imported>Orthographus: Komma

2021-02-20T15:29:46Z

Komma

Neue Seite

Die '''Doobsche Maximalungleichung''' ist eine der zentralen [[Ungleichung]]en in der [[Stochastik]]. Neben der [[Burkholder-Ungleichung]] ist sie eine der gängigsten Berechnungsmethoden für die (stochastische) [[Landau-Symbole|Größenordnung]] von (stetigen) [[Martingal]]en. Sie ist nach [[Joseph L. Doob]] benannt und findet sich in der Literatur unter unterschiedlichen Namen (''Doobsche <math>L^p</math>-Ungleichung'',<ref> Klenke: ''Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2013, S. 222. </ref> ''Doobsche Ungleichung(en)'',<ref> Klenke: ''Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2013, S. 484. </ref> ''Doobsche Extremal-Ungleichungen'',<ref> Kusolitsch: ''Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2014, S. 284. </ref> ''Maximale Ungleichung'',<ref> Schmidt: ''Maß- und Wahrscheinlichkeit.'' 2011, S. 430. </ref> ''Doobs Maximal-Ungleichung''<ref> Meintrup, Schäffler: ''Stochastik.'' 2005, S. 327. </ref>) wie auch in leicht unterschiedlichen Formulierungen, die sich durch die Anzahl der angegebenen Ungleichungen und die Voraussetzungen unterscheiden. Die Benennung als <math> L^p </math>-Ungleichung folgt aus der Verwendung der <math> L^p </math>-Norm, die Benennung als "Maximal", da das Supremum der ersten Glieder des Prozesses abgeschätzt wird. Es finden sich auch Unterschiede in der Notation, so werden entweder die <math> L^p </math>-Norm oder der [[Erwartungswert]] zur Formulierung verwendet.

== Diskrete Indexmenge ==
Sei <math> (X_n)_{n \in \N} </math> ein [[stochastischer Prozess]]. Definiere
:<math> X_n^*:= \sup \{X_k \, | \, k \leq n\} </math> und <math> |X|_n^*:= \sup \{ |X_k| \, | \, k \leq n\} </math>

Ist <math> X </math> ein [[Submartingal]], dann gilt für jedes <math> \lambda > 0 </math>
:<math> \lambda P(X_n^* \geq \lambda) \leq \operatorname E (X_n \mathbf 1_{\{X_n^* \geq \lambda\}}) \leq \operatorname E (| X_n | \mathbf 1_{\{X_n^* \geq \lambda\}}) </math>.

Ist <math> X </math> ein [[Martingal]] oder ein positives Submartingal und ist <math> \lambda > 0 </math> sowie <math> p \geq 1 </math>, so gilt
:<math> \lambda^p P(|X|_n^* \geq \lambda) \leq \operatorname E (|X_n|^p) </math>.

Des Weiteren gilt für jedes <math> p > 1 </math> immer
:<math> \operatorname E (|X_n|^p) \leq \operatorname E \left( \left(|X|_n^*\right)^p \right) \leq \left( \frac{p}{p-1}\right)^p \operatorname E (|X_n|^p)</math>

In der Formulierung finden sich diverse Unterschiede. So zählen manche Autoren die erste Ungleichung nicht dazu,<ref> Klenke: ''Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2013, S. 222. </ref> andere formulieren lediglich die erste und die zweite Ungleichung, und diese nur für positive Submartingale<ref> Meintrup, Schäffler: ''Stochastik.'' 2005, S. 327. </ref>, zeigen nur einen Spezialfall für fixes <math> p </math> <ref> Schmidt: ''Maß- und Wahrscheinlichkeit.'' 2011, S. 430. </ref> oder nennen die erste Ungleichung ''Doobsche Extremal-Ungleichung'' und die zweite ''Doobsche <math> L^p </math>-Ungleichung''.<ref> Kusolitsch: ''Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2014, S. 284–286. </ref>

== Stetige Indexmenge ==
Es sei <math>(M_t)_{t \geq 0}\;</math> ein Martingal oder nichtnegatives Submartingal und <math>p > 1</math> und sei <math>(M_t)</math> [[Rechtsstetiger Prozess|rechtsstetig]]. Dann gilt<ref>[[Heinz Bauer (Mathematiker)|Heinz Bauer]]: ''Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 5. Auflage. De-Gruyter-Lehrbuch, Berlin 2002, ISBN 3-11-017236-4, S. 412f</ref> für alle <math>T > 0</math>:

:<math> \|\sup_{t \leq T} |M_t|\,\|_p \leq \frac{p}{p-1} \|M_T\|_p</math>.

Dabei bezeichnet <math>\| \cdot \|_{p}</math> die [[Lp-Raum|Lp-Norm]]. Man beachte, dass <math>q = \tfrac{p}{p-1}</math> die [[Konjugierter Index|konjugierte]] reelle Zahl zu <math>p</math> ist, d. h., es gilt <math>\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1</math>. Entsprechend ist der zentrale Beweisschritt die Anwendung der [[Hölder-Ungleichung]].

== Literatur ==
*{{Literatur|Autor=Achim Klenke|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}}
*{{Literatur|Autor=David Meintrup, Stefan Schäffler|Titel=Stochastik|TitelErg=Theorie und Anwendungen|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg New York|Jahr=2005|ISBN=978-3-540-21676-6|DOI=10.1007/b137972}}
*{{Literatur|Autor=Norbert Kusolitsch|Titel=Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie|TitelErg=Eine Einführung|Auflage=2., überarbeitete und erweiterte|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2014|ISBN=978-3-642-45386-1|DOI=10.1007/978-3-642-45387-8}}
*{{Literatur|Autor=Klaus D. Schmidt|Titel=Maß und Wahrscheinlichkeit|Auflage=2., durchgesehene|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Heidelberg Dordrecht London New York|Jahr=2011|ISBN=978-3-642-21025-9|DOI=10.1007/978-3-642-21026-6}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Ungleichung (Stochastik)]]
[[Kategorie:Martingale und Martingaltheorie]]

Doobsche Maximalungleichung - Versionsgeschichte

imported>Orthographus: Komma