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2025-11-24T18:10:52Z

Plasmonen (Kollektive Schwingungen in einem Plasma)

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In der [[Physik]] beschreibt die '''Dispersionsrelation''' (lat. dispergere ‚verteilen', ‚ausbreiten', ‚zerstreuen') den Zusammenhang zwischen dem ''Ablauf'' eines physikalischen Prozesses ([[Frequenz]], [[Energie]]) und den ''Eigenschaften'' der ihn beschreibenden Größen ([[Wellenzahl]], [[Brechungsindex]], [[Ausbreitungsgeschwindigkeit]], [[Impuls (Physik)|Impuls]]).

Mathematisch ist die Dispersionsrelation die Beziehung zwischen der [[Kreisfrequenz]] <math>\omega</math> und der [[Kreiswellenzahl]] <math>k</math>. Sie wird aus der linearen [[Wellengleichung]] durch eine [[Fouriertransformation]] in Raum und Zeit gewonnen und hat die Form<ref>{{Literatur |Autor=Kip S. Thorne, Roger D. Blandford|Titel=Modern Classical Physics - Optics, Fluids, Plasmas, Elasticity, Relativity, and Statistical Physics |Auflage=1. |Verlag=Princeton University Press |Ort= Princeton |Datum= 2017 |ISBN=0691159025 |Seiten= 353}}</ref>

:<math>\omega = \Omega(k)</math>.

Im einfachsten Fall sind Kreisfrequenz und Kreiswellenzahl stets proportional<ref>{{Literatur |Autor=Kip S. Thorne, Roger D. Blandford|Titel=Modern Classical Physics - Optics, Fluids, Plasmas, Elasticity, Relativity, and Statistical Physics |Auflage=1. |Verlag=Princeton University Press |Ort= Princeton |Datum= 2017 |ISBN=0691159025 |Seiten= 352}}</ref>

:<math>\omega = v_\text{Phase} \cdot k </math>,

mit der konstanten [[Phasengeschwindigkeit]] <math>v_\text{Phase} = \frac{\omega}{k}</math>. In diesem Fall gibt es ''keine'' [[Dispersion (Physik)|Dispersion]].

Die Geschwindigkeit eines [[Wellenpaket]]s ist dagegen die [[Gruppengeschwindigkeit]] <math>v_\text{Gruppe} = \frac{\mathrm{d}\Omega}{\mathrm{d}k}</math> oder im dreidimensionalen Fall<ref>{{Literatur |Autor=Kip S. Thorne, Roger D. Blandford|Titel=Modern Classical Physics - Optics, Fluids, Plasmas, Elasticity, Relativity, and Statistical Physics |Auflage=1. |Verlag=Princeton University Press |Ort= Princeton |Datum= 2017 |ISBN=0691159025 |Seiten= 355}}</ref> <math>{\vec v}_\text{Gruppe} = \frac{\mathrm{d}\Omega}{\mathrm{d}{\vec k}} </math>.

Ein Wellenpaket besteht aus Wellen verschiedener Frequenzen, die unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten haben können. Daher läuft ein Wellenpaket im Allgemeinen auseinander. Wellenpakete, die aufgrund nichtlinearer Effekte trotz Dispersion ''nicht'' auseinanderlaufen, werden als [[Soliton]]en bezeichnet<ref>{{Literatur |Autor=David J. Barber, R. Loudon |Titel=An Introduction to the Properties of Condensed Matter |Auflage=1. |Verlag=Cambridge University Press |Ort= Cambridge |Datum= 1989 |ISBN=978-0-521-26907-0 |Seiten=217}}</ref>.

