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2026-04-09T11:18:53Z

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Eine '''Drehmatrix''' oder '''Rotationsmatrix''' ist eine [[Reelle Zahl|reelle]], [[orthogonale Matrix]] mit [[Determinante]] +1. Ihre [[Matrix-Vektor-Produkt|Multiplikation]] mit einem [[Vektor]] lässt sich interpretieren als (sogenannte aktive) [[Drehung]] des Vektors im [[Euklidischer Vektorraum|euklidischen Raum]] oder als passive Drehung des [[Koordinatensystem]]s, dann mit umgekehrtem Drehsinn. Bei der passiven Drehung ändert sich der Vektor nicht, er hat bloß je eine Darstellung (Koordinatenwerte) im alten und im neuen Koordinatensystem. Dabei handelt es sich stets um Drehungen um den [[Koordinatenursprung|Ursprung]], da die Multiplikation einer Matrix mit dem [[Nullvektor]] diesen auf sich selbst [[Lineare Abbildung|abbildet]].

In ungeraden [[Dimension (Mathematik)#Dimension eines Vektorraumes (Hamel-Dimension)|Dimensionen]] werden durch eine Drehung weitere Vektoren auf sich selbst abgebildet, <math>Rp=p</math>. Im dreidimensionalen Raum handelt es sich also um eine Gerade, die Drehachse. Eine Drehmatrix enthält [[Trigonometrische Funktion|trigonometrische]] Ausdrücke des Drehwinkels und der Orientierung des invarianten Unterraumes. In geraden Dimensionen muss die Drehmatrix keinen reellen [[Eigenwert]] haben.

== Drehmatrix der Ebene ℝ² ==
[[Datei:Drehmatrix-Herleitung.svg|350px|mini|Bilder der Standardbasisvektoren unter einer Drehung um den Ursprung um den Winkel <math>\alpha</math>]]
In der [[Euklidische Ebene|euklidischen Ebene]] <math>\R^2</math> wird die Drehung eines Vektors <math>p</math> (aktive Drehung, Überführung in den Vektor <math>p'</math>) um einen festen [[Koordinatenursprung|Ursprung]] um den [[Winkel]] <math>\alpha</math> im mathematisch positiven Sinn (gegen den [[Uhrzeigersinn]]) durch die Multiplikation mit der Drehmatrix <math>R_\alpha</math> erreicht:

:<math>p' = R_\alpha p\qquad (1)</math>

Jede Rotation um den Ursprung ist eine [[lineare Abbildung]]. Wie bei jeder linearen Abbildung genügt daher zur Festlegung der Gesamtabbildung die Festlegung der Bilder der Elemente einer beliebigen [[Basis (Vektorraum)|Basis]]. Wird die [[Standardbasis]] gewählt, sind die Bilder der Basisvektoren gerade die Spalten der dazugehörigen [[Abbildungsmatrix]].

Hier wirkt <math>R_\alpha</math> auf die beiden Basisvektoren wie folgt:
:<math>
\begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}\cos\alpha
\\
\sin\alpha\end{pmatrix}
\quad</math>und <math>\quad
\begin{pmatrix} 0\\ 1\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix} -\sin\alpha
\\
\cos\alpha\end{pmatrix}.</math>

Für die Drehmatrix einer Drehung um <math>\alpha</math> ergibt sich damit
:<math>R_\alpha =\begin{pmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha
\\
\sin\alpha &\cos\alpha\end{pmatrix}.</math>

Ein Punkt <math>P = (x,y)</math> geht in den Punkt <math>P' = (x',y')</math> über, dessen (als Spaltenvektor geschriebenen) Ortsvektor <math>p' =\begin{pmatrix} x'\\ y'\end{pmatrix}</math> man aus <math>p =\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}</math> durch Anwenden der obigen Formel <math>(1)</math> erhält:
:<math>p' = R_\alpha\cdot p</math>
:<math>\begin{pmatrix} x'\\ y'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha
\\
\sin\alpha &\cos\alpha\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}</math>

Diese [[Matrixmultiplikation]] ergibt:
:<math>x' = x\cdot\cos\alpha - y\cdot\sin\alpha</math>
:<math>y' = x\cdot\sin\alpha + y\cdot\cos\alpha</math>

Bei der passiven Drehung wird das Koordinatensystem mathematisch positiv gedreht. Der Vektor <math>p</math> erscheint im gedrehten Koordinatensystem als im Uhrzeigersinn zurückgedrehter Vektor <math>\hat p</math>. Seine Koordinaten im gedrehten Koordinatensystem findet man durch Multiplikation mit der Matrix <math>R^{-1}_\alpha</math>:

:<math>\hat p = R^{-1}_\alpha p</math>

Die Drehmatrix für die passive Drehung ist:
:<math>R^{-1}_\alpha =\begin{pmatrix}\cos\alpha &\sin\alpha\\ -\sin\alpha &\cos\alpha\end{pmatrix} = R_{-\alpha}</math>

