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Die '''duale Basis''' ist ein Begriff aus der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]], der in zwei unterschiedlichen Bedeutungen auftritt:
* Zu einer gegebenen [[Basis (Vektorraum)|Basis]] eines endlichdimensionalen [[Vektorraum]]s <math>V</math> wird eine zugehörige ''duale Basis des [[Dualraum]]s'' <math>V^*</math> konstruiert.
* Zu einer gegebenen Basis eines [[Euklidischer Vektorraum|euklidischen Vektorraums]] <math>V</math> wird eine weitere, zur ersten ''duale Basis von'' <math>V</math> konstruiert, die auch '''reziproke Basis''' genannt wird.<ref name="werner">{{Literatur |Autor=Wolfgang Werner |Titel=Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik |TitelErg=Tensoralgebra und Tensoranalysis |Band=1 |Verlag=Springer Vieweg Verlag |Ort=Wiesbaden |Datum=2019 |ISBN=978-3-658-25271-7 |Seiten=81 |DOI=10.1007/978-3-658-25272-4}}</ref>

Letzteres ist der in Naturwissenschaft und Technik häufig auftretende Spezialfall <math>V \, \stackrel{Id}{=} \, V^*</math> des ersten Falls, und wird hier vorangestellt. Die Einführung von zwei reziproken Basissystemen erlaubt erweiterte algebraische Möglichkeiten sowie kompakte oder symmetrische und daher auch elegante Formulierungen vieler Beziehungen.<ref name="werner" details="116" />

Der zweite Abschnitt [[#Duale Basis im Dualraum V*]] behandelt den mathematisch aufwändigeren allgemeinen Fall.

== Duale Basis im euklidischen Vektorraum ''V'' ==
Die duale Basis wird auch reziproke Basis genannt, denn
{{Zitat
|Text=Vektorsätze werden zueinander reziprok genannt, wenn die Vektoren des
einen Satzes jeweils senkrecht stehen auf denjenigen Vektoren des anderen
Satzes, die ''abweichende'' Indizes haben. Bei gleich indizierten Vektoren
wird Eins gefordert.
|Autor=Wolfgang Werner
|ref=<ref name="werner" />}}

Mathematisch ausgedrückt mit [[Basisvektor]]en <math>\{\vec g_1,\vec g_2,\ldots, \vec g_n\}</math> und reziproker Basis <math>\{\vec g^1,\vec g^2,\ldots, \vec g^n\}</math> eines ''n''-dimensionalen [[Euklidischer Vektorraum|euklidischen Vektorraums]] ''V'' bedeutet das:

:<math>\vec g_i\cdot\vec g^j=\delta_i^j
:=\begin{cases}1&\text{falls}\;i=j\\0&\text{sonst}\end{cases}
</math>

mit dem [[Skalarprodukt]] „·“ des Vektorraums und dem [[Kronecker-Delta]] <math>\delta</math>. Dies ist die Übertragung der [[Orthonormalbasis#Definition und Existenz|definierenden Eigenschaften einer Orthonormalbasis]] auf eine schiefwinklige Basis. Bei einer Orthonormalbasis ist die reziproke Basis identisch zur gegebenen Basis.

=== Komponenten von Vektoren ===
Die reziproke Basis wird vor allem dazu verwendet, die Koeffizienten und Komponenten von Vektoren und [[Tensor]]en zu berechnen, beispielsweise

:<math>\vec v=\sum_{i=1}^nv^i\vec g_i
\;\rightarrow\;
\vec v\cdot\vec g^i=\left(\sum_{j=1}^nv^j\vec g_j\right)\cdot\vec g^i
=\sum_{j=1}^nv^j\delta_j^i=v^i
\;\rightarrow\;
\vec v=\sum_{i=1}^n(\vec v\cdot\vec g^i)\vec g_i
</math>
:<math>\vec v=\sum_{i=1}^nv_i\vec g^i
\;\rightarrow\;
\vec v\cdot\vec g_i=\left(\sum_{j=1}^nv_j\vec g^j\right)\cdot\vec g_i
=\sum_{j=1}^nv_j\delta^j_i=v_i
\;\rightarrow\;
\vec v=\sum_{i=1}^n(\vec v\cdot\vec g_i)\vec g^i
</math>

Insbesondere für die Basisvektoren ergibt sich<ref name="werner" details="143" />

