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2024-01-10T13:59:34Z

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Der Satz über die '''Doob-Zerlegung''', benannt nach dem US-amerikanischen Mathematiker [[Joseph L. Doob]], ist in der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] eine Aussage über die Darstellung eines [[Stochastischer Prozess|stochastischen Prozesses]] als [[Martingal]]. Er besagt, dass sich ein stochastischer Prozess in einen Martingalteil <math>M</math> und einen vorhersagbaren Anteil <math>A</math> (auch ''Kompensator'' genannt<ref>{{Literatur |Autor=Jürgen Kremer |Titel=Preise in Finanzmärkten |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Datum=2017 |ISBN=9783662537268 |Seiten=142}}</ref>) zerlegen lässt. <math>A</math> lässt sich als [[Drift (Messtechnik)|Drift]] des Prozesses interpretieren und <math>M</math> als die aufaddierten (unsystematischen) Schwankungen um die Drift.<ref>{{Literatur |Autor=Christoph Kühn |Titel=Vorlesungsskript Stochastische Finanzmathematik |Seiten=27 |Online=https://www.math.uni-frankfurt.de/~ismi/kuehn/stochfinance.pdf}}</ref> Anwendung ist beispielsweise die Darstellung des [[Quadratischer Variationsprozess|quadratischen Variationsprozesses]] in diskreter Zeit.

Das Analogon in stetiger Zeit ist die [[Doob-Meyer-Zerlegung]].
== Aussage ==
Seien <math>(\Omega,\mathcal{A},P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math>\mathcal{F}=(\mathcal{F}_n)_{n\in\N}</math> eine [[Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Filtrierung]]. Jeder an <math>\mathcal{F}</math> [[adaptierter Prozess|adaptierte]] und [[Integrierbarer Prozess|integrierbare stochastische Prozess]] <math>(X_n)_{n\in\N}</math> ist dann darstellbar als <math>X=M+A</math>, wobei <math>M</math> ein Martingal und <math>A</math> [[Vorhersagbarer Prozess|vorhersagbar]] ist, d. h., es gilt: <math>A_{n+1}</math> ist <math>\mathcal{F}_n</math>-[[messbare Funktion|messbar]] für alle <math>n\in\N</math>. Mit der Festsetzung <math>A_0=0</math> ist diese Zerlegung eindeutig. Weiter ist <math>A</math> genau dann [[monoton wachsend]], wenn <math>X</math> ein [[Submartingal]] ist.

== Beweis ==
Definiert man für <math>n\in\N</math>
* <math>M_n:=X_0+\sum_{k=1}^{n}\bigl(X_k-\mathbb{E}[X_k\mid\mathcal{F}_{k-1}]\bigr)</math> und
* <math>A_n:=\sum_{k=1}^{n}\bigl(\mathbb{E}[X_k\mid\mathcal{F}_{k-1}]-X_{k-1}\bigr),</math>
dann gilt <math>X_n=M_n+A_n</math>. Die Martingaleigenschaft von <math>M</math> und Vorhersagbarkeit von <math>A</math> folgen direkt aus der Definition.

Die Eindeutigkeit folgt aus der Tatsache, dass für eine weitere derartige Zerlegung <math>X=M'+A'</math> der Prozess <math>M-M'=A'-A</math> sowohl vorhersagbar als auch ein Martingal ist. Dies ist aber nur möglich, wenn er konstant ist.

Falls <math>X</math> ein Submartingal ist, dann sind alle Summanden von <math>A_n</math> größer oder gleich 0, also ist <math>A</math> ein monoton wachsender Prozess.

== Literatur ==
* J. L. Doob: ''Stochastic Processes.'' Wiley, 1953, ISBN 978-0471218135
* Achim Klenke: ''Wahrscheinlichkeitstheorie.'' Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Stochastischer Prozess]]
[[Kategorie:Satz (Stochastik)]]

Doob-Zerlegung - Versionsgeschichte

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