Die Verkettung zweier positiver Drehungen um die Winkel <math>\alpha</math> bzw. <math>\beta</math> ist erneut eine Drehung, und zwar um den Winkel <math>\alpha+\beta</math> (siehe auch [[Kreisgruppe]]).
Die zur Verkettung gehörende Matrix kann mittels [[Matrizenmultiplikation|Multiplikation]] aus den beiden einzelnen Drehmatrizen berechnet werden:
:<math>\begin{align}R_{\alpha+\beta} =& R_\alpha R_\beta\\

\begin{pmatrix}\cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta)
\\
\sin(\alpha+\beta) &\cos(\alpha+\beta)\end{pmatrix} =&

\begin{pmatrix}\cos\alpha & -\sin\alpha
\\
\sin\alpha &\cos\alpha\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}\cos\beta & -\sin\beta
\\
\sin\beta &\cos\beta\end{pmatrix}\\

=&\begin{pmatrix}
\cos\alpha\cos\beta -\sin\alpha\sin\beta & -\cos\alpha\sin\beta -\sin\alpha\cos\beta\\
\cos\alpha\sin\beta +\sin\alpha\cos\beta &\cos\alpha\cos\beta -\sin\alpha\sin\beta
\end{pmatrix}
\end{align}</math>

== {{Anker|Drehmatrizen des Raumes R3}} Drehmatrizen des Raumes ℝ³ ==
Die elementaren Drehungen im <math>\R^3</math> sind Drehungen um die üblichen [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatenachsen]]. Die folgenden Matrizen drehen einen Punkt (bzw. Vektor) um den [[Winkel]] <math>\alpha</math> bei festen Koordinatenachsen. In der Physik werden häufig Drehungen des Koordinatensystems benutzt, dann müssen bei den untenstehenden Matrizen die [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] aller Sinus-Einträge geändert werden. Die Drehung eines Vektors um einen bestimmten Winkel in einem Koordinatensystem führt auf dieselben Spaltenvektoren wie die Drehung des Koordinatensystems um den gleichen Winkel in umgekehrter Richtung (Drehung um negativen Winkel).

Die Matrizen gelten sowohl für [[Rechtssystem (Mathematik)|Rechts-]] als auch für Linkssysteme. Drehungen mit positiven Drehwinkeln sind im Rechtssystem Drehungen entgegen dem Uhrzeigersinn. Im Linkssystem wird bei positiven Winkeln mit dem Uhrzeigersinn gedreht. Der Drehsinn ergibt sich, wenn man entgegen der positiven Drehachse auf den Ursprung schaut. In Rechtssystemen kann auch eine [[Drei-Finger-Regel|Rechte-Hand-Regel]] angewandt werden: Zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung der Drehachse, so geben die gebeugten restlichen Finger die Richtung des Drehwinkels an. Im Ergebnis ist das Vorzeichen der Sinus-Einträge der Drehung um die <math>y</math>-Achse anders als bei den beiden anderen Matrizen.

* Drehung um die <math>x</math>-Achse:

:<math>
R_x(\alpha) =\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos\alpha & -\sin\alpha\\
0 & \sin\alpha & \cos\alpha
\end{pmatrix}
</math>

* Drehung um die <math>y</math>-Achse:

:<math>
R_y(\alpha) =\begin{pmatrix}
\cos\alpha & 0 & \sin\alpha\\
0 & 1 & 0 \\
-\sin\alpha & 0 & \cos\alpha
\end{pmatrix}
</math>

* Drehung um die <math>z</math>-Achse:
:<math>
R_z(\alpha) =\begin{pmatrix}
\cos\alpha & -\sin\alpha & 0\\
\sin\alpha & \cos\alpha & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>


* Drehung um eine [[Ursprungsgerade]], deren Richtung und Orientierung durch den beliebigen [[Einheitsvektor]] <math>\hat n = (n_1, n_2, n_3)^\mathsf{T}</math> gegeben ist:

:<math>
R_{\hat n}(\alpha) =\begin{pmatrix}
n_1^2\left(1-\cos\alpha\right) +\cos\alpha & n_1 n_2\left(1-\cos\alpha\right) - n_3\sin\alpha & n_1 n_3\left(1-\cos\alpha\right) + n_2\sin\alpha\\
n_2 n_1\left(1-\cos\alpha\right) + n_3\sin\alpha & n_2^2\left(1-\cos\alpha\right) +\cos\alpha & n_2 n_3\left(1-\cos\alpha\right) - n_1\sin\alpha\\
n_3 n_1\left(1-\cos\alpha\right) - n_2\sin\alpha & n_3 n_2\left(1-\cos\alpha\right) + n_1\sin\alpha & n_3^2\left(1-\cos\alpha\right) +\cos\alpha
\end{pmatrix}
</math>

Diese beliebige Drehung lässt sich auch über drei aufeinanderfolgende Drehungen mit den [[Eulersche Winkel|eulerschen Winkeln]] um bestimmte Koordinatenachsen erzielen, sodass sich diese Matrix auch mit diesen Winkeln formulieren lässt.

