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2025-12-22T07:48:22Z

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Unter einer '''Dreiecksmatrix''' versteht man in der [[Mathematik]] eine quadratische [[Matrix (Mathematik)|Matrix]], bei der alle Einträge unterhalb (obere Dreiecksmatrix) bzw. oberhalb (untere Dreiecksmatrix) der [[Hauptdiagonale]] null sind. Sind zusätzlich alle Einträge auf der Hauptdiagonale null, so spricht man von einer '''echten''' oder '''strikten Dreiecksmatrix'''.

Dreiecksmatrizen spielen unter anderem beim Lösen von [[Lineares Gleichungssystem|linearen Gleichungssystemen]] mittels der [[LR-Zerlegung]] eine wichtige Rolle, welche darauf basiert, eine Matrix in das [[Matrizenprodukt|Produkt]] einer oberen und einer unteren Dreiecksmatrix zu zerlegen.

== Definitionen ==

Eine Matrix heißt ''obere Dreiecksmatrix'', falls alle Einträge unterhalb der [[Hauptdiagonale]] gleich null sind. Für die Einträge auf der Hauptdiagonale selbst gibt es keine Beschränkungen. Für eine obere Dreiecksmatrix <math>A = (a_{ij})</math> gilt somit:
: <math> i > j \, \Rightarrow \, a_{ij} = 0</math>.

Analog heißt eine Matrix ''untere Dreiecksmatrix'', falls alle Einträge oberhalb der Hauptdiagonale gleich null sind, also wenn gilt
: <math> i < j \, \Rightarrow \, a_{ij} = 0</math>.
Eine Dreiecksmatrix <math>A = (a_{ij})</math> heißt ''normiert'', falls alle Diagonaleinträge gleich 1 sind, falls also gilt:
:<math>a_{ii} = 1</math> für alle <math>i</math>.

== Beispiele ==

Die folgenden Matrizen sind obere Dreiecksmatrizen:
:<math> \begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 \\
0 & -1 & 3 \\
0 & 0 & 5
\end{pmatrix},

\begin{pmatrix}
3 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 5 & 5 & 6 \\
0 & 0 & 0 & 7 \\
0 & 0 & 0 & 9
\end{pmatrix},

\begin{pmatrix}
3 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 5 & 0 & -2
\end{pmatrix} </math>

== Trigonalisierbarkeit ==

{{Hauptartikel| Trigonalisierung}}

Ist <math>V</math> ein [[Vektorraum]] über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> und hat man eine quadratische Matrix <math>A</math>, die die Darstellung einer linearen Abbildung <math>f \colon V \to V</math> (Vektorraum-[[Endomorphismus]]) ist, so heißt diese ''trigonalisierbar'', falls sie bei Betrachtung in einer anderen [[Basis (Vektorraum)|Basis]] eine obere Dreiecksgestalt aufweist. Gesucht ist also eine Dreiecksmatrix <math>B</math>, die [[Ähnlichkeit (Matrix)|ähnlich]] zu <math>A</math> ist.

Dies ist genau dann der Fall, falls das [[Charakteristisches Polynom|charakteristische Polynom]] von <math>A</math> über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> in [[Faktorisierung von Polynomen|Linearfaktoren zerfällt]].

Ist <math>\mathbb{K} = \mathbb{C}</math>, so ist jede Matrix trigonalisierbar, da nach dem [[Fundamentalsatz der Algebra]] der Körper <math>\mathbb{C}</math> [[Algebraischer Abschluss|algebraisch abgeschlossen]] ist.

== Strikte obere und untere Dreiecksmatrix ==

Es gibt zwei unterschiedliche Definitionen für den Begriff ''strikte obere Dreiecksmatrix'', je nachdem, ob man allgemeine oder nur [[Invertierbare Matrix|invertierbare Matrizen]] betrachtet. Erstere sind [[Nilpotente Matrix|nilpotent]], letztere [[Unipotente Matrix|unipotent]]. Die folgenden Definitionen erfolgen analog für ''strikte untere Dreiecksmatrizen''.

=== Nilpotente Dreiecksmatrizen ===

Bei einer strikten oberen Dreiecksmatrix in diesem Sinne sind alle Einträge sowohl unterhalb als auch auf der Hauptdiagonale der Matrix <math>0</math>. Es gilt somit:

:<math> i \geq j \, \Rightarrow \, a_{ij} = 0. </math>

Bei einer <math>n\times n</math>-Matrix gilt also <math>A^n=0</math>.