== Optik ==
[[Datei:1D Photonic Crystal.png|mini|[[Bandstruktur]] eines eindimensionalen [[Photonischer Kristall|photonischen Kristalls]]. Die Dispersionsrelation <math>\omega(k_\mathrm z)</math> lässt sich direkt an der Steigung der Bänder ablesen]]
Die Dispersionsrelation der [[Optik]] als Ausbreitung [[Elektromagnetische Welle|elektromagnetischer Wellen]] in [[Nichtleiter|nichtleitenden]] Medien<ref>{{Literatur |Autor=John David Jackson|Titel=Klassische Elektrodynamik |Auflage=5. |Verlag=de Gruyter |Ort=Berlin |Datum= 1981 |ISBN=3-11-008074-5 |Seiten= 342}}</ref> lautet:
:<math>\omega = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}\, k = \Omega(k) </math>

mit der [[Permittivität]] <math>\varepsilon</math> und der [[magnetische Permeabilität|Permeabilität]] <math>\mu</math>. Die Phasengeschwindigkeit von [[Licht]] in einem [[Ausbreitungsmedium|Medium]] beträgt
:<math> v_\text{Phase} = \frac{\omega}{k} = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}} = \frac{c}{n(\omega)} = c_\text{M} </math>

mit der der [[Vakuumlichtgeschwindigkeit]] <math> c</math>. Der ([[Komplexe Zahl|komplexe]]) [[Brechungsindex]] <math> n </math> tritt in Abhängigkeit der Kreisfrequenz <math>\omega</math> auf:

:<math>n(\omega) = \sqrt{\frac{\mu}{\mu_0}\,\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}} \quad\text{und } c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} </math>
mit der [[Elektrische Feldkonstante| elektrischen Feldkonstante]] <math>\varepsilon_0</math> und der [[Magnetische Feldkonstante|magnetischen Feldkonstante]] <math>\mu_0</math>. Die Gruppengeschwindigkeit<ref>{{Literatur |Autor=John David Jackson|Titel=Klassische Elektrodynamik |Auflage=5. |Verlag=de Gruyter |Ort=Berlin |Datum= 1981 |ISBN=3-11-008074-5 |Seiten= 376}}</ref>

:<math> v_\text{Gruppe} = \frac{\mathrm{d}\Omega}{\mathrm{d}k} = \frac{c}{n(\omega)+\omega \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\omega}}</math>

kann je nach Vorzeichen von <math>{\textstyle\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\omega}}</math> deutlich von der Phasengeschwindigkeit abweichen. Normale Dispersion liegt für <math>{\textstyle\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\omega}}>0</math> vor und [[Dispersion (Physik)#Anomale Dispersion|anomale Dispersion]] für <math>{\textstyle\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}\omega}}<0</math>.

== Teilchenphysik und Materiewellen ==
Da die Frequenz immer in Zusammenhang mit der Energie steht

:<math>\omega = \frac{E}{\hbar}</math>

und die [[Wellenzahl]] (bzw. der [[Wellenvektor]]) mit dem [[Impuls]]<ref>{{Literatur |Autor= Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë |Titel=Quantum Mechanics, Volume 1 : Basic Concepts, Tools, and Applications. |Auflage=|Verlag=John Wiley & Sons |Ort= Kassel |Datum= 2021 |ISBN=0-471-16432-1 |Seiten=11}}</ref> <math>p</math>

:<math>\vec k = \frac{\vec p}{\hbar},</math>

bezeichnet man die Energie-Impuls-Beziehungen der [[Teilchenphysik]] auch als Dispersionsrelation (oder Dispersionsbeziehung) der [[Materiewelle]], z. B. bei [[freies Teilchen|freien]] [[Elektron]]en im nicht-[[Spezielle Relativitätstheorie|relativistischen]] Grenzfall:

