>\langle A, B \rangle = Sp(AB)</math> || <math>1 < p,q < \infty,\,\,\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1</math>
|-
| <math>L^p(X,\mu)</math> = [[Lp-Raum|Raum der in p-ter Potenz integrablen Funktionen]] mit der Norm <math>\|\cdot\|_p</math> || <math>L^q(X,\mu)</math> = Raum der in q-ter Potenz integrablen Funktionen mit der Norm <math>\|\cdot\|_q</math>|| <math>\langle f, g \rangle = \int_X f(x) g(x) \,\mathrm{d}\mu(x)</math>|| <math>(X,\mu)</math> [[Maßraum]], <math>1 < p,q < \infty,\,\,\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1</math>, siehe [[Dualität von Lp-Räumen|Dualität von L<sup>p</sup>-Räumen]]
|-
| <math>L^1(X,\mu)</math> = Raum der integrablen Funktionen mit der Norm <math>\|\cdot\|_1</math> || <math>L^\infty(X,\mu)</math> = Raum der [[Wesentliches Supremum|wesentlich beschränkten]], messbaren Funktionen mit der Norm <math>\|\cdot\|_\infty</math>|| <math>\langle f, g \rangle = \int_X f(x) g(x) \,\mathrm{d}\mu(x)</math>|| <math>(X,\mu)</math> <math>\sigma</math>-endlicher [[Maßraum]]
|-
| <math>C_0(X,{\mathbb K})</math> = Raum der stetigen <math>{\mathbb K}</math>-wertigen Funktionen, die im Unendlichen verschwinden, mit der Supremumsnorm || <math>M_r(X,{\mathbb K})</math> = Raum der regulären [[Signiertes Maß|signierten]]/[[Komplexes Maß|komplexen Maße]] mit der totalen Variation als Norm<ref>{{Literatur |Autor=[[Jürgen Elstrodt]] |Titel=Maß- und Integrationstheorie |Auflage=6., korrigierte |Verlag=Springer |Ort=Berlin u. a.|Datum=2009 |ISBN=978-3-540-89727-9 |Seiten=349}}</ref> || <math>\langle f, \mu \rangle = \int_X f(x) \,\mathrm{d} \mu(x)</math>|| <math>X</math> [[Lokalkompakter Raum|lokalkompakter]] [[Hausdorffraum]]
|}

== Siehe auch ==
* [[Dualer Operator]]

== Literatur ==
* [[Siegfried Bosch]]: ''Lineare Algebra.'' 3. Auflage. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-29884-3.
* [[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' 4., überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-43586-7.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Vektorraum]]
[[Kategorie:Topologischer Raum]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Dualraum - Versionsgeschichte

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