Eine Drehung um eine beliebige Achse <math>\hat n</math> (mit <math>\hat n\cdot\hat n = 1</math>) um den Winkel <math>\alpha</math> lässt sich im <math>\R^3</math> schreiben als:
:<math>R_{\hat{n}}(\alpha)\vec{x}=\hat{n}(\hat{n}\cdot\vec{x})+\cos\left(\alpha\right)(\hat{n}\times\vec{x})\times\hat{n}+\sin\left(\alpha\right)(\hat{n}\times\vec{x})</math>
Dies lässt sich mit der [[Kreuzprodukt#Graßmann-Identität|Graßmann-Identität]] für doppelte Kreuzprodukte und dem [[Dyadisches Produkt|dyadischen Produkt]] <math>\otimes</math> umformen zu:
:<math>\begin{align}
R_{\hat{n}}(\alpha)\vec{x} & =(1-\cos\alpha)\hat{n}(\hat{n}\cdot\vec{x})+\cos\alpha\,\vec{x}+\sin\alpha(\hat{n}\times\vec{x})\\
& =\Big( (1-\cos\alpha)\hat{n}\otimes\hat{n}+I\,\cos\alpha+\sin\alpha\sum_{i}(\hat{n}\times\hat{e}_{i})\otimes\hat{e}_{i}\Big)\vec{x}\\
& =\Big( (1-\cos\alpha)\hat{n}\otimes\hat{n}+I\,\cos\alpha+
[\hat n]_{\times}\,\sin\alpha\Big)\vec{x}
\end{align}</math>

Dabei ist <math>I</math> die [[Einheitsmatrix]] und <math>\hat{e}_{i}</math> sind die kanonischen Einheitsvektoren. <math>[\hat n]_{\times}</math> ist die [[Kreuzprodukt#Kreuzproduktmatrix|Kreuzproduktmatrix]] von <math>\hat n</math>.
Der Term in geschweiften Klammern stellt die Drehmatrix im <math>\R^3</math> dar. In Komponentendarstellung schreibt sich diese so:
:<math>[R_{\hat n}(\alpha)]_{ij}=(1-\cos\alpha)n_{i}n_{j}+\cos\alpha\,\delta_{ij}+\sin\alpha\,\varepsilon_{ikj}n_{k}</math>
Dabei sind <math>\delta_{ij}</math> das [[Kronecker-Delta]] und <math>\varepsilon_{ikj}</math> das [[Levi-Civita-Symbol]].

Eine Drehmatrix <math>R\neq I </math> im <math>\R^3</math> hat den [[Eigenwert]] 1, dieser ist nicht entartet, und der zugehörige [[Eigenwertproblem#Eigenraum zum Eigenwert|Eigenraum]] bildet die Drehachse.

=== Parametrisierung ===
Für Drehmatrizen im dreidimensionalen Raum sind mehrere Parametrisierungen bekannt:
* [[Eulersche Winkel|Euler-, Kardan- und Tait-Bryan-Winkel]] werden in der [[Kreiseltheorie]], [[Luftfahrt]], [[Schifffahrt]] und im [[Automobilbau]] verwendet.
* Die [[Euler-Rodrigues-Formel]] basiert auf den [[Quaternion]]en und wird in der [[Robotik]] und [[Computergrafik]] angewendet.
* Rotationsvektoren <math>\vec\alpha</math> sind in vielfältiger Weise definierbar, siehe die folgende Auflistung.

:<math>\begin{array}{lcl}
\vec\alpha=\alpha\hat n
&\rightarrow&
R=I+\frac{\sin(\alpha)}\alpha[\vec\alpha]_\times
+\frac{1-\cos(\alpha)}{\alpha^{2}}[\vec\alpha]_\times^2
=
\exp([\vec\alpha]_\times)
\\
\vec\alpha
=\tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\;\hat{n}
&\rightarrow&
R
= I+\dfrac{2}{1+\vec\alpha\cdot\vec\alpha}
([\vec\alpha]_\times+[\vec\alpha]_\times^2)
\\[2ex]
\vec\alpha
=\sin(\alpha)\;\hat{n}
&\rightarrow&
R
= I+[\vec\alpha]_\times+\dfrac{1}{1+\cos(\alpha)}[\vec\alpha]_\times^2
\\[2ex]
\vec\alpha =\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\;\hat{n}
&\rightarrow&
R
= I+2\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) [\vec\alpha]_\times
+ 2[\vec\alpha]_\times^2
\end{array}</math>

Darin ist <math>\alpha</math> der Drehwinkel, <math>\hat n</math> der [[Einheitsvektor]] in Richtung der [[Drehachse]] und <math>[\vec\alpha]_\times</math> ist die [[Kreuzprodukt#Kreuzproduktmatrix|Kreuzproduktmatrix]] des Rotationsvektors. Die Auflistung gibt vier Darstellungen derselben Drehmatrix, die mit Winkel <math>\alpha</math> um die Drehachse <math>\hat n</math> dreht.