:<math>\begin{align}
&& E &= \frac{p^2}{2m}\\
\Rightarrow &&\hbar \, \omega &= \frac{\hbar^2 k^2}{2m}\\
\Leftrightarrow &&\omega &= \frac{\hbar}{2m}k^2= \Omega(k),
\end{align}
</math>

wobei <math>\hbar</math> die [[reduzierte Planck-Konstante]] und <math>m</math> die [[Masse (Physik)|Masse]] des Teilchens bezeichnet<ref>{{Literatur |Autor= Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë |Titel=Quantum Mechanics, Volume 1 : Basic Concepts, Tools, and Applications. |Auflage=|Verlag=John Wiley & Sons |Ort= Kassel |Datum= 2021 |ISBN=0-471-16432-1 |Seiten=22}}</ref>. Die Phasengeschwindigkeit der Materiewelle eines freien Teilchens beträgt<ref>{{Literatur |Autor= Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë |Titel=Quantum Mechanics, Volume 1 : Basic Concepts, Tools, and Applications. |Auflage=|Verlag=John Wiley & Sons |Ort= Kassel |Datum= 2021 |ISBN=0-471-16432-1 |Seiten=29}}</ref>

:<math> v_\text{Phase} =\frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{2m} </math>

und die Gruppengeschwindigkeit<ref>{{Literatur |Autor= Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë |Titel=Quantum Mechanics, Volume 1 : Basic Concepts, Tools, and Applications. |Auflage=|Verlag=John Wiley & Sons |Ort= Kassel |Datum= 2021 |ISBN=0-471-16432-1 |Seiten=30}}</ref>:
:<math> v_\text{Gruppe} = \frac{\mathrm{d}\Omega}{\mathrm{d}k} = \frac{\hbar k}{m}=2\cdot v_\text{Phase}</math>

Das Ergebnis erlaubt die klassische Beschreibung des freien Teilchens mit einer minimalen Ortsunschärfe <math>\Delta x</math> mit der Geschwindigkeit <math>v_\text{Gruppe} =v=p/m</math> in den Fällen, in denen mit der Impulsunschärfe <math>\Delta p=h\Delta v_\text{Gruppe}</math> aus der [[Heisenbergsche Unschärferelation]] <math>\Delta x\cdot\Delta p\ge h</math> folgt, dass <math>\Delta x\ge h/m\Delta v_\text{Gruppe}</math> ist<ref>{{Literatur | Autor=Werner Heisenberg| Titel=Physikalische Prinzipien der Quantentheorie - | Auflage= | Verlag=B. I.-Wissenschaftsverlag | Ort= Mannheim | Jahr= 1958 | ISBN=3-411-00001-5 | Seiten=10}}</ref>.

== Festkörperphysik ==
In der [[Festkörperphysik]] wird die Dispersion als Zusammenhang zwischen Energie bzw. Kreisfrequenz und Wellenzahl eines [[Teilchen]]s oder [[Quasiteilchen]]s angegeben. In [[Festkörper]]n wird dabei einerseits den [[Phonon]]en (Gitterschwingungen des [[Atomgitter]]s) eine [[Phonon#Dispersion|Phononen-Dispersionsrelation]] zugeordnet<ref>{{Literatur |Autor= Neil W. Ashcroft, N. David Mermin |Titel= Solid State Physics - |Auflage=1. |Verlag=Holt, Rinehart and Winston |Ort= Philadelphia |Datum= 1976 |ISBN= 0-03-049346-3 |Seiten= 432}}</ref>, andererseits kann den Elektronen eine Elektronen-Dispersionsrelation zugeordnet werden, die mit Hilfe der [[Bandstruktur]] beschrieben wird<ref>{{Literatur |Autor= Neil W. Ashcroft, N. David Mermin |Titel= Solid State Physics - |Auflage=1. |Verlag=Holt, Rinehart and Winston |Ort= Philadelphia |Datum= 1976 |ISBN= 0-03-049346-3 |Seiten= 140}}</ref><ref>{{Literatur |Autor= Neil W. Ashcroft, N. David Mermin |Titel= Solid State Physics - |Auflage=1. |Verlag=Holt, Rinehart and Winston |Ort= Philadelphia |Datum= 1976 |ISBN= 0-03-049346-3 |Seiten= 158}}</ref>.

