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Ein '''Disphenoid''' (auch '''gleichschenkliges Tetraeder'''<ref>{{MathWorld|title=Isosceles Tetrahedron|id=IsoscelesTetrahedron}}</ref>) ist ein [[Polyeder]] mit vier [[deckungsgleich|kongruenten]] Dreiecken als [[Seitenfläche]]n. Ein Disphenoid besteht aus zwei Sphenoiden (zu {{grcS|σφήν}} „Keil“), das sind offene [[Kristallform|Formen]] mit je zwei Flächen ([[Dieder]]).<br />
<br />
Der Begriff „gleichschenkliges Tetraeder“ bedarf einer Erklärung: Ein Disphenoid ist ein [[Tetraeder]] im allgemeinen Wortsinn, nicht notwendigerweise ein Tetraeder im Sinne des [[Platonischer Körper|gleichnamigen platonischen Körpers]]. Das Adjektiv „gleichschenklig“ bezieht sich nicht auf seine Dreiecksflächen, sondern auf die Eigenschaft des Körpers, dass von seinen sechs Kanten die jeweils einander gegenüberliegenden die gleiche Länge haben.<br />
<br />
== Charakterisierungssätze ==<br />
Nach dem Satz von Bang<ref>Ross Honsberger: ''Mathematische Juwelen.'' Verlag Vieweg, 1982, ISBN 3-528-08475-8, S. 82.</ref> ist ein Disphenoid ein dreidimensionales [[Simplex (Mathematik)|Simplex]] mit einer der folgenden äquivalenten Charakterisierungen:<br />
<br />
* Die jeweils gegenüberliegenden (unverbundenen) Kanten haben die gleiche Länge.<br />
* Die 4 Dreiecke sind kongruent.<br />
* Die 4 Dreiecke haben denselben Umfang.<br />
* Die 4 Dreiecke haben dieselbe Fläche.<br />
<br />
Ein anderer Charakterisierungssatz ist der folgende:<br />
: Ein Tetraeder ist genau dann ein Disphenoid, wenn die [[Inkugel]] und die [[Umkugel]] [[konzentrisch]] sind.<ref name="lit">{{Literatur |Autor=N. Altshiller-Court |Titel=Modern Pure Solid Geometry |Datum=1964 |Seiten=105–108}}</ref><br />
<br />
In voller Allgemeinheit gilt sogar folgender Charakterisierungssatz:<br />
: Ein Tetraeder ist genau dann gleichschenklig, wenn von den vier Punkten:<br />
:: – [[Mittelpunkt]] der [[Inkugel]]<br />
:: – [[Mittelpunkt]] der [[Umkugel]]<br />
:: – [[Monge-Punkt]]<br />
:: – [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkt]]<br />
: mindestens zwei zusammenfallen. In diesem Falle fallen sogar alle vier Punkte zusammen.<ref name="lit" /><br />
<br />
'''Bemerkung:'''<br /><br />
Die Dreiecke haben alle dieselbe [[Orientierung (Mathematik)|Orientierung]].<br />
<br />
{{Anker|tetragonales Disphenoid}}<br />
<br />
== Spezialfälle ==<br />
<br />
Ist eines der Dreiecke (und damit alle) [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenklig]], so spricht man von einem '''tetragonalen Disphenoid'''. Dann sind 4 Kanten des Disphenoids gleich lang und die übrigen 2 stehen [[windschief]] senkrecht aufeinander.<br />
<br />
Sind die Dreieckseiten verschieden, so wird das Disphenoid '''rhombisch''' genannt.<br />
<br />
(Diese Begriffsbildungen stammen aus der [[Kristallographie]].)<br />
<br />
Ist ein Dreieck (und damit jedes) [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitig]], dann ist das Disphenoid ein [[Tetraeder#Regelmäßiges Tetraeder|regelmäßiges Tetraeder]].<br />
<br />
== Berechnung eines beliebigen Disphenoids ==<br />
Ein Disphenoid ist durch eines der 4 kongruenten Dreiecke bestimmt. Da ein [[Dreieck#Berechnung eines beliebigen Dreiecks|Dreieck]] durch 3 voneinander unabhängige Angaben zur Größe seiner Seiten und/oder Winkel bestimmt ist, ist ein Disphenoid ebenfalls durch 3 voneinander unabhängige Angaben bestimmt.<br />
<br />
== Beispiele ==<br />
<br />
Disphenoide kommen in der Natur als Kristallform vor: Sie sind die allgemeine Flächenform der [[Kristallklasse]]n 222 (rhombisch-disphenoidische) und ''{{Overline|4}}'' (tetragonal-disphenoidische Klasse).<br />
<br />
<gallery perrow="4"><br />
Diedre.png|[[Dieder]] (Sphenoid)<br />
Rhombic disphenoid.png|[[Orthorhombisches Kristallsystem|rhombisches]] Disphenoid mit drei ungleichen Achsen A, B, C<br />
Disphenoide tetragonal.png|[[Tetragonales Kristallsystem|tetragonales]] Disphenoid<br />
Tetraeder.svg|Spezialfall: reguläres [[Tetraeder]] mit sechs gleichen (= gleich langen) Kanten<br />
</gallery><br />
<br />
== Weblinks ==<br />
{{commonscat|Disphenoids}}<br />
<br />
== Literatur ==<br />
* {{Literatur<br />
|Autor=Nathan Altshiller-Court<br />
|Titel=Modern Pure Solid Geometry<br />
|Auflage=2.<br />
|Verlag=Chelsea Publishing Company<br />
|Ort=Bronx, NY<br />
|Datum=1964<br />
|ISBN=0-8284-0147-0}}<br />
*Adolf Schmidt, ''[https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN599415665_0029 Das gleichseitige Tetraeder]'', Zeitschrift für Mathematik und Physik XXIX, S. 321–343. Teubner, Leipzig (1884).<br />
<br />
== Einzelnachweise ==<br />
<references /><br />
<br />
[[Kategorie:Polyeder]]<br />
[[Kategorie:Kristallographie]]</div>imported>Antonsusi