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2023-08-09T07:49:57Z

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[[Datei:Electrona in crystallo fluentia.svg|mini|Schematische Darstellung der Bewegung von Elektronen (blau) in einem [[Kristallgitter]] (rot) nach der Drude-Theorie, mit (Erläuterungen im Text): vd: Driftgeschwindigkeit der Elektronen E: Richtung des elektrischen Feldes I: Richtung des elektrischen Stroms]]

Die '''Drude-Theorie''' (auch '''Drude-Modell''', nach [[Paul Drude]]<ref name="AdP">{{Literatur |Autor=Paul Drude |Titel=Zur Elektronentheorie der Metalle |Sammelwerk=Annalen der Physik |Band=306 |Nummer=3 |Datum=1900 |Seiten=566–613 |Online=[https://archive.org/stream/annalenderphysi71unkngoog#page/n585/mode/2up Volltext in Internet Archive BookReader] |DOI=10.1002/andp.19003060312}}</ref><ref name="PZ">Paul Drude: ''Zur Ionentheorie der Metalle.'' In: ''Physikalische Zeitschrift.'' Jg. 1, Nr. 14, 1900, {{ZDB|200089-1}} ([https://archive.org/stream/bub_gb_QFRMAAAAMAAJ#page/n177/mode/2up Volltext in Internet Archive BookReader]).</ref>, veröffentlicht um 1900) ist eine [[Klassische Physik|klassische]] Beschreibung des [[Elektrischer Strom|Ladungstransports]] durch ein externes [[elektrisches Feld]] in [[Metalle]]n oder verallgemeinert durch freie [[Elektron]]en in [[Festkörper]]n.<ref>{{Literatur |Autor=[[Neil W. Ashcroft]], [[N. David Mermin]] |Titel=Festkörperphysik |Auflage=4., verbesserte Auflage |Verlag=Oldenbourg, R |Ort=München |Datum=2012 |ISBN=978-3-486-71301-5 |Seiten=1-35}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=John N. Lalena |Titel=Principles of inorganic materials design |Auflage=Third edition |Ort=Hoboken, NJ, USA |Datum=2020 |ISBN=978-1-119-48676-3 |Seiten=111, 179}}</ref> Bei Betrachtung von elektrischen [[Wechselfeld]]ern (damit auch [[Licht]]) wird auch die Bezeichnung '''Drude-Zener-Theorie''' bzw. '''-Modell''' (nach [[Clarence Melvin Zener]]) verwendet.<ref>{{Webarchiv |url=http://www.orc.soton.ac.uk/publications/theses/1420T_pdf/1420T_pdf_2.pdf |text=''Absorption processes in semiconductors'' (Section 2.1.3) |wayback=20170328222046}}</ref>

Mit dem Drude-Modell konnte erstmals das [[Ohmsches Gesetz|ohmsche Gesetz]] erklärt werden, wenn auch der mit diesem Modell berechnete [[Elektrischer Widerstand|Widerstands]]<nowiki />wert etwa sechsmal größer ist als der wahre (gemessene) Widerstandswert des jeweiligen Materials. Grund dafür ist, dass tatsächlich aufgrund quantenstatistischer Vorgänge mehr Elektronen zur Verfügung stehen, da die [[Fermi-Energie]] erreicht wird.

Die Drude-Theorie wurde 1905 von [[Hendrik Antoon Lorentz]] erweitert und 1933 von [[Arnold Sommerfeld]] und [[Hans Bethe]] um die Ergebnisse der [[Quantenmechanik]] ergänzt.<ref name="HdP">Arnold Sommerfeld, Hans Bethe: ''Elektronentheorie der Metalle.'' In: ''Handbuch der Physik.'' Band 24, Teil 2: ''Aufbau der zusammenhängenden Materie.'' 2. Auflage. Springer, Berlin 1933, S. 333–622.</ref>

== Beschreibung ==
Im Drude-Modell wird ein [[elektrischer Leiter]] als [[Ionenkristall]] betrachtet, in dem sich die Elektronen frei bewegen können, ein [[Elektronengas]] bilden und so verantwortlich für die Stromleitung sind. Der Begriff Elektronengas rührt von der Ähnlichkeit dieser Theorie zur [[Kinetische Gastheorie|kinetischen Gastheorie]] her: Herrscht im Inneren des Leiters nämlich ''kein'' elektrisches Feld, so verhalten sich die Elektronen wie [[Gas]]<nowiki />teilchen in einem Behälter.

