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2025-04-28T18:24:01Z

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Ein '''distributiver Verband''' ist eine spezielle [[Struktur (erste Stufe)|Struktur]] der [[Mathematik]]. Gegenüber allgemeinen [[Verband (Mathematik)|Verbänden]], in denen für die beiden (zweistelligen) Operationen <math>\vee </math> und <math>\wedge </math> nur die [[Assoziativgesetz]]e, die [[Kommutativgesetz]]e und die [[ Absorptionsgesetz (Verbandstheorie)|Absorptionsgesetze]] gefordert werden, gelten in einem distributiven Verband noch zusätzlich [[Distributivgesetz]]e ''für beide Richtungen''.

Die Gültigkeit der Distributivgesetze macht Verbände interessanter. Sie lassen sich einfacher untersuchen, da auftretende Terme sich leichter umformen lassen und es in gewissem Sinne einfache Darstellungen gibt. Dabei treten distributive Verbände sehr häufig auf, auch in Bereichen außerhalb der Mathematik. [[Boolesche Algebra|Boolesche Algebren]] sind spezielle distributive Verbände.

== Präzisierung ==
Im Folgenden meinen wir mit dem Verband ''V'' stets den Verband <math>\left(V, \vee,\wedge\right)</math>.

Ein Verband <math>V</math> heißt '''distributiver Verband''', wenn für alle <math>a,b,c\in V</math> gilt:
* <math>a\vee(b\wedge c) = (a\vee b)\wedge(a\vee c) </math>
* <math>a\wedge(b\vee c) = (a\wedge b)\vee (a\wedge c) </math>.
Man kann jede der beiden Aussagen aus der anderen mit Hilfe der Verbandsaxiome ableiten.<ref name="AequivalenzD1D2" /> Daher genügt es, die Gültigkeit eines dieser beiden Distributivgesetze zu fordern.

Jeder distributive Verband ist [[Modularer Verband|modular]], aber nicht umgekehrt.

Ein modularer Verband, der nicht distributiv ist, enthält immer den Verband <math>M_3</math>, den Verband der Untergruppen der [[Kleinsche Vierergruppe|Kleinschen Vierergruppe]], als Unterverband.<ref>Der Beweis (mit mehreren Zwischenschritten) findet sich z. B. in: H. Gericke, Theorie der Verbände, Mannheim, ²1967, S. 111</ref>
Dies ergibt das Kriterium:
* Hat ein Verband weder einen Unterverband der Form <math>N_5</math> noch einen der Form <math>M_3</math>, dann ist er distributiv.

== Beispiele ==
Distributive Verbände kann man in vielen Gebieten innerhalb und außerhalb der Mathematik finden. Distributive Verbände sind:
* jede [[Ordnungsrelation|total geordnete]] Menge
* für jede natürliche Zahl <math>n</math> die Menge <math>T_n</math> ihrer [[Teilbarkeit|Teiler]] mit der Teilbarkeit als Ordnungsrelation (also [[ggT]] und [[kgV]] als Verknüpfungen)
* <math>\N</math> (mit oder ohne 0) mit der Teilbarkeit als Ordnungsrelation (also [[ggT]] und [[kgV]] als Verknüpfungen)
* jeder [[Mengenverband]] mit <math>\cap</math> und <math>\cup</math>
* jede [[Heyting-Algebra]], daher auch
** jede [[Boolesche Algebra]]
** die [[offene Menge|offenen Mengen]] eines [[Topologischer Raum|topologischen Raumes]] mit <math>\subseteq</math> als Ordnung

{{Mehrere Bilder
| align = left
| Richtung = horizontal
| Kopfzeile = Beispiele für distributive Verbände
| Bild1 = Hasse diagram of powerset of 3.svg
| Untertitel1 = Verband der Teilmengen von <math>\{x,y,z\}</math> durch Teilmengenrelation geordnet
| Breite1 = {{#expr: (150 * 429 / 325) round 0}}
| Bild2 = Lattice of the divisibility of 60.svg
| Untertitel2 = Verband der Teiler von 60, mit [[ggT]] und [[kgV]]
| Breite2 = {{#expr: (150 * 313 / 250) round 0}}
| Bild3 = N-Quadrat, gedreht.svg
| Untertitel3 = <math>\N_0 \times \N_0</math> mit der Produkt-Ordnung
| Breite3 = {{#expr: (150 * 260 / 200) round 0}}
}}
{{Mehrere Bilder
| align = right
| Richtung = horizontal
| Kopfzeile = nicht-distributive Verbände
| Bild1 = N 5 mit Beschriftung.svg
| Untertitel1 = <math>N_5</math>, der minimale nicht-modulare Verband
| Breite1 = 150
| Bild2 = M_3_mit_Beschriftung.svg
| Untertitel2 = <math>M_3</math>, der minimale modulare, nicht-distributive Verband: <math>a\wedge (b \vee c) = a</math>, aber <math>(a\wedge b)\vee(a\wedge c) = 0</math>
| Breite2 = 150
}}

