imported>Invisigoth67: typo, form

2024-04-15T07:16:29Z

typo, form

Neue Seite

[[Datei:Triangular function.svg|mini|Dreiecksfunktion]]
Die '''Dreiecksfunktion''', auch ''tri''-Funktion, ''triangle''-Funktion oder ''tent''-Funktion, ist eine [[mathematische Funktion]] mit folgender Definition:

:<math>
\begin{align}
\operatorname{tri}(t) = \land (t) \quad
&\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \ \max(1 - |t|, 0) \\
&=
\begin{cases}
1 - |t|, & |t| < 1 \\
0, & \mbox{ansonsten}
\end{cases}
\end{align}
</math>.

Sie kann dazu gleichwertig auch als [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] der [[Rechteckfunktion]] <math>\operatorname{rect}</math> mit sich selbst definiert werden, wie es auch in nebenstehender Abbildung anschaulich dargestellt ist:

:<math>\begin{align}
\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) \quad
&\overset{\mathrm{def}}{=} \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(t-\tau)\ d\tau\\
&= \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(\tau-t)\ d\tau
\end{align}</math>.

<div style="clear:both;"></div>
[[Datei:Convolution of box signal with itself2.gif|mini|zentriert|900px|Faltung zweier Rechteckfunktionen ergibt die Dreiecksfunktion]]
<div style="clear:both;"></div>
Durch einen Parameter <math>a \neq 0</math> kann die Dreiecksfunktion skaliert werden:

:<math>
\begin{align}
\operatorname{tri}(t/a)
&=
\begin{cases}
1 - |t/a|, & |t| < |a| \\
0, & \mbox{ansonsten} .
\end{cases}
\end{align}
</math>

Die Dreiecksfunktion findet vor allem im Bereich der [[Signalverarbeitung]] zur Darstellung von idealisierten Signalverläufen Anwendung. Sie dient dort neben der [[Normalverteilung|Gauß-Funktion]], der [[Heaviside-Funktion]] und der Rechteckfunktion zur Beschreibung von Elementarsignalen. Technische Anwendungen liegen im Bereich von [[Optimalfilter]]n oder bei [[Fensterfunktion]]en wie dem [[Bartlett-Fenster]].

Die [[Fourier-Transformation]] der Dreiecksfunktion ergibt die quadrierte [[si-Funktion]]:

:<math>
\begin{align}
\mathcal{F}\{\operatorname{tri}(t)\}
&= \mathrm{si}^2(\pi f) .
\end{align}
</math>

== Allgemeine Form ==
Im Allgemeinen möchte man die Dreiecksfunktion skalieren. Von Interesse sind hierbei die Streckung in x-Richtung sowie die Höhe an der Spitze. Für die Streckung ist <math>T</math> die halbe Periodendauer, also die Distanz vom Beginn der Dreiecksfunktion bis zum Mittelpunkt <math>t_0</math>. Die Höhe an der Stelle <math>t_0</math> ist durch

:<math>a \cdot \operatorname{tri}\left(\frac{t-t_0}{T}\right)</math>

gegeben.

== Ableitung ==
Die Ableitung der Dreiecksfunktion stellt eine Summe von zwei [[Rechteckfunktion]]en <math>\operatorname{rect}</math> dar:

:<math>\frac{a}{T}\left(\operatorname{rect}\left(\frac{t-(t_0-T/2)}{T}\right) - \operatorname{rect}\left(\frac{t-(t_0+T/2)}{T}\right)\right) </math>

welche sich auch als Summe von drei [[Sprungfunktion]]en <math>\epsilon</math> darstellen lassen:

:<math>\frac{a}{T}\left(\operatorname{\epsilon}(t-(t_0-T)) - 2 \operatorname{\epsilon}(t-t_0) + \operatorname{\epsilon}(t-(t_0+T)) \right),</math>

wobei <math>2T</math> die Periodendauer, <math>t_0</math> den Mittelpunkt und <math>a</math> die Höhe der Dreiecksfunktion darstellen. Der Vorfaktor <math>\tfrac{a}{T} </math> tritt daher als Steigung der Dreiecksfunktion in der Ableitung auf.

== Dreieckschwingung ==
Eine Dreieckschwingung ist im Gegensatz zur hier dargestellten Dreiecksfunktion eine [[periodische Funktion]], die sich durch [[periodische Fortsetzung]] des Intervalls <math>[-1,1]</math> ergibt, im Allgemeinen ergänzt um einen konstanten Offset. Eine Dreieckschwingung im engeren Sinne enthält keinen [[Gleichanteil]], die Minima und Maxima sind also dem Betrage nach gleich.

Die Funktion

: <math>\Delta(t) = 2 a\cdot \left| \max (1-((2 f \cdot t ) \bmod 2),-1)\right| -a</math>

bzw. die Fourierreihe

: <math>\frac{8 a}{\pi^2} \cdot \sum _{n=1}^\infty \frac{\cos ((2 n-1)\cdot \omega \cdot t)}{(2 n-1)^2}</math>
omega
mit <math>a</math> für die Amplitude und <math>\omega</math> für die [[Kreisfrequenz]] erzeugt ein kontinuierliches Dreieckssignal.

Verallgemeinert und mit der Sinusgrundfunktion der Form

:<math> a(t) = \widehat{a} \cdot \sin ( \omega t + \varphi) </math>

in Einklang gebracht folgt:

:<math> \Delta(t) = 2 a \cdot \left| \max (1-((2 f \cdot (t - T\frac{2\varphi+\pi}{4\pi}) \bmod 2)), -1 ) \right| - a </math>.

== Quelle ==
* {{Literatur
| Autor = Hans Dieter Lüke
| Titel = Signalübertragung
| Auflage = 6. | Verlag = Springer Verlag
|Datum=1995| ISBN = 3-540-54824-6}}

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

Dreiecksfunktion - Versionsgeschichte

imported>Invisigoth67: typo, form