=== Gleichstromleitfähigkeit ===
Durch ein äußeres [[elektrisches Feld]] <math>\vec E</math> erfahren die freien Elektronen im Leiter eine [[Kraft]]<nowiki />wirkung <math>F_\mathrm{el} = q \cdot E</math> und werden [[Beschleunigung|beschleunigt]], jedoch nicht kontinuierlich. Wäre dies so, dann dürften der Widerstand und die [[Stromstärke]] nicht konstant sein und das ohmsche Gesetz würde somit nicht gelten. Nach kurzer Zeit stellt sich jedoch ein Gleichgewicht ein, bei dem die mittlere Geschwindigkeit des Elektrons und damit der elektrische Strom [[proportional]] zur [[Feldstärke]] ist.

Dies wird vom Drude-Modell dadurch erklärt, dass das Elektron mit einem Gitterion zusammenstößt und abgebremst wird. Dieser Vorgang wird [[phänomenologisch]] durch eine mittlere [[Mittlere freie Flugzeit|Stoßzeit <math>\tau</math>]] zwischen zwei [[Kollision]]en beschrieben. Mit steigender Temperatur ''sinkt'' die mittlere Stoßzeit und damit auch die [[elektrische Leitfähigkeit]] der Metalle.

Die [[Bewegungsgleichung]] hierfür lautet:

:<math>m \dot{v} + \frac{m}{\tau} v_\mathrm{D} = -e E</math>

mit
* <math>m</math> der Elektronenmasse
* <math>v</math> der Elektronengeschwindigkeit
* <math>v_\mathrm{D} </math> der [[Driftgeschwindigkeit]] (e-Geschwindigkeit abzüglich der thermischen Geschwindigkeit) und
* <math>\tau</math> der Stoßzeit
* <math>e</math> der [[Elementarladung]].

Für den stationären Zustand (<math>\dot v = 0</math>) gilt:

:<math>\Rightarrow v_\mathrm{D} = - \frac{e \cdot \tau}{m} E</math>

Mit der [[Ladungsträgerdichte]] <math>n</math> ergibt sich die [[Elektrische Stromdichte|Stromdichte]] <math>j</math> damit zu:

:<math>j = -e \cdot n \cdot v_\mathrm{D} = \frac{e^2 \cdot \tau \cdot n}{m} E</math>

Die Gleichstromleitfähigkeit <math>\sigma</math> ist daher:

:<math style="border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em;">\sigma = \frac{j}{E} = \frac{e^2 \cdot \tau \cdot n}{m}</math>

Diese Gleichung wird auch als '''''Drude-Formel''''' oder '''''Drude-Leitfähigkeit''''' bezeichnet.

=== Frequenzabhängige elektrische Leitfähigkeit ===
Ein elektrisches Feld, das sich periodisch mit der [[Kreisfrequenz]] <math>\omega</math> ändert, beschreibt man mit

:<math>E(t) = \hat{E}(\omega) \cdot \exp(-\mathrm{i} \omega t)</math>

Sofern die Kreisfrequenz genügend hoch ist (<math> \omega \tau \gg 1</math>) und die elektrische Feldstärke begrenzt bleibt, so dass eine lineare Stromantwort vorliegt, stellt sich keine konstante Driftgeschwindigkeit ein. Es ist dann die Einteilchengleichung

:<math>m \dot{v}(t) + \frac{m}{\tau} v(t) = -e E(t)</math>

zu lösen. Diese Gleichung gilt für [[Isotropie|isotrope]] Materialien, bei denen die elektrische [[Stromdichte]] <math> j(\omega)</math> mit dem elektrischen Feld über eine skalare Proportionalitätskonstante, die [[elektrische Leitfähigkeit]] <math> \sigma(\omega) </math>, verknüpft ist: <math> j(\omega) = \sigma(\omega) \cdot \hat{E}(\omega) </math>.
Bei anisotropen Materialien erweitert man die elektrische Stromdichte und das elektrische Feld zu [[Vektor|Vektoren]] und die Leitfähigkeit zu einem [[Tensor]].

Im isotropen Fall berücksichtigt man die Phasenverschiebung zwischen <math>v(t)</math> und <math>E(t)</math> mit einem komplexen <math>v(t)</math>. Mit dem Ansatz <math> v(t) = \hat{v} (\omega) \cdot \exp(- \mathrm{i} \omega t) </math> erhält man die Lösung

:<math> \hat{v} (\omega)= - \frac{e \tau}{m} \cdot \frac{1}{1 - \mathrm{i} \omega \tau} \cdot \hat{E} (\omega) </math>.