== Drehmatrizen des Raumes ℝⁿ ==
Im <math>n</math>-dimensionalen Raum wird eine Drehung nicht durch eine Drehachse, sondern durch die Ebene definiert, die bei der Drehung auf sich selbst abgebildet wird. Das gilt auch in zwei Dimensionen, wo die Dreh-„Achse“ nur ein Punkt ist. Seien im <math>\mathbb{R}^n</math> die Vektoren <math>{\hat{g}}_1 </math> und <math>\hat{g}_2</math> zwei zueinander orthogonale Einheitsvektoren (also <math>\hat{g}_1\cdot\hat{g}_2=0</math> und <math>\left|\hat{g}_1\right|=\left|\hat{g}_2\right|=1</math>), die demnach eine Ebene aufspannen. Seien <math>V=\hat{g}_1\otimes {\hat{g}}_1+{\hat{g}}_2\otimes\hat{g}_2</math>, <math>W=\hat{g}_1\otimes {\hat{g}}_2 -\hat{g}_2\otimes\hat{g}_1</math>, und <math>I_n</math> die Einheitsmatrix. Dann vermittelt die Matrix

:<math>R=\exp (\alpha W)=I_{n}+\left(\cos(\alpha) -1\right)V+\sin(\alpha) W</math>

eine Drehung um den Winkel <math>\alpha</math> in der <math>\hat{g}_1\text{-}\hat{g}_2\text{-Ebene}</math> im <math>\mathbb{R}^n</math>. Dabei wurde

:<math>\exp\left(\alpha W\right):=\sum_{k=0}^\infty\frac{\alpha^k}{k\mathrm{!}}{W}^k</math>

und <math>W^0:=I_n</math> definiert. Die Darstellung <math>\exp(\alpha W)=I_n+\left(\cos(\alpha)-1\right)V+\sin(\alpha) W</math> ergibt sich aus den Identitäten

:<math>\begin{align}
{W}^2 =& W W = -V\,,\quad W V = V W = W\,,\quad V^2 = V
\\
\rightarrow W^{2n}=&(-1)^n V\quad\text{und}
\quad{W}^{2n+1}=(-1)^n W
\end{align}</math>

sowie
:<math>\cos(\alpha)=1+\sum_{k=1}^\infty\frac{{(-1)}^{k}}{\left(2k\right)\mathrm{!}}\alpha^{2k}\quad\text{und}\quad\sin(\alpha) =\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)\mathrm{!}}\alpha^{2k+1}.</math>

=== Eigensystem der Drehmatrizen ===
Von <math>R</math> wird jeder auf <math>\hat{g}_1</math> und <math>\hat{g}_2</math> senkrecht stehende Vektor <math>\vec{n}</math> (mit <math>\vec{n}\cdot {\hat{g}}_1=\vec{n}\cdot\hat{g}_2=0</math>) auf sich selbst abgebildet. Also sind diese Vektoren <math>\vec{n}</math> Eigenvektoren von <math>R</math> mit Eigenwert 1. Zwei Eigenwerte von <math>R</math> sind <math>\lambda_{1,2}=e^{\pm\mathrm i\alpha}</math> mit den Eigenvektoren <math>\hat{v}_{1,2}=\tfrac{\sqrt2}2\left(\hat{g}_1\pm\mathrm i\hat{g}_2\right)</math>, worin <math>\mathrm i^2=-1</math> die [[imaginäre Einheit]] ist. Aus diesen komplexen Eigenwerten und Eigenvektoren kann man also den Drehwinkel und die Drehebene rekonstruieren. Des Weiteren gilt bei Drehung in einer Ebene:

:<math>\begin{align}
\operatorname{Sp}R=&n+2\cos(\alpha) -2
\rightarrow\alpha =\arccos\left(\frac{\operatorname{Sp}(R)+2-n}2\right)
\\
R-{R}^\mathsf{T}=&2\sin(\alpha) W\rightarrow
\hat{g}_1\otimes\hat{g}_2-\hat{g}_2\otimes\hat{g}_1=
W=\frac{R-{R}^\mathsf{T}}{2\sin(\alpha)}
\end{align}</math>

Allerdings kann eine Drehung im <math>n</math>-dimensionalen Raum gleichzeitig in <math>\tfrac{n}2</math> (falls <math>n</math> gerade) oder <math>\tfrac{n-1}2</math> (falls <math>n</math> ungerade) Ebenen auch mit mehreren unterschiedlichen Winkeln stattfinden. Dadurch kann es in geraden Dimensionen dazu kommen, dass eine allgemeine Drehmatrix nicht den Eigenwert 1 hat.

== Allgemeine Definition ==
Eine <math>n\times n</math>-Matrix <math>R</math> mit reellen Komponenten heißt ''Drehmatrix,'' wenn sie
: a) die Länge von Vektoren und die Winkel zwischen Vektoren erhält (ausgedrückt durch das [[Skalarprodukt]]), wenn also für alle Vektoren <math>x</math> und <math>y</math> des <math>\R^n</math> gilt:
::<math>\langle Rx, Ry\rangle =\langle x, y\rangle</math>
und
: b) [[Orientierung (Mathematik)|orientierungserhaltend]] ist, wenn also <math>\det\, R=1</math> gilt.

Drehmatrizen sind [[Orthogonale Matrix|orthogonale Matrizen]] mit der [[Determinante]] +1.

