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2018-12-09T13:36:08Z

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Die '''dualen C*-Algebren''', auch ''C*-Algebren kompakter Operatoren'' genannt, sind eine spezielle Unterklasse von in der [[Mathematik]] betrachteten [[C*-Algebra|C*-Algebren]]. Sie zeichnen sich durch eine besonders einfache Struktur aus.

== Definition ==
Ist <math>M\subset A</math> eine Teilmenge einer Algebra <math>A</math>, so heißt
<math>\mbox{lan}(M):= \{x\in A;\, xM=\{0\}\}</math> der Links-[[Annullator]] von <math>M</math>. Entsprechend heißt <math>\mbox{ran}(M):= \{x\in A;\, Mx=\{0\}\}</math> der Rechts-Annullator von <math>M</math>. Ganz allgemein nennt man eine [[Banachalgebra]] ''dual'', wenn folgende Dualitätsbeziehungen bestehen:
* <math>\mbox{lan}(\mbox{ran})(I)\,=\,I</math> für alle [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen]] [[Linksideal]]e <math>I\subset A</math>,
* <math>\mbox{ran}(\mbox{lan})(I)\,=\,I</math> für alle [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen]] [[Rechtsideal]]e <math>I\subset A</math>.

Bei C*-Algebren folgt jede der Bedingungen aus der jeweils anderen, da sich Links- und Rechtideale via [[Involution (Mathematik)|Involution]] [[Bijektivität|eineindeutig]] entsprechen.

== Charakterisierungen ==
Eine C*-Algebra heißt ''elementar'', wenn es einen Hilbertraum <math>H</math> gibt, so dass sie isomorph zur Algebra <math>K(H)</math> der [[kompakter Operator|kompakten Operatoren]] auf <math>H</math> ist. Das ''eingeschränkte Produkt'' einer Familie <math>(A_i)_i</math> von C*-Algebren ist die Unteralgebra des kartesischen Produktes der <math>A_i</math>, die aus allen Tupeln <math>(x_i)_i</math> besteht, für die <math>\{i;\,\|x_i\|>\epsilon\}</math> für jedes <math>\epsilon > 0</math> endlich ist. Zusammen mit der Norm <math>\|(x_i)_i\| := \sup_i\|x_i\|</math> ist dies wieder einer C*-Algebra. Mit diesen Begriffsbildungen gilt nun:

Für eine C*-Algebra <math>A</math> sind folgende Aussagen äquivalent:
* <math>A</math> ist eine duale C*-Algebra.
* Die Summe der minimalen Linksideale liegt [[Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>A</math>.
* Die Summe der minimalen Rechtsideale liegt dicht in <math>A</math>.
* <math>A</math> ist isomorph zu einer Unter-C*-Algebra einer elementaren C*-Algebra.
* <math>A</math> ist isomorph zu einem eingeschränkten Produkt einer Familie elementarer C*-Algebren.
* Das [[Gelfand-Spektrum]] jeder maximalen kommutativen Unter-C*-Algebra ist [[Diskretheit|diskret]].
* Für jedes <math>x\in A</math> ist der Operator der Linksmultiplikation <math>L_x:\,A\rightarrow A,\, y\mapsto xy</math> ein [[schwach-kompakter Operator]].
* Für jedes <math>x\in A</math> ist der Operator der Rechtsmultiplikation <math>R_x:\,A\rightarrow A,\, y\mapsto yx</math> ein schwach-kompakter Operator.

Dabei heißt ein Operator schwach-kompakt, wenn das Bild einer [[Beschränktheit|beschränkten]] Menge in der [[schwache Topologie|schwachen Topologie]] einen [[Kompakter_Raum|kompakten]] [[Abgeschlossene Menge|Abschluss]] hat.

Wegen dieser Charakterisierung nennt man duale C*-Algebren auch ''C*-Algebren kompakter Operatoren''.

== Beispiele ==
* Die [[Matrix (Mathematik)|Matrizen-Algebren]] <math>M_n(\Complex)</math> <math>={\Complex}^{n\times n}</math> sind elementar und daher dual, allgemeiner sind alle endlich-dimensionalen C*-Algebren dual.
* Die [[Folgenraum|Folgenalgebra]] <math>c_0</math> der komplexen Nullfolgen ist eingeschränktes Produkt von abzählbar vielen Kopien von <math>\Complex \cong M_1(\Complex)</math> und daher dual.
* Ist <math>H</math> ein Hilbertraum und ist <math>A</math> eine Unter-C*-Algebra von <math>K(H)</math>, so ist <math>A</math> dual. Nach obiger Charakterisierung erhält man so bis auf Isomorphie alle dualen C*-Algebren.
* Die [[Funktionenraum|Funktionenalgebra]] <math>C([0,1])</math> ist nicht dual, denn sie ist kommutativ und hat kein diskretes Gelfand-Spektrum. Aus demselben Grunde sind die Folgenalgebren <math>c</math> und <math>\ell^\infty</math> der konvergenten bzw. beschränkten Folgen nicht dual.

== Eigenschaften ==
* Aus obigen Charakterisierungen ergibt sich leicht, dass Unter-C*-Algebren von dualen C*-Algebren und eingeschränkte Produkte dualer C*-Algebren wieder dual sind.

* Duale C*-Algebren sind [[liminale C*-Algebra|liminal]].

* Die [[Hilbertraum-Darstellung|Darstellungstheorie]] dualer C*-Algebren ist sehr einfach. Liegt die C*-Algebra als eingeschränktes Produkt elementarer C*-Algebren <math>K(H_i)</math> vor, so sind die irreduziblen Darstellungen bis auf Äquivalenz genau die Projektionen auf die Komponenten <math>K(H_i)</math>.

== Quellen ==
* [[William Arveson|W. Arveson]]: ''Invitation to C*-algebras'', ISBN 0387901760
* [[Jacques Dixmier|J. Dixmier]]: ''Les C*-algèbres et leurs représentations'', Gauthier-Villars, 1969

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Algebra (Struktur)]]

Duale C*-Algebra - Versionsgeschichte

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