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2024-01-17T20:05:01Z

Euklidische Ebene

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Eine '''Drehstreckung''' ist eine [[Ähnlichkeitsabbildung]], die sich als Kombination der beiden geometrischen Operationen [[Drehung]] und [[Zentrische Streckung|Streckung]] darstellen lässt.

Im [[2D]]-Raum (Ebene) ist sie durch 2 [[Transformationsparameter]] charakterisiert, bei zusätzlicher Parallelverschiebung durch 4 Parameter. <br>
Im hier nicht behandelten [[3D]]-Fall sind es 4 bzw. 7 Parameter, siehe [[7-Parameter-Transformation]].

== Euklidische Ebene ==
=== Zentrum im Ursprung ===

Jede Drehstreckung (mit Ausnahme der [[Identische Abbildung|Identität]]) hat genau einen [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkt]], auch ''Zentrum'' genannt.
Liegt dieser Fixpunkt im [[Koordinatenursprung]], so lässt sich die Drehstreckung als [[Matrixmultiplikation]] schreiben:
:<math>
\left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}\right) \mapsto
\left(\begin{matrix}
r\cos\phi & -r\sin\phi \\
r\sin\phi & r\cos\phi
\end{matrix}\right) \cdot
\left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}\right) =
\left(\begin{matrix}
r\cos\phi\cdot x - r\sin\phi\cdot y \\
r\sin\phi\cdot x + r\cos\phi\cdot y
\end{matrix}\right)
</math>
Dabei ist <math>r\neq 0</math> der [[Maßstabsfaktor|Skalierungsfaktor]] und <math>\phi</math> der [[Winkel|Drehwinkel]].

In der [[Komplexe Ebene|komplexen Ebene]] lässt sich die gleiche Abbildung als komplexe Multiplikation schreiben:
:<math>z \mapsto re^{i\phi}\cdot z\qquad\text{mit }z\in\mathbb C, r\in\mathbb R\setminus \{0\}, \phi\in\mathbb R</math>

=== Zentrum beliebig ===

Liegt der Fixpunkt der Drehstreckung außerhalb des Ursprungs, so muss man entweder noch eine [[Parallelverschiebung|Translation]] der Koordinaten vornehmen, oder mit [[Homogene Koordinaten|homogenen Koordinaten]] rechnen:
:<math>
\left(\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}\right) \mapsto
\left(\begin{matrix}
r\cos\phi & -r\sin\phi & t_x \\
r\sin\phi & r\cos\phi & t_y \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}\right) \cdot
\left(\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}\right) =
\left(\begin{matrix}
r\cos\phi\cdot x - r\sin\phi\cdot y + t_x \\
r\sin\phi\cdot x + r\cos\phi\cdot y + t_y \\
1 \end{matrix}\right)
</math>

Die Koordinaten <math>(t_x, t_y)</math> beschreiben dabei eine abschließende [[Parallelverschiebung|Verschiebung]]. Der Fixpunkt der Abbildung lässt sich daraus durch Lösen eines [[Lineares Gleichungssystem|linearen Gleichungssystems]] ermitteln.

Auch die allgemeine Form einer Drehstreckung mit beliebigem Zentrum kann man in der komplexen Ebene ausdrücken:
:<math>z \mapsto re^{i\phi}\cdot z + t\qquad\text{mit }z\in\mathbb C, r\in\mathbb R\setminus \{0\}, \phi\in\mathbb R, t\in\mathbb C</math>

In dieser Form findet sich die Position des Zentrums als Lösung der Fixpunktgleichung besonders einfach:
:<math>z=re^{i\phi}\cdot z + t \quad\Rightarrow\quad z=\frac{t}{1-re^{i\phi}}</math>

Für <math>r=1</math> und <math>\phi=0\pmod{360^\circ}</math> beschreiben die Formeln eine [[Parallelverschiebung]], die nicht zu den Drehstreckungen gezählt wird, da sie sich nicht aus einer Drehung und einer Streckung zusammensetzen lässt. Ist allerdings zugleich <math>t_x=t_y=0</math> (bzw. <math>t=0</math>), stellen die Formeln die [[identische Abbildung]] dar, die als Spezialfall zu den Drehstreckungen zählt, zusammensetzbar aus einer Drehung um 0° und einer Streckung mit dem Faktor 1.

=== Ein wichtiger Satz ===
Zwei gleichsinnig ähnliche Figuren (das sind ähnliche Figuren mit gleicher Orientierung) in der euklidischen Ebene entstehen entweder durch eine Verschiebung oder eine Drehstreckung<ref>{{Cite book | title =Zeitlose Geometrie | edition = 1 |last=Coxeter & Greitzer|publisher=Ernst Klett|year=1983|location = Stuttgart|pages=101|language = deutsch}}</ref>.

=== Eine Eigenschaft: Zwei Kreise ===
[[File:DrehStreckung-3.svg|thumb|Spiral similarity]]
Sei T eine Drehstreckung, die den Kreis k auf k' abbildet, mit k <math>\cap</math> k' = {C, D} und Fixpunkt C.

Dann sind für jeden Punkt P <math>\in</math> k die Punkte P, T(P)= P' and D kollinear.

''Beweis:''

<math>\angle CMP = \angle CM'P'</math>, da Drehung und zentrische Streckung winkeltreu sind.

<math>\angle P'DC + \angle CDP = 180^{\circ}</math>, denn wenn der Radius <math>\overline{MD}</math> die Sehne <math>\overline{CP}</math> schneidet, dann schneidet <math>\overline{M'D}</math> die Sehne <math>\overline{CP'}</math> nicht ‒ und umgekehrt. Daher ist einer dieser Winkel ß und der andere 180°-ß.

Somit sind P, P' and D kollinear.

== Siehe auch ==
* [[Drehung]]
* [[Zentrische Streckung]]
* [[Ähnlichkeitstransformation]]

== Weblinks ==
* [https://mathe-vital.de/Indras/1-3.html Interaktive Demonstration einer Drehstreckung]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Geometrische Abbildung]]

Drehstreckung - Versionsgeschichte

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