== Eigenschaften ==
Weitere Eigenschaften von Rotationsmatrizen <math>R\in\mathbb{R}^{n\times n}</math>:

* [[Quadratische Matrix]] mit [[Reelle Zahl|reellen]] Komponenten

* <math>R^\mathsf{T} R = R\ R^\mathsf{T} = {I_n}</math> ([[Orthogonale Matrix|orthogonal]]), folgt aus dem ersten Teil der Definition:
::<math>\left\langle Rx,Ry\right\rangle\equiv\left\langle x,R^\mathsf{T} Ry\right\rangle=\left\langle x,y\right\rangle\quad\Rightarrow\quad R^\mathsf{T} R=I</math>

* <math>R^\mathsf{T} = R^{-1}</math> ([[Transponierte Matrix|Transponierte]] und [[Inverse Matrix|Inverse]] von R sind gleich), folgt aus der Orthogonalität.

* <math>\det (R) = 1</math> ([[Determinante (Mathematik)|Determinante]]), entspricht dem zweiten Teil der Definition.

* Die Ausrichtung des Koordinatensystems ([[Rechtssystem (Mathematik)|Rechts-]] oder Linkssystem) wird beibehalten, da <math>\det (R) = 1 > 0</math> [[Orientierung (Mathematik)|positive Orientierung]].

* Die Kombination einer Drehung <math>R_1</math> mit anschließender Drehung <math>R_2</math> erfolgt mit der Matrix <math>R_2R_1</math>. Weil die [[Matrizenmultiplikation]] nicht [[Kommutativgesetz|kommutativ]] ist, führt die umgekehrte Reihenfolge <math>R_1R_2</math> im Allgemeinen zu einem anderen Ergebnis. Nur bei infinitesimal kleinen Drehungen ist die Reihenfolge vertauschbar, siehe [[#Kommutativität infinitesimaler Drehungen]].

* Die Menge aller Drehmatrizen eines Raumes bildet die [[Drehgruppe]], nämlich die [[spezielle orthogonale Gruppe]]:

::<math>\mathrm{SO}(n)=\left\{\text{lineare Abbildung }R\colon\,\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}\ |\ R^\mathsf{T}R=I_n\, ,\ \det\,R=1\right\}</math>

* Zusätzlich zur [[Algebraische Struktur|algebraischen Struktur]] einer [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] besitzt die Menge aller Drehmatrizen auch eine [[topologische Struktur]]: Die Operationen Multiplikation und Inversion von Drehmatrizen sind stetig differenzierbare Funktionen ihrer Parameter, der Drehwinkel. Die <math>\mathrm{SO}(n)</math> bildet eine [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]] und ist somit eine [[Lie-Gruppe]]. Diese hat die [[Dimension (Mathematik)#Dimension einer Mannigfaltigkeit|Dimension]] <math>n(n-1)/2</math>.

* Mit der Lie-Gruppe <math>\mathrm{SO}(n)</math> ist eine [[Lie-Algebra]] <math>\mathfrak{so}(n)</math> verknüpft, ein Vektorraum mit einem [[Bilineare Abbildung|bilinearen]] alternierenden Produkt ([[Lie-Klammer]]), wobei der Vektorraum bezüglich der Lie-Klammer abgeschlossen ist. Dieser Vektorraum ist [[Isomorphismus|isomorph]] zum [[Tangentialraum]] am neutralen Element der <math>\mathrm{SO}(n)</math> (neutrales Element ist die Einheitsmatrix), sodass insbesondere <math>\dim\mathfrak{so}(n)=\dim\mathrm{SO}(n)</math> gilt. Die Lie-Algebra besteht aus allen [[Schiefsymmetrische Matrix|schiefsymmetrischen]] <math>n\times n</math>-Matrizen und ihre Basis sind die sog. Erzeugenden. Die [[Exponentialabbildung]] verknüpft die Lie-Algebra mit der Lie-Gruppe:

::<math>\exp\colon\ \mathfrak{so}(n)\to\mathrm{SO}(n),\ J\mapsto\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}J^{k}</math>

Speziell bei Drehungen in einer Ebene gilt für Rotationsmatrizen <math>R\in\mathbb{R}^{n\times n}</math>:

* <math>R^{-1}(\alpha)=R({-\alpha})=R(2\pi -\alpha)</math>

* Zwei Vektoren spannen die Drehebene auf und <math>n-2</math> Vektoren werden von <math>R</math> auf sich abgebildet. In drei Dimensionen wird ein Vektor auf sich abgebildet, der dann die Drehachse erzeugt.

* Die zur Drehebene senkrechten Vektoren <math>\vec v</math> sind Lösung von
::<math>(R-I)\vec v =\vec 0.</math>
: Da <math>(R-I)</math> für ungerade Dimensionen nicht [[Reguläre Matrix|regulär]] ist, ist die Berechnung dieser Vektoren über eine [[Eigenwertzerlegung]] durchzuführen. Die Vektoren <math>\vec v</math> sind [[Eigenvektor]] von <math>R</math> mit [[Eigenwert]] 1. In geraden Dimensionen muss kein Eigenvektor zum Eigenwert 1 existieren, was im Fall <math>n=2</math> anschaulich klar ist.

