imported>W like wiki: /* Verallgemeinerung */ + Beispiele

2026-04-22T08:58:55Z

Verallgemeinerung: + Beispiele

Neue Seite

[[Datei:N-body problem (3).gif|mini|Die chaotischen Bewegungen dreier Körper]]

Das '''Dreikörperproblem''' der [[Himmelsmechanik]] besteht darin, eine Lösung (Vorhersage) für den Bahnverlauf dreier Körper unter dem Einfluss ihrer gegenseitigen Anziehung ([[Newtonsches Gravitationsgesetz]]) zu finden. Um quantitative Resultate zu erlangen, muss es im allgemeinen Fall bislang [[Numerische Mathematik|numerisch]] gelöst werden.

== Mathematisch-Historisches ==
Das Dreikörperproblem galt seit den Entdeckungen von [[Johannes Kepler]] und [[Nikolaus Kopernikus]] als eines der schwierigsten mathematischen Probleme, mit dem sich im Laufe der Jahrhunderte viele bekannte Mathematiker wie [[Alexis-Claude Clairaut]], [[Leonhard Euler]], [[Joseph-Louis Lagrange]], [[Thorvald Nicolai Thiele]], [[George William Hill]] und [[Henri Poincaré]] beschäftigten. Im allgemeinen Fall erfolgt die Bewegung [[Chaosforschung|chaotisch]] und kann nur [[Numerische Mathematik|numerisch]] berechnet werden.

Die beiden Grafiken zeigen ein Beispiel für eine Simulationsrechnung. In kleinen Zeitintervallschritten werden die angreifenden Gravitationskräfte und daraus die Verschiebung berechnet. Selbst bei identischen Ausgangsbedingungen erhält man völlig verschiedene Prognosen, wenn die Länge der Zeitintervalle variiert.

[[File:threebody003s.gif|thumb|Sehr kleine Intervallschritte]]
[[File:threebody01s.gif|thumb|Etwas vergröberte Intervallschritte]]

== Sonderfall ==
Den Spezialfall, dass einer der drei Körper eine verschwindend kleine Masse hat und seine Wirkung auf die beiden anderen vernachlässigt werden kann, bezeichnet man als '''eingeschränktes Dreikörperproblem.'''

== Allgemeine Aussagen ==
Das [[Zweikörperproblem]] ist durch die [[Keplersche Gesetze|Kepler’schen Gesetze]] [[Gleichung#Analytische Lösung|analytisch]] lösbar. Dagegen sind die Integrale im Fall von mehr als zwei [[Himmelskörper]]n nicht mehr [[Algebraische Integration|algebraisch integrierbar]],<ref>Nach einem Theorem von [[Henri Poincaré|Poincaré]], das einen Satz von [[Heinrich Bruns (Mathematiker)|Bruns]] verallgemeinert.</ref> also nicht mehr mit [[Elementare Funktion|elementaren Funktionen]] darstellbar. [[Karl Frithiof Sundman]] konnte Anfang des 20. Jahrhunderts als Erster eine analytische Lösung des Dreikörperproblems in Form einer [[Grenzwert (Folge)|konvergenten]] [[Potenzreihe]] angeben, unter der Annahme, dass der Gesamt[[drehimpuls]] des Systems nicht verschwindet und es deshalb nicht zu einem [[Dreierstoß]] kommt, bei dem der Abstand aller drei Körper Null beträgt. Für praktische Berechnungen ist Sundmans Lösung allerdings nicht brauchbar, da bei der Summe mindestens 10 hoch 8.000.000 Terme berücksichtigt werden müssten, um eine hinreichende Genauigkeit zu erzielen.<ref>June Barrow-Green: ''[https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315086009001360 The dramatic episode of Sundman.]'' In: Abschnitt ''9. The reception of Sundman’s work.''<br />{{Zitat|In 1930 David Beloriszky […] calculated that if Sundman’s series were going to be used for astronomical observations then the computations would involve at least 10<sup>8,000,000</sup> terms!}}</ref>

Die [[Stabilität (Numerik)|Stabilität]] eines Dreikörpersystems wird durch das [[Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem]] beschrieben.

