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2023-12-20T13:30:54Z

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[[Datei:Dodekaederstern.png|mini|Dodekaederstern (12 Spitzen)]]

Der '''Dodekaederstern''', auch '''Kleines Sterndodekaeder''' genannt, ist ein reguläres [[Polyeder]] und einer der vier [[Kepler-Poinsot-Körper]]. Er wird von 12 regelmäßigen [[Pentagramm]]en begrenzt, die 60 [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenklige Dreiecke]] bilden. Der [[Sternkörper]] zeichnet sich durch die Gleichheit sämtlicher Flächenwinkel – sowohl innen als auch außen – von 116,57° aus.

== Eigenschaften ==
Werden sämtliche 30 Kanten eines [[Dodekaeder|Dodekaeders]]<ref name="dode">Die Kantenlänge des einbeschriebenen Dodekaeders sei mit ''a'' bezeichnet.</ref> über seine Ecken hinaus verlängert, bis sich jeweils 5 von ihnen in einem Punkt schneiden, so entsteht ein Dodekaederstern, den man sich als Dodekaeder mit 12 aufgesetzten [[Pyramide (Geometrie)|Pyramiden]] vorstellen kann. Die Zacken des Dodekaedersterns bilden die 12 Eckpunkte eines regelmäßigen [[Ikosaeder]]s.

Der Dodekaederstern ist der umschriebene Körper von 12 sich gegenseitig schneidenden [[Pentagramm]]en, die [[koinzident]] mit den Begrenzungsflächen eines Dodekaeders sind. Im Inneren des Dodekaedersterns befinden sich 20 gleichseitige Dreiecke, Schnittflächen, deren Seitenlänge gleich der der Pentagrammdiagonale ist, und die ein [[Großes Ikosaeder]] aufspannen.

* Die Oberflächen von Dodekaeder- und [[Ikosaederstern]] sind gleich, wobei letzterer das kleinere Volumen einschließt.
* [[Pentakisdodekaeder]] und Dodekaederstern sind [[Topologie (Mathematik)|topologisch]] gleichwertig.
Der Dodekaederstern ist dual zum [[Großes Dodekaeder|Großen Dodekaeder]]. Jede [[Ecke]] des Dodekaedersterns ist einem [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßigen]] [[Fünfeck]] des Großen Dodekaeders zugeordnet, und jede Ecke des Großen Dodekaeders gehört zu einem regelmäßigen [[Pentagramm]] des Dodekaedersterns.

== Formeln ==
[[Datei:Dodekaedersternnetz.svg|mini|[[Netz (Geometrie)|Körpernetz]] eines Dodekaedersterns]]
{| class="wikitable"
! colspan="2" style="background:#C0C0FF" |Größen eines Dodekaedersterns mit Kantenlänge ''a''
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Volumen]]'''
|<math>V = \frac{5}{4} \cdot a^3 \cdot (5 \cdot \sqrt{5} - 11) </math> <math>\approx 0{,}225 \cdot a^3</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]'''
|<math>A_O = 15 \cdot a^2 \cdot \sqrt{85 - 38 \cdot \sqrt{5}}</math> <math>\approx 2{,}573 \cdot a^2</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Länge der Schenkel'''
'''der [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenkligen Dreiecke]]'''
|<math>s = \frac{a}{2} \cdot (3 - \sqrt{5})</math> <math>\approx 0{,}382 \cdot a</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Länge der Basis'''
'''der [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenkligen Dreiecke]]'''
|<math>b = a \cdot (\sqrt{5} - 2)</math> <math>\approx 0{,}236 \cdot a</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Umkugel|Umkugelradius]]'''
|<math>r_u = \frac{a}{4} \cdot \sqrt{10 - 2 \cdot \sqrt{5}}</math> <math>\approx 0{,}588 \cdot a</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Kantenkugel|Kantenkugelradius]]'''
|<math>r_k = \frac{a}{4} \cdot (\sqrt{5} - 1)</math> <math>\approx 0{,}309 \cdot a</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Inkugel|Inkugelradius]]'''
|<math>r_i = \frac{a}{20} \cdot \sqrt{50 - 10 \cdot \sqrt{5}}</math> <math>\approx 0{,}262 \cdot a</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''[[Höhe (Geometrie)|Höhe]] der <nowiki/>[[Pyramide (Geometrie)|Pyramiden]]'''
|<math>k = \frac{a}{5} \cdot \sqrt{25 - 10 \cdot \sqrt{5}} </math> <math>\approx 0{,}325 \cdot a</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Verhältnis von Volumen zu Umkugelvolumen'''
|<math>\frac{V}{V_{UK}} = \frac{3}{2 \cdot \pi} \cdot \sqrt{130 - 58 \cdot \sqrt{5}}</math> <math>\approx 0{,}265</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Innenwinkel des'''
'''regelmäßige [[Pentagramm|Pentagramms]]'''
|<math> \alpha = 36^\circ</math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" |'''Winkel zwischen benachbarten Flächen'''
|<math>\beta = \arccos \left( -\frac{\sqrt{5}}{5}\right) \approx 116^\circ\; 33^\prime \; 54^{\prime\prime}</math>
|}