* Der Drehwinkel <math>\alpha</math> ergibt sich über das Skalarprodukt:
::<math>\quad\left\langle\vec w, R\vec w\right\rangle =\left\|\vec w\right\|\left\|R\vec w\right\|\cos\alpha</math>
: mit <math>\vec w</math> in der Drehebene, in drei Dimensionen also orthogonal zur Drehachse, oder aus der [[Spur (Mathematik)|Spur]] der Drehmatrix
::<math>\operatorname{Spur}(R) = n-2 + 2\cos\alpha</math>
: (siehe auch Formel für die Matrix einer Drehung um eine allgemeine Achse oben).

== Infinitesimale Drehungen ==
Betrachtet man Drehungen um infinitesimal kleine Winkel <math>\mathrm{d}\alpha</math>, so ist es ausreichend, die Winkelfunktionen der endlichen Drehung bis zur ersten Ordnung zu entwickeln (<math>\sin x = x</math> bzw. <math>\cos x = 1</math>). Damit lassen sich nun infinitesimale Drehungen darstellen als

:<math>R(\mathrm{d}\alpha)=I+\mathrm{d}\alpha\,J,</math>

wobei <math>I</math> die Einheitsmatrix und <math>J</math> die '''Erzeugende''' einer infinitesimalen Drehung darstellt. Die Erzeugenden sind die Ableitungen der Rotationsmatrix an der Stelle der Identität und bilden die Basis der Lie-Algebra <math>\mathfrak{so}(n)</math> (Beispiel siehe unten).

:<math>J=\left.\frac{\mathrm{d}R(\alpha)}{\mathrm{d}\alpha}\right|_{\alpha=0}</math>

Eine endliche Drehung lässt sich durch Hintereinanderausführung infinitesimaler Drehungen erzeugen:

:<math>R(\alpha)=\lim_{N\to\infty}\left[R\left(\frac{\alpha}{N}\right)\right]^{N}=\lim_{N\to\infty}\left[I+\frac{\alpha}{N}\,J\right]^{N}=\exp\left(\alpha J\right)\equiv\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(\alpha J\right)^{n}}{n!}</math>

Dabei wurde die [[Exponentialfunktion]] identifiziert. Die Exponentialfunktion von Matrizen ist über die Reihendarstellung definiert, wie im letzten Schritt gezeigt. Es lässt sich zeigen, dass Erzeugende [[Spur (Mathematik)|spurfrei]] sein müssen:

:<math>1=\det R(\alpha)=\exp(\alpha\ \operatorname{Sp}\,J)\quad\implies\quad\operatorname{Sp}\,J=0</math>

und schiefsymmetrisch sind:

:<math>I=R(\alpha)R^\mathsf{T}(\alpha)=R^\mathsf{T}(\alpha)R(\alpha)=e^{\alpha J}e^{\alpha J^\mathsf{T}}=e^{\alpha J^\mathsf{T}}e^{\alpha J}=e^{\alpha(J+J^\mathsf{T})}\quad\implies\quad J+J^\mathsf{T}=0.</math>

Mit dem Konzept der Erzeugenden lässt sich die lokale Gruppenstruktur der <math>\mathrm{SO}(n)</math> in der Umgebung der [[Identische Abbildung|identischen Abbildung]] ausdrücken, und zwar durch die infinitesimalen Drehungen. Wegen des Zusammenhangs über die Exponentialfunktion wird aus einer Multiplikation von Drehmatrizen eine Addition ihrer Erzeugenden. Die Erzeugenden bilden einen Vektorraum derselben Dimension <math>G=n(n-1)/2</math> wie die Drehgruppe <math>\mathrm{SO}(n)</math>; somit gibt es <math>G</math> linear unabhängige Erzeugende der Gruppe <math>\mathrm{SO}(n)</math>.

Die Erzeugenden <math>J_i</math> bilden mit dem Lie-Produkt ([[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]]) die sog. [[Lie-Algebra]] <math>\mathfrak{so}(n)</math>. Eine [[Algebra über einem kommutativen Ring|Algebra]] besitzt zwei Gruppenstrukturen, die kommutative Addition und eine Multiplikation (Lie-Produkt). Der Kommutator zweier Erzeugenden liegt wieder in der Menge der Erzeugenden (Abgeschlossenheit):

:<math>[J_{i},J_{k}]=\sum_{l}c_{ik}^{l}J_{l}</math>

Die Koeffizienten <math>c_{ik}^{l}=-c_{ki}^{l}</math> sind charakteristische Konstanten der Gruppe. Für alle doppelten Kommutatoren gilt die [[Jacobi-Identität]]:

:<math>\left[[J_{i},J_{k}],J_{l}\right]+\left[[J_{k},J_{l}],J_{i}\right]+\left[[J_{l},J_{i}],J_{k}\right]=0</math>

In der theoretischen Physik spielen Lie-Gruppen eine wichtige Rolle, z. B. in der Quantenmechanik (siehe [[Drehimpulsoperator]]) oder der [[Elementarteilchenphysik]].