:<math>\vec g_i=\sum_{j=1}^n\left(\vec g_i\cdot\vec g_j\right)\vec g^j,\quad
\vec g^i=\sum_{j=1}^n\left(\vec g^i\cdot\vec g^j\right)\vec g_j
</math>

Die auftretenden Skalarprodukte <math>g_{ij}:=\vec g_i\cdot\vec g_j</math> und <math>g^{ij}:=\vec g^i\cdot\vec g^j</math> sind die [[Metriktensor#Koordinatendarstellung|Metrikkoeffizienten]] des Vektorraums. Sie haben ihren Namen daher, dass mit ihrer Hilfe geometrische Eigenschaften wie Länge, Abstand und Winkel gemessen werden können, beispielsweise:

:<math>|\vec g_j|=\sqrt{g_{jj}},\quad
\cos(\vec g_i,\vec g_j)=\frac{g_{ij}}{\sqrt{g_{ii}g_{jj}}}</math>

wo cos(a,b) den [[Cosinus]] des Winkels zwischen den Vektoren a und b ausgibt. Durch eine Abstandsdefinition, wie z. B. den [[Euklidischer Abstand|euklidischen Abstand]], wird die [[Metrischer Raum|Metrik des Raumes]] bestimmt.<ref name="werner" details="115" /> Siehe auch [[#Tensor-Schreibweise]] und [[Krummlinige Koordinaten]].

=== Berechnung der reziproken Basis ===
Werden die Basisvektoren spaltenweise in eine Matrix eingelagert, <math>A=\begin{pmatrix}\vec g_1&\vec g_2&\dots&\vec g_n\end{pmatrix}</math>, dann finden sich die reziproken Basisvektoren in den Zeilen der [[Inverse Matrix|Inversen]] <math>A^{-1}</math> oder den Spalten der [[Transponierte Matrix|transponiert]] inversen Matrix <math>A^{\top-1}
=\begin{pmatrix}\vec g^1&\vec g^2&\dots&\vec g^n\end{pmatrix}</math>. Mit der [[Standardbasis]] ê<sub>1,2,…,n</sub> und dem [[Dyadisches Produkt|dyadischen Produkt „⊗“]] schreibt sich das:

:<math>A=\sum_{j=1}^n\vec g_j\otimes\hat e_j,\;
A^{-1}=\sum_{i=1}^n\hat e_i\otimes\vec g^i,\;
A^{\top-1}=\sum_{i=1}^n\vec g^i\otimes\hat e_i
</math>

denn

:<math>
A^{-1}A=\left(\sum_{i=1}^n\hat e_i\otimes\vec g^i\right)
\left(\sum_{j=1}^n\vec g_j\otimes\hat e_j\right)
=\sum_{i,j=1}^n\hat e_i\otimes\delta^i_j\hat e_j
=\sum_{i=1}^n\hat e_i\otimes\hat e_i=E_n
</math>

wo <math>E_n</math> für die [[Einheitsmatrix]] steht. Bemerkenswert ist

:<math>\begin{array}{rll}
E_n&=AA^{-1}&\!\!\!\!=\displaystyle
\left(\sum_{j=1}^n\vec g_j\otimes\hat e_j\right)
\left(\sum_{i=1}^n\hat e_i\otimes\vec g^i\right)
=\sum_{i,j=1}^n\vec g_j\otimes\delta_{ji}\vec g^i
=\sum_{i=1}^n\vec g_i\otimes\vec g^i
\\&=E_n^\top&\!\!\!\!=\displaystyle
\sum_{i=1}^n\vec g^i\otimes\vec g_i
\end{array}</math>

=== Spezialfall R<sup>3</sup> ===
Im Vektorraum <math>\R^3</math> mit Standardskalarprodukt "·" und [[Kreuzprodukt]] "×" findet sich mit obiger Gleichung und der Formel für [[Inverse Matrix#Explizite Formeln|Matrizeninversion]]:
:<math>\begin{align}
\vec g^1
=& \frac{\vec g_2\times \vec g_3}{\vec g_1\cdot(\vec g_2 \times \vec g_3)}
= \frac{\vec g_2\times \vec g_3}{\begin{vmatrix}\vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3\end{vmatrix}}
\\
\vec g^2
=& \frac{\vec g_3\times \vec g_1}{\vec g_2 \cdot( \vec g_3 \times \vec g_1)}
= \frac{\vec g_3\times \vec g_1}{\begin{vmatrix}\vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3\end{vmatrix}}
\\
\vec g^3
=& \frac{\vec g_1\times \vec g_2}{\vec g_3 \cdot( \vec g_1 \times \vec g_2)}
= \frac{\vec g_1\times \vec g_2}{\begin{vmatrix}\vec g_1 & \vec g_2 & \vec g_3\end{vmatrix}}
\end{align}</math>