== Zusammenhang mit anderen Polyedern ==
[[Datei:Small stellated dodecahedron truncations.gif|mini|Durch Abstumpfen entsteht der abgestumpfte Dodekaederstern, der von außen wie ein Dodekaeder aussieht, das Dodekadodekaeder und schließlich das [[Großes Dodekaeder|Große Dodekaeder]].]]Die [[konvexe Hülle]] ist das [[Ikosaeder]]. Es hat auch gemeinsame Kanten mit dem [[Großes Ikosaeder|Großen Ikosaeder]]. Es gibt vier verwandte [[Polyeder]], die durch Abstumpfen entstehen.

Das [[Dualität (Mathematik)|duale]] Polyeder ist das [[Großes Dodekaeder|Große Dodekaeder]]. Das Dodekadodekaeder ist eine Rektifikation, wobei Kanten bis zu [[Punkt (Geometrie)|Punkten]] abgestumpft werden. Der abgestumpfte Dodekaederstern kann als ein degeneriertes reguläres Polyeder angesehen werden, weil seine Ecken und Kanten übereinstimmen, aber es ist für die Vollständigkeit enthalten. Die Oberfläche sieht aus wie ein normales [[Dodekaeder]], aber es hat 24 [[Seitenfläche|Seitenflächen]], die paarweise übereinstimmen. Die Spitzen werden abgeschnitten, bis sie die Ebene des [[Pentagramm|Pentagramms]] unter ihnen erreichen. Die 24 Seitenflächen sind 12 [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßige]] [[Fünfeck|Fünfecke]] von den abgestumpften Ecken und 12 Fünfecke, die die Form von doppelt gewundenen Fünfecken annehmen, die die ersten 12 Fünfecke überlappen. Diese werden gebildet, indem die ursprünglichen Pentagramme abgestumpft werden.

== Skulpturen in Form eines Dodekaedersterns ==
[[Datei:Universiteit Twente Mesa Plus Escher Object.jpg|mini|Skulptur eines Dodekaedersterns nach einer Zeichnung von [[M. C. Escher]]]]
[[Datei:Oskar-Morgenstern-Platz 1 Dodekaederstern Fahnen Inst Mathematik DSC 9834w.jpg|mini|Skulptur ''Dodekaederstern'', in Wien IX., in Anspielung an den Platznamen und die [[Morgenstern (Waffe)|Waffe Morgenstern]]]]

Auf dem Gelände der [[Universität Twente]] in [[Enschede]] (Niederlande) befindet sich eine Metallskulptur eines Dodekaedersterns, die nach einer Zeichnung von [[M. C. Escher]] geschaffen wurde.

Anlässlich der Adaptierung des früher von der [[Pensionsversicherungsanstalt]] genutzten Gebäudes am Oskar-Morgenstern-Platz 1 in [[Wien-Alsergrund]] für die Fakultäten der Mathematik und der Wirtschaftswissenschaften der [[Universität Wien]], wurde die Skulptur ''Dodekaederstern'' angebracht. Die Oberfläche stellt die Lösung einer Gleichung in 3 Dimensionen dar und ähnelt mit seinen 20 gekurvten Spitzen einem Dodekaeder-Antistern.<ref>[http://www.dodekaederstern.cc/ dodekaederstern.cc]</ref> Nach einer Idee und dem Entwurf von [[Herwig Hauser]] von der Fakultät für Mathematik wurden die zwanzig Einzelteile der Sternskulptur aus [[Glasfaserverstärkter Kunststoff|Glasfaserverbundwerkstoff (GFK)]] gefertigt. Die einzelnen Segmente der selbsttragenden GFK-Struktur sind über Flansche miteinander verschraubt. Die Zugseile für die Aufhängung sind mit einem innenliegenden Stahlgerüst verbunden.

== Anmerkungen ==
<references />

== Weblinks ==
* {{MathWorld|SmallStellatedDodecahedron|Dodekaederstern}}
* [http://www.keplerstern.de/Geometr__Ordnung/Der_Dodekaederstern/der_dodekaederstern.html Keplers Dodekaederstern – ''Der Igel'']
* Alexandra Fritz: [http://homepage.univie.ac.at/herwig.hauser/Publications/diplom_fritz.pdf Platonic stars – Construction of algebraic curves and surfaces with prescribed symmetries and singularities] Diplomarbeit, Universität Innsbruck, 11. Dezember 2009. (Englisch)

{{Navigationsleiste Kepler-Poinsot-Körper}}

[[Kategorie:Sternkörper]]

Dodekaederstern - Versionsgeschichte

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