{{Absatz}}

== Kürzungsregel ==
In einem distributiven Verband gilt die Kürzungsregel:
Gelten für <math>a, b, c \in V </math> die ''beiden'' Gleichungen
* aus <math>a \wedge b = a \wedge c </math> und <math>a \vee b = a \vee c</math> folgt <math>b = c</math>.<ref>Auch dies wird mit einer einfachen Folge von Gleichungen bewiesen, in der das Absorptionsgesetz, das Distributivgesetz und die Voraussetzungen verwendet werden:
<math>b = b \vee (a \wedge b) = b \vee (a \wedge c) = (b \vee a) \wedge (b \vee c)</math><math> = (a \vee c) \wedge (b \vee c)</math><math> = (a\wedge b) \vee c = (a \wedge c) \vee a = c</math>; nach H. Gericke, Theorie der Verbände, ²1967, S. 114</ref>

Das Beispiel <math>M_3</math> zeigt, dass diese Regel in beliebigen Verbänden nicht gilt.
Sie ist in dem folgenden Sinn typisch für distributive Verbände:
* Ist die Kürzungsregel für beliebige Wahl von <math>a,b,c</math> in einem Verband V gültig, dann ist <math>V</math> distributiv.<ref>Die Beweisidee ist, dass in <math>N_5</math> und <math>M_3</math> jeweils die Kürzungsregel nicht gilt. Vgl. H. Gericke, Theorie der Verbände, ²1967, S. 113f</ref>

== Komplemente in distributiven Verbänden ==
{{Hauptartikel|Komplement (Verbandstheorie)}}
Für ein gegebenes Element a eines beschränkten Verbandes nennt man ein Element b mit der Eigenschaft
* <math>a \wedge b = 0</math> und <math>a \vee b = 1</math>
ein Komplement von a.

Während es im Allgemeinen zu einem Element ''mehrere'' komplementäre Elemente geben kann, gilt:
* wenn in einem distributiven Verband ein Komplement von ''a'' existiert, dann ist es eindeutig bestimmt.<ref>Dies folgt unmittelbar aus der Kürzungsregel</ref>

Man bezeichnet ein ''eindeutig bestimmtes'' Komplement von <math>a</math> mit <math>a^c</math> oder <math>\neg a</math> (vor allem bei Anwendungen in der Logik) oder <math>\overline a</math>.

Ein distributiver Verband, in dem jedes Element <math>a</math> ein (eindeutig bestimmtes) Komplement <math>\neg a</math> hat, heißt '''Boolesche Algebra'''.
{{Siehe auch|Boolesche Algebra}}

Auch in einem nicht-distributiven Verband kann jedes Element genau ein Komplement haben. Damit man die Distributivität folgern kann, muss man mehr fordern:
* Ein Verband <math>V </math> ist distributiv, wenn ''jedes'' Element in ''jedem'' Intervall ''höchstens ein'' [[Komplement (Verbandstheorie)#Relative Komplemente|relatives Komplement]] besitzt.

Ist ''V'' ein distributiver Verband und haben <math>a,b \in V </math> Komplemente, dann haben auch <math>a \wedge b</math> und <math>a \vee b</math> Komplemente und es gilt
* <math>(a \wedge b)^c = a^c \vee b^c</math> und <math>(a \vee b)^c = a^c \wedge b^c</math>
Dies ist eine andere Formulierung der [[De Morgansche Gesetze|de Morganschen Regeln]].
{{Absatz}}

== Repräsentationssatz für distributive Verbände ==
[[Datei:Birkhoff120.svg|mini|<math>T_{60}</math>, der Verband der Teiler von 60 (geordnet durch Teilbarkeit) und die ''Repräsentation'' durch den Mengenverband der (irreduziblen) Primzahlpotenz-Elemente]]
Distributive Verbände sind auch anders zu charakterisieren, denn [[Garrett Birkhoff|Birkhoff]] (1933) und [[Marshall Harvey Stone|Stone]] (1936) haben gezeigt:
* Ein Verband ist genau dann distributiv, wenn er isomorph zu einem Mengen-Ring ist.<ref>G.Grätzer, ''Lattice Theory'', 1971, S. 75</ref>

Hieraus folgt natürlich, dass sich jeder distributive Verband in eine Boolesche Algebra einbetten lässt.
{{Absatz}}

== Weitere Eigenschaften ==
Jeder Unterverband eines distributiven Verbandes ist distributiv, dagegen sind ''Teilverbände'' nicht immer distributiv.

Das [[Verband (Mathematik)#Homomorphismen|homomorphe Bild]] eines distributiven Verbandes ist distributiv.