Näherungs- oder exakte Lösungen sind in manchen Fällen möglich:
* Wenn die [[Masse (Physik)|Masse]] eines der Himmelskörper klein ist, dann löst man das Dreikörperproblem [[Iteration|iterativ]], heutzutage mit [[Computer]]n, oder berechnet [[Bahnstörung]]en, die der kleinste (leichteste) Körper durch die größeren (schwereren) erfährt.
* Exakt lösbar ist der schon erwähnte Sonderfall des Gleichgewichts der Anziehungskraft zweier großer (schwerer) Körper auf einen verschwindend kleinen (leichten) Körper (unter Berücksichtigung der im sich drehenden Bezugssystem auftretenden [[Trägheitskraft|Scheinkräfte]]) in den [[Lagrange-Punkte]]n L1 bis L5. Der innere Punkt L1 wird beispielsweise in der [[Raumfahrt]] zur [[Sonnenforschung]] verwendet. Das Sonnenobservatorium [[Solar and Heliospheric Observatory|SOHO]] befindet sich dort. Das Infrarot-Teleskop [[James-Webb-Weltraumteleskop|JWST]] von [[NASA]], [[Europäische Weltraumorganisation|ESA]] und [[Canadian Space Agency|CSA]] befindet sich auf einer Umlaufbahn um den Lagrange-Punkt L2.
* Für den Fall dreier gleicher Massen gibt es eine Lösung, bei der die Objekte auf einer gemeinsamen Bahn, die die Form eines [[Unendlichzeichen]]s (<math>\infty</math>) hat, hintereinander herlaufen.

== Verallgemeinerung ==
Die Verallgemeinerung des Dreikörperproblems ist das '''Mehrkörperproblem.''' Allgemeine Mehrkörperprobleme behandelt man mittels ''[[Mehrkörpersimulation]]en.''

== Beispiele ==
* Das System Sonne – Planet – [[Trojaner (Astronomie)|Trojaner]] bildet für jeden dieser Kleinkörper ein stabiles Dreikörpersystem.

== Rezeption ==
* Im [[Science-Fiction-Roman]] ''[[Die drei Sonnen]]'' des chinesischen Autors [[Liu Cixin|Cixin Liu]] spielt das Dreikörperproblem eine entscheidende Rolle bei der Verständigung mit einer außerirdischen [[Zivilisation]].
* In einem Kriminalroman der Mathematikerin [[Leila Schneps]] (unter dem Pseudonym ''Catherine Shaw'') geht es um drei Menschenkörper: Mordopfer, die bei einem Wettbewerb zum Dreikörperproblem miteinander konkurrierten. Die Mathematik sei korrekt dargestellt, der viktorianische Sprachstil gewöhnungsbedürftig, urteilte ein Kritiker.<ref>Catherine Shaw: ''The Three-Body Problem.'' Allison & Busby, 2013, ISBN 0-749-01444-X ({{Google Buch |BuchID=2jGKAgAAQBAJ}}).</ref>

== Siehe auch ==
* [[Tisserandparameter]]
* [[Hill-Sphäre]]
* [[Sitnikov-Problem]]

== Literatur ==
*[[Victor Szebehely]]: ''The theory of orbits: The Restricted Problem of Three Bodies'', Academic Press 1967
* Richard Montgomery: ''Das Dreikörper-Problem.'' In: ''[[Spektrum der Wissenschaft]].'' 2020, Heft 3, S. 12–19.

== Weblinks ==
{{Commonscat|Three-body problem|Dreikörperproblem}}
{{Wikibooks|Das Mehrkörperproblem in der Astronomie}}
* ''[http://kappelhoff.wiwi.uni-wuppertal.de/fileadmin/kappelhoff/Downloads/Veroeffentlichungen/cckk.pdf Chaos und Komplexitätstheorie.]'' (PDF; 31 kB).
* ''[http://www.eberl.net/chaos/Sem/Krause/D_index.html Numerische Berechnungen von Planetenbahnen.]''

== Anmerkungen ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4012974-3|LCCN=sh85135013}}

{{SORTIERUNG:Dreikorperproblem}}
[[Kategorie:Himmelsmechanik]]
[[Kategorie:Klassische Mechanik]]

Dreikörperproblem - Versionsgeschichte

imported>W like wiki: /* Verallgemeinerung */ + Beispiele