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2025-07-22T08:36:36Z

Distanzfunktion zu einer Menge

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{{Dieser Artikel|behandelt die Distanzfunktion in der Mathematik. Für das gleichnamige Konzept in der Volkswirtschaftslehre siehe [[Distanzfunktion (Mikroökonomik)]].}}
'''Distanzfunktionen''' sind bestimmte [[Reelle Zahl|reellwertige]] Abbildungen [[Metrischer Raum|metrischer Räume]], die die Eigenschaften der zugrunde liegenden Metrik auf einstellige Funktionen übertragen.
Das Konzept von ''Distanzfunktionen'' wurde 2011 von Chazal, Cohen-Steiner und Mérigot eingeführt und besitzt unter anderem Anwendungsmöglichkeiten in der geometrischen und der stochastischen [[Maßtheorie]] sowie im [[Data-Mining]].<ref>Frédéric Chazal, David Cohen-Steiner, Quentin Mérigot: ''Geometric Inference for Probability Measures.'' In: ''Foundations of Computational Mathematics.'' Bd. 11, Nr. 6, 2011, {{ISSN|1615-3375}}, S. 733–751, {{doi|10.1007/s10208-011-9098-0}}, {{Webarchiv|url=http://cgl.uni-jena.de/pub/Publications/WebHome/CGL-TR-20.pdf |wayback=20131219022242 |text=Webarchiv (PDF; 628 kB)}}.</ref>

== Definition ==
Sei <math>(X;d_X)</math> ein nicht-leerer metrischer Raum, dessen Metrik ohne Beschränkung der Allgemeinheit durch eine [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|.\|_X</math> induziert sei (vgl. [[Satz von Kunugui]]).

Eine ''Distanzfunktion'' auf <math>X</math> ist nun eine Abbildung <math>d\colon X \to \R_0^+</math> (die also keine negativen Werte annimmt), mit den folgenden drei Eigenschaften:

#Die Funktion selbst ist 1-[[Lipschitz-stetig]]: Für je zwei Punkte <math>x;y \in X</math> gilt also <math>|d(x)-d(y)| \le \|x-y\|_X</math>
#Das Quadrat der Funktion ist 1-semikonkav: Dies ist äquivalent dazu, dass <math>x \mapsto d(x)^2-\|x\|^2_X</math> eine [[Konvexe und konkave Funktionen#Definition|konkave Funktion]] ist.
#Die Funktion divergiert, wann immer die Norm es tut: Für jedes [[Netz (Topologie)|Netz]] <math>(x_i)_{i \in I}</math> in <math>X</math> mit <math>\|x_i\|_X \to \infty</math> gilt auch <math>d(x_i) \to \infty</math>.

== Pseudo-Distanzfunktion ==
Streng genommen genügt es bereits, die zweite und dritte Eigenschaft der obigen Definition zu fordern, da aus der 1-Semikonkavität des Quadrates einer Funktion bereits die 1-Lipschitz-Stetigkeit der ursprünglichen Abbildung folgt.<ref>Frédéric Chazal, David Cohen-Steiner, Quentin Mérigot: ''Geometric Inference for Probability Measures.'' In: ''Foundations of Computational Mathematics.'' Bd. 11, Nr. 6, 2011, {{ISSN|1615-3375}}, S. 733–751, Proposition 3.1, {{doi|10.1007/s10208-011-9098-0}}, {{Webarchiv|url=http://cgl.uni-jena.de/pub/Publications/WebHome/CGL-TR-20.pdf |wayback=20131219022242 |text=Webarchiv (PDF; 628 kB)}}.</ref>
Allerdings ist die erste Eigenschaft anschaulich genau das, was eine Funktion distanzartig macht:
Es lässt sich leicht nachrechnen, dass <math>d</math> genau dann 1-Lipschitz-stetig ist, wenn sie mit der Metrik <math>d_X</math> verträglich ist, wenn also für je zwei Elemente <math>x;y \in X</math> stets <math>d(x) \le d(y) + d_X(x;y)</math> gilt.