=== Ebene ℝ² ===
Für Drehungen im <math>\R^2</math> lauten die infinitesimale Drehung und ihre Erzeugende:

:<math>R(\mathrm{d}\alpha)=\begin{pmatrix}1 & -\mathrm{d}\alpha
\\
\mathrm{d}\alpha & 1\end{pmatrix}\,,\quad J=\begin{pmatrix}0 & -1\\1 & 0\end{pmatrix}</math>

Für die <math>\mathrm{SO}(2)</math> gibt es nur eine linear unabhängige Erzeugende.

Eine endliche Drehung lässt sich über die Exponentialfunktion des Drehwinkels und der Erzeugenden darstellen. Dies wird hier auf eine weitere Art gezeigt: Die Drehmatrix wird in einen [[Symmetrische Matrix|symmetrischen]] und antisymmetrischen Anteil zerlegt und die trigonometrischen Funktionen werden durch ihre Taylorreihe dargestellt.

:<math>R(\alpha)=I\,\cos\alpha+J\,\sin\alpha=I\,\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\alpha^{2n}}{(2n)!}+J\,\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>

Mit <math>J^2=-I</math> bzw. <math>J^{2n}=(-I)^n</math> folgt das von oben bekannte Ergebnis:

:<math>R(\alpha)=\sum_{n=0}^{\infty}J^{2n}\frac{\alpha^{2n}}{(2n)!}+\sum_{n=0}^{\infty}J^{2n+1}\frac{\alpha^{2n+1}}{(2n+1)!}=\exp(\alpha J)</math>

=== Raum ℝ³ ===
Für Drehungen im <math>\R^3</math> um die kartesischen Koordinatenachsen lauten die infinitesimalen Drehungen und ihre Erzeugenden:

:<math>\begin{align}
R_{x}(\mathrm{d}\alpha) & =\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & -\mathrm{d}\alpha\\0 &\mathrm{d}\alpha & 1\end{pmatrix}\,,\quad & J_{x} & =\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}\\
R_{y}(\mathrm{d}\alpha) & =\begin{pmatrix}1 & 0 &\mathrm{d}\alpha\\0 & 1 & 0\\-\mathrm{d}\alpha & 0 & 1\end{pmatrix}\,,\quad & J_{y} & =\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0\\-1 & 0 & 0\end{pmatrix}\\
R_{z}(\mathrm{d}\alpha) & =\begin{pmatrix}1 & -\mathrm{d}\alpha & 0\\
\mathrm{d}\alpha & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\,,\quad & J_{z} & =\begin{pmatrix}0 & -1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}
\end{align}</math>

Für die <math>\mathrm{SO}(3)</math> gibt es drei linear unabhängige Erzeugende. Anders als endliche Drehungen vertauschen infinitesimale Drehungen miteinander (der [[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]] verschwindet in erster Ordnung in <math>\mathrm{d}\alpha</math>).

Eine infinitesimale Drehung und ihre Erzeugende um eine beliebige Achse <math>\hat n</math> (mit <math>\hat n\cdot\hat n = 1</math>) lässt sich auch schreiben als:

:<math>R_{\hat{n}}(\mathrm{d}\alpha)=I+\mathrm{d}\alpha\sum_{i}(\hat{n}\times\hat{e}_{i})\otimes\hat{e}_{i}=\begin{pmatrix}1 & -\mathrm{d}\alpha\, n_{z} &\mathrm{d}\alpha\, n_{y}
\\
\mathrm{d}\alpha\, n_{z} & 1 & -\mathrm{d}\alpha\, n_{x}\\ -\mathrm{d}\alpha\, n_{y} &\mathrm{d}\alpha\, n_{x} & 1\end{pmatrix}</math>

:<math>J_{\hat{n}}=\sum_{i}\left(\hat{n}\times\hat{e}_{i}\right)\otimes\hat{e}_{i}=\begin{pmatrix}0 & -n_{z} & n_{y}\\ n_{z} & 0 & -n_{x}\\ -n_{y} & n_{x} & 0\end{pmatrix}</math>

Hieran sieht man, dass eine beliebige Erzeugende stets eine schiefsymmetrische Matrix ist.

Eine endliche Drehung um eine beliebige Achse <math>\hat n</math> (mit <math>\hat n\cdot\hat n = 1</math>) um den Winkel <math>\alpha</math> lässt sich so darstellen:

:<math>R_{\hat{n}}(\alpha)=\exp\Big(\alpha\,J_{\hat{n}}\Big)=\exp\Big(\alpha\,\hat{n}\cdot\vec{J}\,\Big)=\exp\Big(\alpha(n_{x}J_{x}+n_{y}J_{y}+n_{z}J_{z})\Big)</math>

Die Erzeugenden <math>J_x</math>, <math>J_y</math>, <math>J_z</math> bilden die sog. Lie-Algebra <math>\mathfrak{so}(3)</math>, d. h., der Kommutator (Lie-Produkt) zweier Erzeugenden liegt wieder in der Menge der Erzeugenden:

:<math>[J_{x},J_{y}]=J_{z}\,,\quad[J_{x},J_{z}]=-J_{y}</math>

und ebenso für alle [[Zyklische Permutation|zyklischen Permutationen]] der Indizes.