Im [[Nenner]] der Brüche steht das mit den Basisvektoren gebildete [[Spatprodukt]], das invariant gegenüber einer [[Zyklische Vertauschung|zyklischen Vertauschung]] seiner Argumente ist, und das gleich der [[Determinante]] der Matrix ist, die aus den Basisvektoren gebildet wird. Die definierende Eigenschaft ist hier sofort ersichtlich.

=== Anwendung aus der Kristallographie ===
Die Bestimmung dieser dualen Basis im <math>\R^3</math> ist bei der Beschreibung von [[Kristallgitter]]n wichtig. Dort bilden die primitiven [[Gittervektor]]en <math>\{\vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3\}</math> eine (i. A. nicht orthonormale) Basis des <math>\R^3</math>. Das Skalarprodukt zwischen Basisvektoren der [[Reziproker Raum|reziproken Basis]] <math>\vec{b}_i</math> und primitiven Gittervektoren <math>\vec{a}_j</math> ist in der kristallographischen Konvention:

:<math>\vec{b}_i \cdot \vec{a}_{j} = \delta_{ij}</math>,

<math>\{\vec{b}_1, \vec{b}_2, \vec{b}_3\}</math> ist also die zu <math>\{\vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3\}</math> duale Basis im <math>\R^3</math>.

Beispiel: Die primitiven Gittervektoren des [[Kubisches Kristallsystem|kubisch-flächenzentrierten]] (fcc) Gitters lauten:
:<math>\vec{a}_{1}=\frac{a}{2}\left(\hat{e}_{y}+\hat{e}_{z}\right)</math>
:<math>\vec{a}_{2}=\frac{a}{2}\left(\hat{e}_{x}+\hat{e}_{z}\right)</math>
:<math>\vec{a}_{3}=\frac{a}{2}\left(\hat{e}_{x}+\hat{e}_{y}\right)</math>

Obige Gleichungen für den <math>\R^3</math> ergeben:
:<math>\vec{b}_{1}=\frac{1}{a}\left(-\hat{e}_{x}+\hat{e}_{y}+\hat{e}_{z}\right)</math>
:<math>\vec{b}_{2}=\frac{1}{a}\left(\hat{e}_{x}-\hat{e}_{y}+\hat{e}_{z}\right)</math>
:<math>\vec{b}_{3}=\frac{1}{a}\left(\hat{e}_{x}+\hat{e}_{y}-\hat{e}_{z}\right)</math>

Diese bilden ein [[Kubisches Kristallsystem|kubisch-raumzentriertes]] (bcc) Gitter.

=== Formale Definition und Berechnung ===
Sei <math>\{\vec{a}_1, \dotsc, \vec{a}_n\}</math> eine beliebige Basis eines [[Euklidischer Vektorraum|euklidischen Vektorraums]] <math>V</math>. Die dazu duale Basis <math>\{\vec{a}_1^*, \dotsc, \vec{a}_n^*\}</math> in <math>V</math> ist definiert durch die Eigenschaft

:<math>\vec{a}_{i}^* \cdot \vec{a}_{j} = \delta_{ij}</math>,
Hierbei bezeichnet <math>\cdot</math> das [[Skalarprodukt]].

Weiter sei <math>\{\hat{e}_1, \dotsc, \hat{e}_n\}</math> eine [[Orthonormalbasis]] in <math>V</math>,   <math>\textstyle\vec{a}_j=\sum_{k}A_{kj}\hat{e}_k</math> beschreibe den Basiswechsel mit der invertierbaren Matrix <math>A</math>.
Durch Vergleichen von
:<math>\left(\sum_{k} A_{ik}^{-1}\hat{e}_k\right)\cdot \vec{a}_j = \sum_{k} A_{ik}^{-1}A_{kj}= \delta_{ij}</math>
mit <math>\vec{a}_i^* \cdot \vec{a}_{j} = \delta_{ij}</math> ergibt sich
:<math>\vec{a}_i^*=\sum_{k}A_{ik}^{-1}\hat{e}_k</math>.