In abschwächender Sprechweise wird eine Funktion <math>d\colon X \to \R_0^+</math> daher auch ''Pseudo-Distanzfunktion'' genannt, wenn sie 1-Lipschitz-stetig ist und mit der Norm divergiert.

== Distanzfunktion zu einer Menge ==
Der Prototyp einer Distanzfunktion ist der Abstand zu einer [[Kompakter Raum|kompakten Teilmenge]] <math>K \subseteq X</math>, der durch <math>d_K(x) = \inf_{k \in K} \| x-k \|_X</math> erklärt wird.<ref name=section3>Frédéric Chazal, David Cohen-Steiner, Quentin Mérigot: ''Geometric Inference for Probability Measures.'' In: ''Foundations of Computational Mathematics.'' Bd. 11, Nr. 6, 2011, {{ISSN|1615-3375}}, S. 733–751, Section 3, {{doi|10.1007/s10208-011-9098-0}}, {{Webarchiv|url=http://cgl.uni-jena.de/pub/Publications/WebHome/CGL-TR-20.pdf |wayback=20131219022242 |text=Webarchiv (PDF; 628 kB)}}.</ref>
Die Kompaktheit bewirkt hier, dass das [[Infimum]] stets für mindestens einen Punkt aus <math>K</math> tatsächlich angenommen wird.
Die 1-Lipschitz-Stetigkeit folgt dann aus der Dreiecksungleichung.

== Distanzfunktion zu einem Maß ==
Sei nun <math>X</math> zusätzlich mit einem [[Maß (Mathematik)|Maß]] <math>\mu</math> versehen und <math>0 \le m < \mu(X)</math> eine reelle Zahl, so lässt sich zeigen, dass durch
:<math>\delta_{\mu;m} (x) = \inf \{r>0 | \mu(\overline{B}_r(x))>m \}</math>
eine Pseudo-Distanzfunktion erklärt ist, wobei <math>\overline{B}_r(x) = \{y \in X | d_X(x;y) \le r \}</math> die [[Abgeschlossene Menge#Abgeschlossene Kugel|abgeschlossene Kugel]] um <math>x</math> mit [[Radius]] <math>r</math> bezeichne.<ref name=section3/>

Für jede reelle Zahl <math>0 < m_0 < \mu(X)</math> heiße nun die Abbildung
:<math>d_{\mu;m_0} \colon X \to \R_0^+;\ x \mapsto \sqrt{ \frac{1}{m_0} \int_0^{m_0} \delta_{\mu;m}(x)^2\ \mathrm{d}m }</math>
die Distanzfunktion zum Maß <math>\mu</math> mit Parameter <math>m_0</math>.

== Differenzierbarkeit ==
Nach dem [[Satz von Rademacher]] sind (Pseudo-)Distanzfunktionen [[fast überall]] [[Metrisches Differential#Definition|metrisch differenzierbar]], da sie Lipschitz-stetig sind.

Ist speziell <math>X = \R^n</math> [[Euklidischer Raum|euklidisch]], dann folgt aus dem Satz von [[Alexander Danilowitsch Alexandrow|Alexandrow]] mit der Semikonkavität des Quadrates auch die zweifache [[Differenzierbarkeit#Totale Differenzierbarkeit|(totale) Differenzierbarkeit]] von Distanzfunktionen fast überall.

Dies ermöglicht eine eingehende Untersuchung von Distanzfunktionen und den zugrunde liegenden Räumen durch die Betrachtung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] vergleichbar mit der [[Morsetheorie]] in der [[Differentialtopologie]].<ref>[[Karsten Grove]]: ''Critical Point Theory for Distance Functions.'' In: ''Proceedings of Symposia in Pure Mathematics.'' Bd. 54, Nr. 3, 1993, {{ISSN|0082-0717}}, S. 357–385, (Grove gebraucht hier den Begriff ''distance function'' im Sinne obiger Definition, ohne jedoch die umfassende Theorie von Chazal et al. vorwegzunehmen.).</ref>

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Maßtheorie]]
[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

Distanzfunktion - Versionsgeschichte

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