2A02:2454:817:F900:6457:1ECF:2F8F:C7AB: Eine stochastische matrix muss quadratisch sein. Ich habe das Wort voran gestellt. Wenn man es in die Bedingungen mit aufnehmen würde, würden die Sätze unnötig kompliziert werden.

2024-11-24T21:53:55Z

Eine stochastische matrix muss quadratisch sein. Ich habe das Wort voran gestellt. Wenn man es in die Bedingungen mit aufnehmen würde, würden die Sätze unnötig kompliziert werden.

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In der [[Mathematik]] bezeichnet eine '''doppelt-stochastische Matrix''' (manchmal auch ''doppelt-stochastische [[Übergangsmatrix]]'') eine quadratische [[Matrix (Mathematik)|Matrix]], deren Zeilen- und Spaltensummen <math>1</math> betragen und deren Elemente zwischen <math>0</math> und <math>1</math> liegen.

== Charakterisierungen ==
Die folgenden Charakterisierungen doppelt-stochastischer Matrizen sind äquivalent:

* Eine quadratische Matrix ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn Zeilen- und Spaltensummen eins betragen und alle Elemente der Matrix zwischen <math>0</math> und <math>1</math> liegen.

* Eine quadratische Matrix <math>M</math> ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn sowohl <math>M</math> als auch die [[transponierte Matrix]] <math>M^T</math> Übergangsmatrizen sind.

* Eine quadratische Matrix ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn Zeilen- und Spaltensummen <math>1</math> betragen und alle Elemente der Matrix nicht negativ sind.

== Eigenwerte und Eigenvektoren ==

Wie alle [[Übergangsmatrix|Übergangsmatrizen]] besitzen auch doppelt-stochastische Matrizen als betragsgrößten Eigenwert den Eigenwert <math>1</math>. Da jede doppelt-stochastische Matrix sowohl zeilen- als auch spaltenstochastisch ist, ist der [[Einsvektor]] <math>\mathbf{1}</math> (welcher nur Einsen als Einträge hat) sowohl Links- als auch Rechtseigenvektor jeder doppelt-stochastischen Matrix. Ist nun die Matrix <math>M</math> doppelt-stochastisch und noch zusätzlich entweder [[Irreduzible Matrix|irreduzibel]] oder echt positiv (vgl. [[Satz von Perron-Frobenius]]), so ist die einzige [[stationäre Verteilung]] der [[Markow-Kette]], die durch <math>M</math> charakterisiert wird, die [[Diskrete Gleichverteilung|Gleichverteilung]], also der [[Wahrscheinlichkeitsvektor]] <math>\tfrac{1}{n}\mathbf{1}</math> (das <math>n</math> bezieht sich auf die Dimension der <math>n\times n</math>-Matrix <math>M</math>).

== Satz von Birkhoff und von Neumann ==
Für eine <math>n \times n</math>-Matrix gilt, dass sie genau dann doppelt-stochastisch ist, wenn sie eine [[Konvexkombination#Spezialfälle|Konvexkombination]] von [[Permutationsmatrix|Permutationsmatrizen]] ist.

Zusatz: Die Permutationsmatrizen sind die [[Extremalpunkt]]e der Menge der doppelt-stochastischen Matrizen.

== Literatur ==

* {{Literatur
|Autor=Joseph P. S. Kung, [[Gian-Carlo Rota]], Catherine H. Yan
|Titel=Combinatorics: The Rota Way
|Verlag=[[Cambridge University Press]]
|Ort=Cambridge (u. a)
|Datum=2009
|ISBN=978-0-521-73794-4}}
* {{Literatur
|Autor=[[Peter Knabner]], [[Wolf Barth (Mathematiker)|Wolf Barth]]
|Titel=Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen
|Reihe=Springer-Lehrbuch
|Verlag=Springer Spektrum
|Ort=Berlin u. a.
|Datum=2013
|ISBN=978-3-642-32185-6}}

== Weblinks ==
* {{PlanetMath|id=BirkhoffVonNeumannTheorem|title=Birkhoff-von Neumann theorem|author=Andrea Ambrosio, Stephen Forrest}}
* {{MathWorld| id=DoublyStochasticMatrix| title=Doubly Stochastic Matrix}}
[[Kategorie:Diskrete Mathematik]]
[[Kategorie:Markow-Prozesse]]

Doppelt-stochastische Matrix - Versionsgeschichte

2A02:2454:817:F900:6457:1ECF:2F8F:C7AB: Eine stochastische matrix muss quadratisch sein. Ich habe das Wort voran gestellt. Wenn man es in die Bedingungen mit aufnehmen würde, würden die Sätze unnötig kompliziert werden.