== Beispiele von Dispersionsrelationen ==
=== Elektronen im Festkörper (Bandstruktur) ===
In einem Kristall mit periodischer Gitterstruktur kann die Dispersionsrelation für Elektronen durch eine Bandstruktur beschrieben werden<ref>{{Literatur |Autor= Neil W. Ashcroft, N. David Mermin |Titel= Solid State Physics - |Auflage=1. |Verlag=Holt, Rinehart and Winston |Ort= Philadelphia |Datum= 1976 |ISBN= 0-03-049346-3 |Seiten= 214}}</ref>:

:<math>E(\mathbf{k}) = E_0 + \frac{\hbar^2 k^2}{2m^*} = \hbar\omega \quad \text{bzw. } \omega = \omega_0 + \frac{\hbar k^2}{2m^*} </math>
wobei <math> m^* </math> die [[effektive Masse]] des Elektrons ist.

=== Plasmonen (Kollektive Schwingungen in einem Plasma) ===
Für [[Plasmonen]] als longitudinale Plasmaschwingungen ist die Dispersionsrelation<ref>{{Literatur |Autor= Frank S. jr., Crawford |Titel=Berkeley Physik Kurs 3 - Schwingungen und Wellen |Auflage=1. |Verlag=Vieweg + Teubner |Ort=Braunschweig |Datum= 1974 |ISBN=978-3-322-90778-3 |Seiten=53}}</ref>:

:<math> \omega = \sqrt{\omega_p^2 + c^2 k^2 } </math>

wobei <math> c </math> die Lichtgeschwindigkeit und <math> \omega_p=\sqrt{4\pi n_e e^2/m_e} </math> die ''[[Plasmafrequenz]]'' ist, gebildet aus der [[Elektronendichte]] <math>n_e</math>, der [[Elektronenladung]] <math>e</math> und der Elektronenmasse <math>m_e</math>.

=== Schwerewellen auf einem Meer endlicher Tiefe ===
Für Meereswellen als [[Schwerewellen]] lautet die Dispersionsrelation nach<ref>{{Literatur |Autor=David J. Barber, R. Loudon |Titel=An Introduction to the Properties of Condensed Matter |Auflage=1. |Verlag=Cambridge University Press |Ort= Cambridge |Datum= 1989 |ISBN=978-0-521-26907-0 |Seiten=216}}</ref>

:<math> \omega = \Omega(k) = \sqrt{gk \tanh(kh)}\qquad\text{mit }\tanh(kh) = \frac{1}{2} \frac{\text{e}^{kh}-\text{e}^{-kh}}{\text{e}^{kh}+\text{e}^{-kh}}</math>

mit der [[Schwerebeschleunigung]] <math>g</math> und der Wassertiefe <math>h</math>. Die Funktion

=== Tiefwasserwellen ===
Für Tiefwasserwellen gilt <math>kh\gg1</math> und damit <math>\tanh (kh)\approx1</math>. Für diese Wellen nähert sich die Dispersionsrelation zu<ref name="Kuhlmann145">{{Literatur |Autor= Hendrik C. Kuhlmann |Titel=Strömungsmechanik - |Auflage= |Verlag=Pearson Studium|Ort= München |Datum= 2007 |ISBN= 978-3-827-37230-7 |Seiten= 145}}</ref>
:<math>\omega = \sqrt{gk}</math>
mit der Schwerebeschleunigung <math>g</math> und der Wellenzahl <math>k</math>.