Mit dem [[Dyadisches Produkt|dyadischen Produkt]] <math>\otimes</math> schreibt sich das wie eingangs angegeben.

=== Verallgemeinerung auf pseudo-riemannsche Metrik ===
Im endlichdimensionalen Vektorraum <math>V</math> mit [[Pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit|pseudo-riemannscher Metrik]] <math>g</math> und einer Basis <math>\{\vec{e}_{1}, \dotsc,\vec{e}_{n}\}</math> betrachte den Dualvektor <math>\alpha_i </math> definiert durch

:<math>\alpha_i (\vec{v}) := e_1^{*}\wedge e_2^{*}\wedge \dotsc \wedge e_n^{*}(\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \dotsc, \vec{e}_{i-1}, \vec{v}, \vec{e}_{i+1}, \dotsc, \vec{e}_{n})</math>.

Dann gilt

:<math>g(\vec{e}_{i}^* , \vec{e}_{j}) = \delta_{ij}</math>   mit <math>\vec{e}_{i}^* := \sharp \alpha_i</math>.

Dabei ist <math>e_i^{*}</math> der duale Vektor im Dualraum aus der ersten Bedeutung, <math>\wedge </math> das [[Graßmann-Algebra#Eigenschaften|äußere Produkt]] und <math>\sharp </math> der durch die pseudo-riemannsche Metrik induzierte Isomorphismus zwischen <math>V^* </math> und <math>V</math>.

== Duale Basis im Dualraum ''V''* ==
=== Definition ===
Es sei <math>V</math> ein <math>n</math>-dimensionaler Vektorraum über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math>. (In Anwendungen ist der Körper oft <math>\R</math> oder <math>\C</math>.) Weiter sei <math>\{e_1, \dotsc, e_n\}</math> eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] von <math>V</math>.

Dann gibt es zu jedem <math>i\in \{1,\dots,n\}</math> genau eine [[lineare Abbildung]] <math>e_i^*:V\rightarrow K</math> mit <math>e_i^*(e_i) = 1</math> und <math>e_i^*(e_j) = 0</math> für <math>j \ne i</math>, denn eine lineare Abbildung ist durch die [[Bild (Mathematik)|Bilder]] auf einer Basis eindeutig bestimmt. Die so definierten <math>e_i^*</math> bilden eine Basis <math>\{e_1^*, \dotsc, e_n^*\}</math> des [[Dualraum]]s <math>V^*</math>, welche zur Basis von <math>V</math> dual ist. Mit der [[Kronecker-Delta]]-Schreibweise, ist also die definierende Eigenschaft der dualen Basis <math>e_i^* (e_{j}) = \delta_{ij}</math>.

=== Beispiel ===
Sei <math>\{e_1, e_2, e_3\} = \{1, x, x^2\} </math> die Monombasis des Vektorraums <math> V = \mathbb{P}_2 </math> der Polynome mit maximalem Grad 2. Wir definieren den Dualraum bezüglich des [[Skalarprodukt#L2-Skalarprodukt für Funktionen|Skalarprodukts]] <math> \langle \cdot,\cdot \rangle = \langle \cdot,\cdot \rangle_{L^2(-1,1)} </math>. Dann bilden die linearen Abbildungen <math> \{e_1^*, e_2^*, e_3^* \} = \Big\{ \big\langle \cdot \,,-\tfrac{15}{8}x^2 + \tfrac{9}{8} \big\rangle , \big\langle \cdot \, ,\tfrac{3}{2}x \big\rangle , \big\langle \cdot \, ,\tfrac{45}{8}x^2 + \tfrac{-15}{8} \big\rangle \Big\} </math> die duale Basis des <math>V^*</math>.

=== Verhalten bei Basiswechsel ===
Sei <math>\{e_1, \dotsc, e_n\}</math> eine Basis von <math>V</math> und <math>\{e_1^*, \dotsc, e_n^*\}</math> die zugehörige duale Basis. Weiter sei <math>\{a_1, \dotsc, a_n\}</math> eine zweite Basis von <math>V</math> mit <math>a_j=\sum_{k}A_{kj}e_k</math>.

