imported>Wfstb: /* Kartesische Koordinaten */

2025-06-15T09:07:25Z

Kartesische Koordinaten

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{{Infobox Polyeder
|Name= Dodekaederstumpf
|Bild= Truncateddodecahedron.jpg
|Bildtext= 3D-Ansicht eines abgestumpften Dodekaeders ([[:Datei:Truncateddodecahedron.gif|Animation]])
|Flächen= 32
|Flächentyp= 20 Dreiecke, 12 Zehnecke
|Ecken= 60
|Eckentyp= 60 × {3.8.8}
|Kanten= 90
|Symmetriegruppe= [[Ikosaedergruppe]] (Dodekaedergruppe) <math></math>
|Schläfli= t{5,3}
|Dual= [[Triakisikosaeder]]
|Netz= Dodekaederstumpfnetz.svg
|Netztext= [[Netz (Geometrie)|Körpernetz]] eines abgestumpften Dodekaeders
}}

[[Datei:Truncated dodecahedron wireframe.stl|mini|[[Drahtgittermodell]] eines Dodekaederstumpfs]]
Der '''Dodekaederstumpf''' (auch '''abgestumpftes Dodekaeder''') ist ein [[Polyeder]] ''(Vielflächner),'' das durch Abstumpfung der Ecken eines Pentagon-[[Dodekaeder]]s entsteht und zu den [[Archimedische Körper|archimedischen Körpern]] zählt. Anstatt der 20 Ecken des Dodekaeders befinden sich nun dort ebenso viele gleichseitige [[Dreieck]]e; die zwölf [[Fünfeck]]e des Dodekaeders werden zu regelmäßigen [[Zehneck]]en. Der Dodekaederstumpf besitzt 60 Ecken und 90 Kanten.

Der zum Dodekaederstumpf [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|duale Körper]] ist das [[Triakisikosaeder]].

== Kartesische Koordinaten ==

Die geraden [[Permutation]]en von

<math display="block">
\left(0, \pm \frac{1}{\Phi}, \pm (2 + \Phi) \right), \qquad
\left(\pm \frac{1}{\Phi}, \pm \Phi, \pm 2 \Phi \right), \qquad
\left(\pm \Phi, \pm 2, \pm (\Phi + 1) \right)
</math>

ergeben ein abgestumpftes Dodekaeder mit Mittelpunkt im Ursprung und Kantenlänge <math>2 \Phi - 2</math>. Dabei ist <math>\Phi = \tfrac{1 + \sqrt{5}}{2}</math> das Verhältnis des [[Goldener Schnitt|Goldenen Schnittes]].

== Formeln ==
{| class="wikitable"
|-
!colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Größen eines abgestumpften Dodekaeders mit Kantenlänge ''a''
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Volumen]]'''
| <math>V = \frac{5}{12}\,a^3 \left(99 + 47\sqrt{5} \right) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]'''
| <math>A_O = 5 a^2 \left(\sqrt{3}+6\sqrt{5+2\sqrt{5}} \right) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Umkugel]]radius'''
| <math>R = \frac{a}{4} \sqrt{74 + 30\sqrt{5}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Kantenkugel]]radius'''
| <math>r = \frac{a}{4} \left(5 + 3\sqrt{5} \right) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''1. [[Flächenwinkel]]  ([[Zehneck|Dekagon]]–Dekagon)  ≈ 116° 33′ 54″'''
| <math> \cos \, \alpha_1 = -\frac{1}{5} \sqrt{5} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''2. Flächenwinkel  (Dekagon–[[Dreieck|Trigon]])  ≈ 142° 37′ 21″'''
| <math> \cos \, \alpha_2= -\sqrt{\frac{5 + 2\sqrt{5}}{15}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''3D-Kantenwinkel  (Dekagon–Trigon)  ≈ 159° 5′ 41″'''
| <math> \cos \, \beta = -\frac{\sqrt{3}}{6} \left(1+\sqrt{5}\right) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Ecken[[raumwinkel]]  ≈ 1,2323 π'''
| <math> \Omega = 2 \pi - \arccos \left(-\frac{1}{3} \sqrt{5}\right) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|''' [[Sphärizität (Geologie)|Sphärizität]]  ≈ 0,92601'''
| <math> \Psi = \frac{\sqrt [3] {100\,\pi \left(10\,423 + 4\,653 \sqrt{5}\right)}} {10 \left(\sqrt{3} + 6 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}\right)} </math>
|}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Truncated dodecahedron|Dodekaederstumpf}}
{{Wiktionary}}
* {{MathWorld|TruncatedDodecahedron|Dodekaederstumpf}}
* [https://www.mathematische-basteleien.de/dodekaederstumpf.htm Mathematische Basteleien: Abgestumpftes Dodekaeder]

{{Navigationsleiste Archimedische Körper}}

[[Kategorie:Archimedischer Körper]]

Dodekaederstumpf - Versionsgeschichte

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