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2025-05-04T11:15:09Z

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{{Dieser Artikel|beschäftigt sich mit einer bestimmten Art algebraischer Strukturen. Für die Dual- oder Binärdarstellung von Zahlen siehe den Artikel [[Dualsystem]].}}

Im [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] ist der [[Ring (Algebra)|Ring]] der '''dualen Zahlen''' über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] ein algebraisches Objekt, das eng mit dem Begriff des [[Tangentialvektor]]s zusammenhängt.

''Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe [[Kommutative Algebra]].''

== Definition ==
Die dualen Zahlen bilden eine zweidimensionale [[Hyperkomplexe Zahl|hyperkomplexe]] [[Algebra über einem Körper|Algebra]] über dem Körper <math>\R</math> der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]]. Wie die [[Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]] wird diese Algebra von zwei Basiselementen erzeugt, der 1 und einer nicht-reellen Einheit, die zur Unterscheidung von der imaginären Einheit <math>i</math> der komplexen Zahlen hier mit <math>\varepsilon</math> bezeichnet wird. Jede duale Zahl lässt sich also eindeutig als
:<math>z = a + b\varepsilon</math>
mit a, b ∈ <math>\R</math> darstellen, also als [[Linearkombination]] aus 1 und <math>\varepsilon</math>. Die Definition einer allgemeinen Multiplikation für duale Zahlen vervollständigt sich durch eine Definition für das Quadrat der nicht-reellen Einheit, und zwar durch
:<math>\varepsilon^2=0</math>.
Außerdem ist wie bei den komplexen Zahlen die zu z ''konjugierte'' Zahl
:<math>\bar{z} = a-b\varepsilon</math>
definiert.

== Rechenregeln ==

===Addition===
Die Addition von dualen Zahlen erfolgt komponentenweise.
Für zwei duale Zahlen <math>z=a+b\varepsilon</math> und <math>w=c+d\varepsilon</math> gilt
:<math>z+w = (a+c)+(b+d)\varepsilon.</math>

===Multiplikation===
Für zwei duale Zahlen <math>z=a+b\varepsilon</math> und <math>w=c+d\varepsilon</math> folgt durch direktes Ausmultiplizieren
:<math>z \cdot w = (a+b\varepsilon) \cdot (c+d\varepsilon) = ac + ad\varepsilon + bc\varepsilon + bd\varepsilon^2 = ac+(ad+bc)\varepsilon</math>.

Der Term <math>bd\varepsilon^2</math> fällt weg, da <math>\varepsilon^2=0</math>.

===Division===
Die Division der dualen Zahl <math>z=a+b\varepsilon</math> durch die duale Zahl <math>w=c+d\varepsilon</math> ist definiert, wenn der Realteil des Nenners <math>c\neq0</math>. Analog zu der Division von [[Komplexe Zahlen#Division|komplexen Zahlen]] wird der Bruch mit dem konjugierten Nenner <math>\bar{w} = c-d\varepsilon</math> erweitert, um die nicht reellen Teile gegenseitig aufzuheben.

:<math>\frac{z}{w}=\frac{z\cdot \bar{w}}{\underbrace{w \cdot \bar w}_{\text{reell}}}</math>

Eingesetzt und Ausmultipliziert folgt:
:<math>\begin{align}
\frac{a + b\varepsilon}{c + d\varepsilon}
&= \frac{(a + b\varepsilon)(c - d\varepsilon)}{(c + d\varepsilon)(c - d\varepsilon)}\\[5pt]
&= \frac{ac - ad\varepsilon + bc\varepsilon - bd\varepsilon^2}{c^2 + cd\varepsilon - cd\varepsilon - d^2\varepsilon^2}\\[5pt]
&= \frac{ac - ad\varepsilon + bc\varepsilon - 0}{c^2 - 0}\\[5pt]
&= \frac{ac + \varepsilon(bc - ad)}{c^2}\\[5pt]
&= \frac{a}{c} + \frac{bc - ad}{c^2}\varepsilon
\end{align}</math>

== Eigenschaften ==
Wie alle [[Hyperkomplexe Zahlen|hyperkomplexen Algebren]] erfüllen auch die dualen Zahlen das rechts- und linksseitige [[Distributivgesetz]]. Wie die [[Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]] sind sie zudem kommutativ und assoziativ, und zwar zwangsläufig, da es nur ein von der 1 verschiedenes Basiselement gibt, nämlich <math>\varepsilon</math>.
:<math>1\cdot \varepsilon=\varepsilon\cdot 1=\varepsilon</math>
:<math>1\cdot (1\cdot \varepsilon)=1\cdot \varepsilon=(1\cdot 1)\cdot \varepsilon=\varepsilon</math>
:<math>1\cdot (\varepsilon\cdot \varepsilon)=1\cdot 0=0=\varepsilon\cdot \varepsilon=(1\cdot \varepsilon)\cdot \varepsilon</math>
Die dualen Zahlen bilden also einen [[Kommutativer Ring|kommutativen Ring]] mit Einselement, der aber – im Unterschied zu <math>\Complex</math> – kein Körper ist, sondern ein [[Hauptidealring]] mit einem [[Ideal (Ringtheorie)|Ideal]], nämlich den reellzahligen Vielfachen von <math>\varepsilon</math>. [[Hauptideal]] ist es, da es von einem einzigen Element <math>\varepsilon</math> erzeugt werden kann. Wegen <math>\varepsilon^2=0</math> sind sie natürlich [[Nullteiler]].