Mit <math> j(\omega) = - n e \hat{v}(\omega) </math> und der Beziehung <math> j(\omega) = \sigma(\omega) \cdot \hat{E}(\omega) </math>
erhält man für ein Material mit der Ladungsträgerdichte <math>n</math> seine frequenzabhängige Leitfähigkeit <math> \sigma(\omega)</math>: <ref name="SAM">Stefan Alexander Maier: ''Plasmonics: Fundamentals and applications''. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-0-387-37825-1, Kap. 1.2.</ref>

:<math> \sigma(\omega) = \frac{n e^2 \tau}{m} \cdot \frac{1}{1 - \mathrm{i} \omega \tau} = \frac{\sigma_{\mathrm{DC}}}{1 - \mathrm{i} \omega \tau} </math>.

<math> \sigma_{\mathrm{DC}} </math> ist die im vorherigen Abschnitt angegebene Gleichstromleitfähigkeit. Diese lässt sich auch über die [[Plasmafrequenz]] ausdrücken als
<math> \sigma_{\mathrm{DC}} = \epsilon_0 \cdot \omega_p^2 \cdot \tau </math>, wobei <math> \omega_p^2 = n e^2 / (\epsilon_0 m) </math> ist.

In der [[Optik]] stellt man den Bezug zur [[Dielektrische Funktion|dielektrischen Funktion]] über die Beziehung
:<math> \epsilon (\omega) = \epsilon_{\infty} + \frac{\mathrm{i} \sigma (\omega)}{\epsilon_0 \omega} </math>
her und erhält<ref name="SAM" />
:<math> \epsilon (\omega) = \epsilon_{\infty} - \frac{\omega_p^2}{\omega^2 + \mathrm{i} \omega/\tau} </math>.
<math> \epsilon_{\infty} </math> ist der dielektrische Hintergrund im Material ohne den Beitrag der freien Ladungsträger.

== Grenzen ==
Das Drude-Modell steht mit seiner Annahme, ''alle'' Elektronen würden zum Strom beitragen, im Widerspruch zu den Aussagen des [[Pauli-Prinzip]]s, und auch klassisch gesehen erzeugt diese Annahme einen Widerspruch: aus der [[Statistische Mechanik|statistischen Thermodynamik]] folgt, dass alle [[Freiheitsgrad]]e eines Systems (hier: [[Festkörper]]) im Mittel <math>\tfrac{1}{2}k_{\text{B}} T</math> zu seiner [[Innere Energie|inneren Energie]] beitragen. Jedes Elektron müsste also <math>3\cdot\tfrac{1}{2} k_{\text{B}} T</math> liefern. Messungen haben aber gezeigt, dass der elektronische Beitrag zur Gesamtenergie etwa tausendmal kleiner ist. Es können also ''nicht alle'' Elektronen Teil des Elektronengases sein, und mehr noch: die Bewegung des Elektronengases ist weniger frei als es die kinetische Gastheorie beschreibt.

Abgesehen von der falsch vorhergesagten Größe der Leitfähigkeit bzw. des Widerstandes hat das Drude-Modell weitere deutliche Schwächen:

Es sagt eine Proportionalität von Widerstand und Elektronengeschwindigkeit zur Wurzel aus der Temperatur voraus, die in Wirklichkeit nicht gegeben ist.

Des Weiteren kann keine Aussage darüber getroffen werden, ob ein Material ein [[Leiter (Physik)|Leiter]], [[Halbleiter]] oder ein [[Nichtleiter|Isolator]] ist. Letzteres kann als Vorteil gewertet werden, indem man die Theorie auch auf die freien Elektronen im [[Leitungsband]] eines Halbleiters anwenden kann. Abhilfe schafft die quantenmechanische Beschreibung durch das [[Sommerfeld-Theorie|sommerfeldsche Modell]]<ref name="HdP" /> bzw. weiterführend das [[Bändermodell]], in dem die [[Bandlücke]]n richtig vorausgesagt werden.

Eine Verallgemeinerung des Drude-Modells stellt das [[Lorentzoszillator|Lorentz-Oszillator-Modell]] (auch Drude-Lorentz-Modell) dar. Dabei werden zusätzliche [[Absorption (Physik)|Absorptions]]<nowiki />maxima beschrieben, die beispielsweise durch [[Bandübergang|Bandübergänge]] verursacht werden. Mit dem Lorentz-Oszillator-Modell ist es möglich, die [[dielektrische Funktion]] einer Vielzahl von Materialien (auch Halbleitern und Isolatoren) zu beschreiben.<ref>{{Literatur |Hrsg=Harland G. Tomkins, Eugene A. Irene |Titel=Handbook of Ellipsometry |Verlag=Springer u. a. |Ort=Heidelberg u. a. |Datum=2005 |ISBN=3-540-22293-6}}</ref>

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Festkörperphysik]]

Drude-Theorie - Versionsgeschichte

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