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2025-08-03T09:59:16Z

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Das '''Doob-Dynkin-Lemma''' ist eine nach den Mathematikern [[Joseph L. Doob]] und [[Eugene Dynkin]] benannte Aussage aus der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]], die eine funktionale Beziehung zwischen zwei [[Zufallsgröße]]n herstellt.

Seien <math>X</math> und <math>Y</math> zwei Abbildungen <math>\Omega \rightarrow \R^n</math>. In Anwendungen ist <math>\Omega</math> in der Regel ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>X</math> und <math>Y</math> sind darauf definierte Zufallsgrößen.
In der Wahrscheinlichkeitstheorie stellt sich die Frage, wann man <math>Y</math> bereits aus <math>X</math> berechnen kann, das heißt, wann es eine [[Messbare Funktion|Borel-messbare]] [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>h\colon \R^n \rightarrow \R^n</math> gibt, so dass <math>Y=h\circ X</math>.

Ist nun <math>\mathcal A</math> eine [[σ-Algebra]] auf <math>\Omega</math> und ist <math>X</math> <math>\mathcal A</math>-messbar, so ergibt sich als [[notwendige Bedingung]] für die Existenz einer messbaren Funktion <math>h\colon \R^n \rightarrow \R^n</math> mit <math>Y=h\circ X</math>, dass auch <math>Y</math> <math>\mathcal A</math>-messbar sein muss, denn die [[Komposition (Mathematik)|Verkettung]] messbarer Funktionen ist wieder messbar. Diese Bedingung ist am stärksten, wenn man <math>\mathcal A</math> so klein wie möglich wählt, das heißt wenn

<math>\mathcal A = \sigma(X) := \{X^{-1}(B);\, B\subset \R^n\, \text{Borelmenge} \}</math>,

die sogenannte von <math>X</math> erzeugte σ-Algebra ist. Dass diese Bedingung dann sogar hinreichend ist, besagt gerade das

'''Doob-Dynkin-Lemma''': Für zwei Abbildungen <math>X,Y\colon \Omega \rightarrow \R^n</math> sind folgende Aussagen äquivalent:
# Es gibt eine Borel-messbare Funktion <math>h\colon \R^n \rightarrow \R^n</math> mit <math>Y = h\circ X</math>.
# <math>Y</math> ist <math>\sigma(X)</math>-messbar.

Dadurch wird verständlich, dass man σ-Algebren als Träger wahrscheinlichkeitstheoretischer Informationen ansieht. Ist <math>Y</math> bezüglich der von <math>X</math> erzeugten σ-Algebra messbar, so kann <math>Y</math> keine Information enthalten, die nicht bereits in <math>X</math> steckt, wie durch die erste Aussage präzisiert wird.

== Quellen ==
* A. Bobrowski: ''Functional analysis for probability and stochastic processes: an introduction'', Cambridge University Press (2005), ISBN 0-521-83166-0
* M. M. Rao, R. J. Swift: ''Probability Theory with Applications'', Mathematics and Its Applications, Band 582, Springer-Verlag (2006), ISBN 0-387-27730-7

[[Kategorie:Satz (Stochastik)]]

Doob-Dynkin-Lemma - Versionsgeschichte

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