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2021-05-09T10:11:08Z

https, Kleinkram

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Der '''duale Kegel''' ist ein spezieller [[Kegel (Lineare Algebra)|Kegel]], der jedem Kegel zugeordnet werden kann. Er spielt beispielsweise bei den Dualitätsaussagen der [[Lagrange-Dualität]] in der [[Optimierung (Mathematik)|mathematischen Optimierung]] eine Rolle. Er ist eng mit dem '''polaren Kegel''' verwandt.

== Definition ==
=== In Hilberträumen ===
Gegeben sei ein [[Hilbertraum]] <math> V </math> (also ein vollständiger [[Vektorraum]] mit [[Skalarprodukt#In allgemeinen reellen und komplexen Vektorräumen|Skalarprodukt]] <math>\langle . ; . \rangle</math> ) und ein Kegel <math> \mathcal{K} </math> in diesem Vektorraum. Dann heißt die dem Kegel zugeordnete Menge
:<math>\operatorname{dual}(\mathcal{K}) = \{ y \in V | \forall x \in \mathcal{K} \colon \langle y;x \rangle \ge 0 \}</math>

der duale Kegel von <math> \mathcal{K} </math>. Anschaulich sind dies dann alle Vektoren, die mit ''allen'' Elementen des Kegels einen [[Winkel]] von ''höchstens'' 90° einschließen.
Gelegentlich wird der duale Kegel auch mit <math> \mathcal{K}^* </math> oder <math> \mathcal{K}^D</math> bezeichnet.

=== Allgemeiner Fall ===
Ist <math>V^*</math> der [[Dualraum]] von <math>V</math> und ist <math>\mathcal{K}</math> ein Kegel in <math>V</math>, dann ist der ''duale Kegel'' definiert durch

:<math>\operatorname{dual}(\mathcal{K}) := \{ y^* \in V^* | \forall x \in \mathcal{K} \colon \langle y^*;x \rangle \ge 0 \}</math>

Dabei bezeichnet <math>\langle . ; . \rangle</math> die [[duale Paarung]], das heißt, es gilt <math>\langle y^*;x \rangle := y^*(x)</math>.

=== Bemerkung ===
Teilweise wird schon in unvollständigen [[Prähilbertraum|Prähilberträumen]] die erste Form der Definition verwendet, um die entstehenden Mengen als Kegel im Ursprungsraum <math>V</math> auffassen zu können.

== Verwandte Begriffsbildungen ==
=== Polarer Kegel ===
Analog lässt sich der Begriff des ''polaren Kegels'' formulieren:

:<math>\operatorname{pol}(\mathcal{K}) := \{ y^* \in V^* | \forall x \in \mathcal{K} \colon \langle y^*;x \rangle \le 0 \}</math>

In einem Hilbertraum gilt dann:

:<math>\operatorname{pol}(\mathcal{K}) = \{ y \in V | \forall x \in \mathcal{K} \colon \langle y;x \rangle \le 0 \}</math>

Das ist die Menge aller Vektoren, die mit allen Kegelelementen einen Winkel von ''mindestens'' 90° haben und deshalb gilt <math>\mathcal{K} \cap \operatorname{pol}(\mathcal{K}) = \{ 0_V \}</math>

Für beide Versionen der Definition ergibt sich die Beziehung <math>\operatorname{pol}(\mathcal{K}) = - \operatorname{dual}(\mathcal{K})</math> im jeweiligen Vektorraum. Dies lässt sich auch als Definition nutzen.

=== Selbstdualer Kegel ===
Ein Kegel heißt selbstdual, wenn <math> \operatorname{dual}(\mathcal{K})=\mathcal{K} </math> gilt.

=== Bemerkung ===
Gelegentlich wird der duale Kegel wie der polare Kegel definiert und umgekehrt, hier ist die Literatur nicht eindeutig. Es gilt also die Richtung der Ungleichung zu beachten.

== Beispiele ==
Betrachtet man in <math> \mathbb{R}^2 </math> versehen mit dem [[Standardskalarprodukt]] den Kegel <math> \mathcal{K}:= \{x \in \mathbb{R}^2 \, | \, x_1 \geq 0 \, , x_2=0\}= \lambda (1,0)^T </math> mit <math> \lambda \geq 0 </math>, so ist der duale Kegel die rechte Halbebene <math> \operatorname{dual}(\mathcal{K})=\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R} </math>. Ist nämlich <math> x \in \mathcal K </math>, so ist <math> x^Ty= \lambda y_1 </math> und dies soll <math>\geq 0</math> sein für alle <math>\lambda \geq 0</math>, daher muss <math> y_1 \geq 0 </math> sein.

Entsprechend der obigen Identität ist dann der polare Kegel die linke Halbebene.

Versieht man den <math> \mathbb{R}^2 </math> mit dem Skalarprodukt <math> \langle x ; y \rangle_A:=x^TAy</math>, wobei <math> A </math> die symmetrische [[Definitheit|positiv definite Matrix]]
:<math> A= \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} </math>

ist, so ist der duale Kegel
:<math> \operatorname{dual}(\mathcal{K})=\{y \in \mathbb{R}^2 \, | \, 4y_1+y_2 \geq 0 \} </math>.

Dies ist die Halbebene, die von der Geraden <math> y_2=-4y_1 </math> begrenzt wird und den ersten Quadranten enthält. Das verwendete Skalarprodukt ist also ausschlaggebend für die Erzeugung des dualen (und polaren) Kegels.

Ein Beispiel für einen selbstdualen Kegel ist <math> \mathcal{K}:= \{x \in \mathbb{R}^2 \, | \, x_1 \geq 0 \, , x_2\geq 0\} </math>.

== Eigenschaften ==
* Der duale und der polare Kegel sind [[Konvexer Kegel|konvex]], unabhängig davon, ob diese Eigenschaft bereits dem ursprünglichen Kegel zukam oder nicht.
* Ist <math>V</math> ein [[topologischer Vektorraum]] – mit dem [[Topologischer Dualraum|topologischen Dualraum]] <math>V^*</math> – so sind der polare und duale Kegel stets [[abgeschlossene Menge|abgeschlossen]].

== Literatur ==
* Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83378-3. ([https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/ online])
* Florian Jarre, Josef Stoer: ''Optimierung.'' Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-43575-1.
* {{Literatur | Autor=[[Peter Knabner]], [[Wolf Barth (Mathematiker)|Wolf Barth]] | Titel=Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen | Reihe=Springer-Lehrbuch | Verlag=Springer Spektrum| Ort=Berlin u. a.| Jahr=2013| ISBN=978-3-642-32185-6 }}

[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Dualer Kegel - Versionsgeschichte

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