== Matrixdarstellung ==
Da die Multiplikation der dualen Zahlen assoziativ ist, lässt sie sich mit [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] darstellen, und zwar wie folgt:
:<math>a + b\varepsilon~\mathrel{\widehat{=}}~ \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}</math>,
was für <math>a=0</math> und <math>b=1</math> gerade die [[nilpotente Matrix]]
:<math>\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>
ergibt.

== Duale Zahlen und Laguerre-Ebenen ==
Die klassische reelle [[Laguerre-Ebene]] lässt sich (analog der Beschreibung der klassischen reellen [[Möbius-Ebene]] über [[komplexe Zahl]]en) mit Hilfe der dualen Zahlen beschreiben (W. Benz: ''Vorlesungen über Geometrie der Algebren'').

== Algebraische Definition ==
In der Terminologie der [[Abstrakte Algebra|abstrakten Algebra]] lassen sich die dualen Zahlen als der Quotient des [[Polynomring]]es <math>\R[X]</math> und des Ideals beschreiben, das durch das Polynom <math>X^2</math> erzeugt wird, also
:<math>\R[X]/(X^2)</math>.

== Duale Zahlen über Ringen ==
Es sei <math>A</math> ein Ring. Dann ist der Ring der ''dualen Zahlen'' über <math>A</math> der [[Faktorring]]
: <math>A[\varepsilon]=A[X]/(X^2);</math>
<math>\varepsilon</math> ist das Bild der Unbestimmten <math>X</math> im Quotienten <math>A[X]/(X^2).</math>

=== Eigenschaften ===
Es sei <math>k</math> ein [[Körper (Algebra)|Körper]]. <math>k[\varepsilon]</math> ist ein [[Lokaler Ring|lokaler]] [[artinsch]]er Ring, der als Vektorraum über <math>k</math> die Dimension 2 hat. Jedes Element hat eine eindeutige Darstellung
: <math>a+b\varepsilon</math> mit <math>a,b\in k.</math>
Das [[Maximales Ideal|maximale Ideal]] wird von <math>\varepsilon</math> erzeugt; der [[Restklassenkörper]] ist <math>k</math>. <math>(\varepsilon)</math> und <math>k</math> sind als <math>k[\varepsilon]</math>-Moduln isomorph.

Für jeden Ring <math>A</math> ist <math>A[\varepsilon]\cong A\otimes\mathbb Z[\varepsilon].</math>

=== Duale Zahlen und Derivationen ===
Es seien <math>A</math> ein Ring, <math>B,C</math> zwei <math>A</math>-[[Algebra (Struktur)|Algebren]] und <math>f\colon B\to C</math> ein Homomorphismus von <math>A</math>-Algebren. Dann gibt es eine natürliche Bijektion zwischen
: den <math>A</math>-Algebrenhomomorphismen
:: <math>B\to C[\varepsilon],\quad b\mapsto f(b)+\varepsilon D(b),</math>
: die Hochhebungen von <math>f</math> unter <math>C[\varepsilon]\to C,</math> <math>\varepsilon\mapsto0,</math> sind
und
: <math>A</math>-linearen [[Derivation (Mathematik)|Derivationen]] <math>D\colon B\to C;</math> dabei wird die <math>B</math>-Modulstruktur auf <math>C</math> von <math>f</math> induziert.

=== Bedeutung für die algebraische Geometrie ===
Für ein [[Schema (algebraische Geometrie)|Schema]] <math>U</math> sei
: <math>U[\varepsilon] = U\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Z[\varepsilon].</math>

Es sei <math>S</math> ein Schema und <math>X</math> ein <math>S</math>-Schema. Das Schema <math>T_{X/S}=\mathbb V(\Omega_{X/S}^1)=\mathbf{Spec}\,S^\cdot\Omega_{X/S}^1</math> ist das ''relative Tangentialbündel'' von <math>X</math> über <math>S</math>. Dann gibt es eine natürliche Bijektion
: <math>T_{X/S}(U) = X(U[\varepsilon])</math>
für beliebige <math>S</math>-Schemata <math>U</math>. Ein <math>U[\varepsilon]</math>-[[Punkt (algebraische Geometrie)|wertiger Punkt]] ist also ein <math>U</math>-wertiger Punkt zusammen mit einem Tangentialvektor in diesem Punkt. Man kann sich <math>\mathrm{Spec}\,k[\varepsilon]</math> für einen Körper <math>k</math> also als Punkt zusammen mit einem Tangentialvektor vorstellen.

== Siehe auch ==
* [[Anormal-komplexe Zahl]]

== Literatur ==
* [[Walter Benz]]: ''Vorlesungen über Geometrie der Algebren: Geometrien von Möbius, Laguerre-Lie, Minkowski in einheitlicher und grundlagengeometrischer Behandlung.'' Springer, 1973, ISBN 978-3-642-88670-6, S. [https://books.google.de/books?id=5orLBgAAQBAJ&pg=PA43 21]
* M. Demazure, A. Grothendieck: ''Séminaire de Géométrie algébrique du Bois-Marie. Schemas en groupes I, II, III'' (SGA 3). Lecture Notes in Mathematics 151, 152, 153. Springer-Verlag, Berlin 1970
* I.L. Kantor, A.S. Solodownikow: ''Hyperkomplexe Zahlen.'' B.G. Teubner, Leipzig 1978

[[Kategorie:Kommutative Algebra]]
[[Kategorie:Algebraische Geometrie]]
[[Kategorie:Zahl]]

Duale Zahl - Versionsgeschichte

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