Als [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] eines Basiswechsels ist <math>A</math> [[Invertierbare Matrix|invertierbar]]. Die Komponenten der Inversen <math>A^{-1}</math> seien mit <math>A_{ik}^{-1}</math> bezeichnet. Ein Vergleich von
:<math>\sum_{k}A_{ik}^{-1}{e}_k^*(a_{j}) = \sum_{k} A^{-1}_{ik}A_{kj}= \delta_{ij}</math>
mit der definierenden Eigenschaft <math>a_i^* (a_{j}) = \delta_{ij}</math> ergibt sofort das Transformationsverhalten der dualen Basis:
:<math>a_i^*=\sum_{k}A_{ik}^{-1}e_k^*</math>.

=== Berechnung bezüglich einer festen Basis ===
Ein endlichdimensionaler Vektorraum der Dimension <math>n</math> über dem Körper <math>K</math> ist stets [[Isomorphismus|isomorph]] zum [[Koordinatenraum]] <math>K^n</math> der Spalten-Vektoren mit Einträgen aus <math>K</math>.
Wählt man als Isomorphismus
:<math>e_1 \mapsto \begin{pmatrix}1\\0\\0\\ \vdots\end{pmatrix}</math>, <math>e_1^* \mapsto \left( 1,0,0,\dotsc \right)</math> usw.,
wird <math>a_i^*</math> gemäß obigem abgebildet auf die i-te Zeile von <math>A^{-1}</math>.

=== Tensor-Schreibweise ===
Im [[Tensor]]-Formalismus der [[Relativitätstheorie]] schreibt man die Basis eines Vektorraumes (wie etwa eines [[Tangentialraum]]s) mit oberen Indizes, <math>(e^i)_i</math>, nennt diese Vektoren [[Kovarianz (Physik)|kontravariant]] und versteht diese als Spalten-Vektoren. Die zugehörige kovariante Basis ist dann genau die oben vorgestellte duale Basis in Form von Zeilen-Vektoren. Diese schreibt man dann mit unteren Indizes, <math>(e_i)_i</math>. Die definierende Bedingung lautet dann <math>e^je_i = \delta_i^j</math>.

Der Grund für diese Schreibweise ist das unterschiedliche Transformationsverhalten der Vektoren bei [[Basiswechsel (Vektorraum)|Basiswechsel]].
Ist <math>L</math> die lineare Transformation, die eine Basis <math>(e^i)_i</math> auf eine andere <math>(e'^i)_i</math> abbildet, so gilt:

<math>\delta_i^j = e^je_i = e^jL^{-1}Le_i = e^jL^{-1}e'^i</math>

und man liest ab, dass sich die duale Basis mittels <math>L^{-1}</math> transformiert. Betrachtet man Koordinaten bezüglich der Basen, so findet man ähnliche Verhältnisse.
Ist etwa <math>L=(l_{\ j}^i)</math> und ist <math>L^{-1}=(\tilde{l}_{\ j}^i)</math>, so gilt bei Beachtung der [[Einsteinsche Summenkonvention|Einsteinschen Summenkonvention]] für einen Vektor <math>v=\lambda_ie^i</math>:

<math> v = \lambda_ie^i = \lambda_i\delta^i_je^j = \lambda_i \tilde{l}_{\ k}^i l_{\ j}^k e^j = \lambda_i \tilde{l}_{\ k}^i e'^k</math>.

Der Koeffizient von <math>v</math> zum Basisvektor <math>e'^k</math> ist also <math>\lambda_i \tilde{l}_{\ k}^i</math>, das heißt die Koeffizienten transformieren sich ebenfalls mittels der inversen Transformationsmatrix. Generell schreibt man alle (kontravarianten) Größen, die sich mittels <math>L</math> transformieren, mit oberen Indizes und alle (kovarianten) Größen, die sich gegenläufig, also mittels <math>L^{-1}</math> transformieren, mit unteren Indizes.

== Siehe auch ==
* [[Dualraum]]

== Einzelnachweise ==
<references />

== Quellen ==
* {{Literatur
|Autor=Gerd Fischer
|Titel=Lineare Algebra
|Verlag=Vieweg-Verlag
|Datum=
|ISBN=3-528-97217-3}}
* {{Literatur
|Autor=Hans Stephani
|Titel=Allgemeine Relativitätstheorie
|Verlag=Deutscher Verlag der Wissenschaften
|Ort=Berlin
|Datum=1991
|ISBN=3-326-00083-9}}

[[Kategorie:Lineare Algebra]]

[[he:מרחב דואלי#הבסיס הדואלי]]

Duale Basis - Versionsgeschichte

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