=== Kommutativität infinitesimaler Drehungen ===
{{Siehe auch|Winkelgeschwindigkeit#Kommutativität}}

Zwei infinitesimale Drehungen sind in ihrer Reihenfolge vertauschbar, was bei großen Drehungen im Allgemeinen nicht der Fall ist, siehe [[#Eigenschaften]]. Ersichtlich ist das am Produkt zweier infinitesimaler Drehungen <math>R_n=I+\mathrm{d}\alpha J_n</math> und <math>R_m=I+\mathrm{d}\beta J_m</math>

:<math>\begin{align}
R_nR_m=&(I+\mathrm{d}\alpha J_n)(I+\mathrm{d}\beta J_m)
\\=&I+\mathrm{d}\alpha J_n+\mathrm{d}\beta J_m+\mathrm{d}\alpha\mathrm{d}\beta J_nJ_m
\\
\approx&
I+\mathrm{d}\alpha J_n+\mathrm{d}\beta J_m
\approx
I+\mathrm{d}\alpha J_n+\mathrm{d}\beta J_m+\mathrm{d}\alpha\mathrm{d}\beta J_mJ_n
\\=&(I+\mathrm{d}\beta J_m)(I+\mathrm{d}\alpha J_n)
=R_mR_n,
\end{align}</math>

denn die Terme, die proportional zum Produkt <math>\mathrm{d}\alpha\mathrm{d}\beta</math> zweier infinitesimaler Größen sind, können gegenüber den anderen vernachlässigt werden.

== Bestimmung der Drehung zwischen zwei Lagen ==
Gegeben sei die Lage eines Körpers in zwei Positionen. Außerdem sei die Positionsänderung durch Drehung um den Ursprung erfolgt. Gesucht ist die oder eine Drehmatrix, die diese Drehung beschreibt. Im <math>n</math>-dimensionalen Raum wird die Lage des Körpers durch <math>n</math> Punkte <math>\vec{x}_i,\; i=1\ldots n</math> beschrieben, welche die Matrix <math>X =\Big(\vec{x}_1\ldots\vec{x}_n\Big)</math> bilden. Die Ausgangslage werde durch <math>X_0</math>, die verdrehte Lage durch <math>X</math> beschreiben. Dann gilt für die Drehung

:<math>R\,X_0 = X.</math>

Ist <math>X_0</math> regulär, dann kann die Drehmatrix einfach durch Rechtsmultiplikation mit <math>X_0^{-1}</math> bestimmt werden:

:<math>R = X\,X_0^{-1}.</math>

Ist <math>X_0</math> nicht regulär, weil zum Beispiel einer der Punkte des Körpers im Ursprung liegt, dann kann die Inverse nicht gebildet werden. Auch die [[Pseudoinverse]] führt hier nicht zum Ziel. Allerdings kann eine [[Singulärwertzerlegung]] durchgeführt werden. Diese liefert für eine Matrix <math>X</math> die [[Unitäre Matrix|unitären]] Matrizen <math>U</math> und <math>V</math> sowie die Diagonalmatrix <math>\Sigma</math> der Singulärwerte:

:<math>\begin{align}
(U,\Sigma, V) & =\text{svd}(X)\\
X & = U\,\Sigma\,V^*
\end{align}</math>

Man kann zeigen, dass die Singulärwerte gegenüber einer Rotation invariant sind. Es gilt also <math>\Sigma =\Sigma_0</math> und damit

:<math>\begin{align}
R\,X_0 & = X\\
R\,U_0\,\Sigma_0\,V_0^* & = U\,\Sigma\,V^*\\
R & = U\,V^*\,V_0\,U_0^*.
\end{align}</math>

== Siehe auch ==
* [[Orthogonaler Tensor]]
* [[Orthogonale Abbildung]]

== Literatur ==
* [[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]]: ''Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger.'' 17. aktualisierte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4 ''(Studium. Grundkurs Mathematik).''
* Karlheinz Goldhorn: ''Moderne mathematische Methoden der Physik.'' Band 2. Springer, Berlin u. a. 2010, ISBN 978-3-642-05184-5 ''(Springer-Lehrbuch).''
* [[Max Koecher]]: ''Lineare Algebra und analytische Geometrie.'' 4. ergänzte und aktualisierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1997, ISBN 3-540-62903-3 ''(Grundwissen Mathematik – Springer-Lehrbuch).''
* [[Florian Scheck]]: ''Theoretische Physik.'' Band 1: ''Mechanik, von den Newtonschen Gesetzen zum deterministischen Chaos.'' 8. Auflage. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-71377-7.
* J. Hanson: ''Rotations in three, four, and five dimensions''. {{arXiv|1103.5263}}.

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=RotationMatrix |title=Rotation Matrix}}

[[Kategorie:Matrix]]
[[Kategorie:Analytische Geometrie]]

Drehmatrix - Versionsgeschichte

imported>Bleckneuhaus: Änderung 266008271 von ~2026-21854-43 rückgängig gemacht; warum vermischst Du aktive mit passiver Drehung? Wenn da was falsch sein sollte, diskutier das bitte erst