Das [[Direktes Produkt|direkte Produkt]] beliebig vieler distributiver Verbände ist distributiv.

== Vollständige Distributivität ==
[[Datei:Nat num x 2+.svg|mini|Vollständiger distributiver Verband, der <math>\wedge</math>-volldistributiv, aber nicht volldistributiv ist.
Es gilt <math>\bigvee_{i \in \N} \left(B \wedge A_i\right) = A_5</math>, aber <math>B \wedge \bigvee_{i\in \N} A = B</math>]]
Ein Verband heißt <math>\wedge</math>-volldistributiv, wenn für jede Wahl von <math>a \in V</math> und jede Teilmenge <math>M \subseteq V</math> gilt
: <math>a \wedge \bigvee_{x \in M} x = \bigvee_{x \in M}(a \wedge x)</math>.
<math>\vee</math>-Volldistributivität wird dual definiert.

Der Begriff '''Volldistributivität''' ohne Zusatz wird unterschiedlich verwendet:
* Es kann bedeuten, dass eine von diesen beiden Bedingungen erfüllt ist und im anderen Fall spricht man von dual-volldistributiv oder verwendet explizit die obige Bezeichnung.<ref>So z. B. H. Gericke, Theorie der Verbände, ²1967, S. 114</ref>
* Es kann bedeuten, dass beide Bedingungen erfüllt sind.
* Es kann bedeuten, dass das folgende unendliche Distributivgesetz und die dazu duale Form gilt
:: Für alle <math>\emptyset \ne I, J \subseteq V</math> gilt: <math>\bigwedge\left\{\bigvee\left\{a_{ij}| j \in J\right\}|i \in I\right\} =\bigvee \left\{\bigwedge \left\{a_{i\varphi(i)}|i \in I\right\}|\varphi \colon I \to J\right\}</math> <ref>Diese Form wurde aus G. Grätzer, Lattice Theory, p 118, Exercise 7 übernommen.</ref>

Für alle drei Begriffe gilt:

Jeder volldistributive Verband ist distributiv und jeder endliche distributive Verband ist volldistributiv.<ref>H. Gericke, Theorie der Verbände, Mannheim, ²1967, S. 114 f.</ref>

Ein vollständiger distributiver Verband braucht nicht volldistributiv sein, wie das Beispiel zeigt.<ref>Der Verband ohne die 1 ist als Produkt von <math>\N \times \{0,1\}</math> distributiv. Dass der ganze Verband vollständig und distributiv ist, sieht man leicht. Das Beispiel findet sich (mit etwas anderem Hasse-Diagramm) in H. Gericke, Theorie der Verbände, Mannheim, ²1967, S. 115</ref>

{{Absatz}}

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references>
<ref name="AequivalenzD1D2">
Der Beweis ist eine Gleichungsumformung. Wir nehmen an, dass D2 gilt, und wollen D1 zeigen: 
<math> (a \vee b) \wedge (a \vee c) </math>; Anwendung des zweiten Axioms: 
<math>= ((a \vee b) \wedge a) \vee ((a \vee b) \wedge c)</math>; nach Absoptionsgesetz: 
<math>= a \vee ((a \vee b) \wedge c)</math>; Anwendung des zweiten Axioms in Klammer: 
<math>= a \vee ((a \wedge c) \vee (b \wedge c)) </math>; nach Assoziativgesetz: 
<math>= (a \vee (a \wedge c)) \vee (b \wedge c) </math>; die linke Seite entspricht nach dem Absorptionsgesetz <math>a</math>: 
<math>= a \vee (b \wedge c) </math>. 
Die Gegenrichtung folgt dual.
</ref>
</references>

== Literatur ==
* {{Literatur| Autor= [[Garrett Birkhoff]]| Titel= Lattice Theory| Auflage= 3.| Verlag= AMS| Ort= Providence, RI| Jahr= 1973| ISBN= 0-8218-1025-1}}
* {{Literatur| Autor= Marcel Erné| Titel= Einführung in die Ordnungstheorie| Verlag= Bibliographisches Institut| Ort= Mannheim| Jahr= 1982| ISBN= 3-411-01638-8}}
* {{Literatur| Autor= George Grätzer| Titel= General Lattice Theory| Auflage= 2.| Verlag= Birkhäuser| Jahr= 1998| ISBN= 978-0817652395}}
* {{Literatur| Autor= [[Hans Hermes]]| Titel= Einführung in die Verbandstheorie| Auflage= 2.| Verlag= Springer| Ort= Berlin/Heidelberg| Jahr= 1967}}

[[Kategorie:Verband (Mathematik)]]
[[Kategorie:Ordnungstheorie]]
[[Kategorie:Verbandstheorie]]

Distributiver Verband - Versionsgeschichte

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