=== Seichtwasserwellen ===
Für Seichtwasserwellen der Tiefe <math>h</math> gilt <math>kh \ll 1</math> und damit <math>\tanh (kh) \approx (kh)</math>. Für diese Oberflächenwellen beträgt die Dispersionsrelation<ref name="Kuhlmann145"/>
:<math>\omega = \sqrt{gk\tanh (kh)}\approx\sqrt{gk\, kh} = \sqrt{gh}\,k</math>
mit der Schwerebeschleunigung <math>g</math> und der Wellenzahl <math>k</math>. Damit sind sowohl die Phasengeschwindigkeit <math>v_\Omega</math> und die Gruppengeschwindigkeit <math>v_g</math> konstant:
:<math>v_\Omega = \frac{\omega}{k} = \sqrt{gh}\quad\text{und}\quad v_g = \frac{\text{d}\omega}{\text{d}k} = \sqrt{gh} </math>
Im Gegensatz zu Sturmwellen, bei denen die Wasserschichten ab einer Tiefe von etwa 200 m unbewegt bleiben, wird bei einem [[Tsunami]] das gesamte Wasservolumen vom Meeresboden bis zur Oberfläche in Bewegung gesetzt. Auf dem offenen Meer können Tsunamis Wellenlängen von 100 bis 300 km erreichen, in seltenen Fällen sogar bis zu 500 km. Die Wellenzahlen <math>k = 2\pi/\lambda</math> reichen dabei von <math>\text{6,3}\cdot10^{-5}\text{ m}^{-1}</math> bis <math>10^{-5}\text{ m}^{-1}</math>. Selbst in Ozeanen mit einer Tiefe von etwa <math>h = 5.000\,\text{m}</math> ist das Produkt <math>kh</math> maximal <math>kh\sim\text{0,3}<1</math>. Tsunamis sind also vom Verhalten her Seichtwasserwellen, die Geschwindigkeiten von
:<math>v_g = \frac{\text{d}\omega}{\text{d}k} = \sqrt{gh} = \sqrt{\text{9,81}\cdot 5.000}\,\text{m/s} = 220\,\text{m/s} = 800\,\text{km/h}.</math>
erreichen – fast die Geschwindigkeit eines Jumbo-Jets!

=== Schwerewellen unter dem Einfluss von Oberflächenspannung ===
Berücksichtigt man bei den Meereswellen zusätzlich die [[Kapillarwelle]]n, so erweitert sich die Dispersionsrelation zu<ref>{{Literatur |Autor= Hendrik C. Kuhlmann |Titel=Strömungsmechanik - |Auflage= |Verlag=Pearson Studium|Ort= München |Datum= 2007 |ISBN= 978-3-827-37230-7 |Seiten= 147}}</ref>

:<math>\omega = \Omega(k) = \sqrt{gk+\frac{\sigma k^3}{\rho}}</math>

Dabei ist <math> \sigma </math> die [[Oberflächenspannung]] und <math> \rho </math> die [[Dichte]] des Wassers.

=== Schwerewellen unter dem Einfluss von Oberflächenspannung und Tiefe ===
Betrachtet man Meereswellen als Schwerewellen unter dem Einfluss von Oberflächenspannung und Tiefe, so ergänzt sich die Dispersionsrelation zu<ref>{{Literatur |Autor= Hendrik C. Kuhlmann |Titel=Strömungsmechanik - |Auflage= |Verlag=Pearson Studium|Ort= München |Datum= 2007 |ISBN= 978-3-827-37230-7 |Seiten= 148}}</ref>

:<math> \omega = \sqrt{\left(gk+\frac{\sigma k^3}{\rho}\right)\tanh (kh)}</math>

Dabei ist <math> \sigma </math> die Oberflächenspannung und <math> \rho </math> die Dichte des Wassers.

=== Elastische Wellen in isotropen Medien ===
In isotropen Festkörpern existieren zwei Arten von elastischen Wellen mit ihren entsprechenden Dispersionsrelationen:
* [[Longitudinalwelle]]n (P-Wellen)<ref>{{Literatur |Autor=Kip S. Thorne, Roger D. Blandford|Titel=Modern Classical Physics - Optics, Fluids, Plasmas, Elasticity, Relativity, and Statistical Physics |Auflage=1. |Verlag=Princeton University Press |Ort= Princeton |Datum= 2017 |ISBN=0691159025 |Seiten= 637}}</ref>:

:<math> \omega = c_L k, \quad c_L = \sqrt{\frac{\lambda + 2\mu}{\rho}}=\sqrt{\frac{K + \frac{4}{3}\mu}{\rho}}</math>