=== Unipotente Dreiecksmatrizen ===

Bei einer strikten oberen Dreiecksmatrix im Sinne invertierbarer Matrizen sind alle Einträge unterhalb der Hauptdiagonale der Matrix <math>0</math>, während die Diagonaleinträge alle gleich <math>1</math> sind. Es gilt somit:

:<math> i > j \, \Rightarrow \, a_{ij} = 0 </math>
:<math> i = j \, \Rightarrow \, a_{ij} = 1 </math>

Eine solche <math>n\times n</math>-Matrix <math>A</math> sieht also wie folgt aus: <math>A = \begin{pmatrix}1 & b_{1,2} & \cdots & b_{1,n} \\
0 & \ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & b_{n-1,n} \\
0 & \cdots & 0 & 1\end{pmatrix} </math>.

Eine derartige Matrix <math>A</math> ist der Spezialfall einer [[unipotente Matrix|unipotenten Matrix]], d. h., die Matrix <math>A-I</math> ist [[Nilpotente Matrix|nilpotent]], es gibt also eine Zahl <math>m</math>, so dass gilt
: <math>(A-I)^m=0</math>.

== Eigenschaften ==

Es lässt sich beweisen:
* Das Produkt von unteren (oberen) Dreiecksmatrizen ist wieder eine untere (obere) Dreiecksmatrix.
* Das Produkt von strikten unteren (oberen) Dreiecksmatrizen ist wieder eine strikte untere (obere) Dreiecksmatrix.
* Die [[Inverse Matrix|Inverse]] einer invertierbaren unteren (oberen) Dreiecksmatrix ist eine untere (obere) Dreiecksmatrix.
* Die [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] einer Dreiecksmatrix ist das Produkt ihrer Hauptdiagonalelemente.
* Die [[Eigenwerte und Eigenvektoren|Eigenwerte]] einer Dreiecksmatrix sind die Elemente der Hauptdiagonale.

=== Algebraische Eigenschaften ===

* Die Menge aller oberen Dreiecksmatrizen bildet eine [[Lie-Algebra#Auflösbare Lie-Algebra|auflösbare Lie-Algebra]], die Menge aller nilpotenten oberen Dreiecksmatrizen eine [[Lie-Algebra#Nilpotente Lie-Algebra|nilpotente Lie-Algebra]].
* Die Menge aller invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen bildet eine [[auflösbare Gruppe]], die Menge aller unipotenten oberen Dreiecksmatrizen eine [[nilpotente Gruppe]].
* Die Anzahl der Elemente einer <math>n\times n</math>-Dreiecksmatrix, die von Null verschieden sein können, ist <math>\tfrac{n(n+1)}{2}</math>; dies ist auch die Dimension als [[Lie-Gruppe]] oder [[algebraische Gruppe]].

== Anwendungen ==

Wegen ihrer speziellen Eigenschaften werden Dreiecksmatrizen an verschiedenen Stellen, insbesondere auch bei Verfahren der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]] eingesetzt. Bei der folgenden Aufstellung wird der [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>\Complex</math> zugrunde gelegt.
* Bei einer [[reguläre Matrix|regulären Matrix]] <math>A</math> berechnet der [[Gaußsches Eliminationsverfahren|Gauß-Algorithmus]] für eine geeignete [[Permutationsmatrix]] <math>P</math> eine [[Gaußsches Eliminationsverfahren#LR-Zerlegung|LR-Zerlegung]] <math>PA=LR</math> in das Produkt einer normierten unteren (linken) Dreiecksmatrix <math>L</math> und einer oberen (rechten) <math>R</math>.
* Die [[QR-Zerlegung]] <math>A=QR</math> einer Matrix <math>A</math> in eine unitäre Matrix <math>Q</math> und eine obere Dreiecksmatrix <math>R</math> kann unter anderem mithilfe von [[Householdertransformation]]en, [[Givens-Rotation]]en oder mit dem [[Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren|Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren]] berechnet werden.
* In der [[Jordan-Normalform]] wird eine Matrix [[Ähnlichkeit (Matrix)|ähnlich]] auf eine Dreieckgestalt transformiert, die beinahe diagonal ist.
* In der [[Schur-Normalform]] wird eine Matrix [[unitäre Matrix|unitär]] [[Ähnlichkeit (Matrix)|ähnlich]] in eine Dreiecksmatrix transformiert. Das [[QR-Verfahren]] berechnet diese numerisch.

== Literatur ==

* [[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]]: ''Lineare Algebra. (Eine Einführung für Studienanfänger).'' 13., durchgesehene Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 2002, ISBN 3-528-97217-3.

[[Kategorie:Matrix]]
[[Kategorie:Numerische lineare Algebra]]

Dreiecksmatrix - Versionsgeschichte

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