* [[Transversalwelle]]n (S-Wellen)<ref>{{Literatur |Autor=Kip S. Thorne, Roger D. Blandford|Titel=Modern Classical Physics - Optics, Fluids, Plasmas, Elasticity, Relativity, and Statistical Physics |Auflage=1. |Verlag=Princeton University Press |Ort= Princeton |Datum= 2017 |ISBN=0691159025 |Seiten= 639}}</ref>:
:<math> \omega = c_T k, \quad c_T = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}}</math>

Hierbei sind <math>\lambda</math> und <math>\mu</math> die [[Lamé-Konstanten]] und <math>K=\lambda+{\textstyle{\frac{2}{3}}}\mu</math> der [[Kompressionsmodul]].

=== Biegewellen in Stäben ===
Für Schwingungen transversal in Richtung <math>x</math> für [[Biegewelle]]n, die sich in einem dünnen Stab in Richtung <math>z</math> ausbreiten, gilt<ref>{{Literatur |Autor= L. D. Landau, E. M. Lifschitz |Titel= Lehrbuch der theoretischen Physik, Band 7, Elastizitätstheorie - |Auflage=4. |Verlag=Akademie Verlag |Ort=Berlin |Datum= 1975 |ISBN= |Seiten= 127}}</ref>:

:<math> \omega = \beta\ k^2, \quad \text{mit} \quad \beta = \sqrt{\frac{E I_y}{\rho A}} </math>

wobei:
: <math>E</math> der [[Elastizitätsmodul]] ist,
: <math>I_y</math> das axiale [[Flächenträgheitsmoment]] ist,
: <math>A</math> die Querschnittsfläche ist.
Die Frequenz oder Dispersionsrelation ist also proportional zum Quadrat des Wellenvektors. In einem unbegrenzten Medium hängt sie linear vom Wellenvektor ab.

=== Querwellen in Drähten (Saiten) ===
Die Dispersionsrelation für Torsionswellen in einem zylindrischen Stab lautet<ref>{{Literatur |Autor=Anton Hammer, Hildegard Hammer, Karl Hammer |Titel=Taschenbuch der Physik |Auflage=9. |Verlag=Lindauer |Ort=München |Datum= 2004 |ISBN=3-87488-094-X |Seiten= 83}}</ref>:

:<math> \omega = k \sqrt{\frac{\sigma}{\rho}} </math>

wobei <math>\sigma</math> die Spannung des Drahtes ist.

=== Torsionsschwingungen eines Stabes ===
Torsionswellen in einem zylindrischen Stab folgen der Dispersionsrelation<ref>{{Literatur |Autor= L. D. Landau, E. M. Lifschitz |Titel= Lehrbuch der theoretischen Physik, Band 7, Elastizitätstheorie - |Auflage=4. |Verlag=Akademie Verlag |Ort=Berlin |Datum= 1975 |ISBN= |Seiten= 130}}</ref>:

:<math> \omega = k \sqrt{\frac{G}{\rho}}= k \sqrt{\frac{\mu}{\rho}} </math>

wobei <math>G</math> der [[Schubmodul]] ist, bzw. <math>\mu</math> die zweite [[Lamé-Konstante]].

=== Hörbare Schallwellen ===
Hörbare Schallwellen sind ein weiteres Beispiel für dispersionsfreie Wellen, da die Dispersionsrelation linear vom Wellenvektor abhängt<ref>{{Literatur |Autor= Frank S. jr., Crawford |Titel=Berkeley Physik Kurs 3 - Schwingungen und Wellen |Auflage=1. |Verlag=Vieweg + Teubner |Ort=Braunschweig |Datum= 1974 |ISBN=978-3-322-90778-3 |Seiten=160}}</ref>:

:<math> \omega = k \sqrt{\gamma\frac{p}{\rho}} </math>

bei einem Gasdruck <math>p</math> mit der Dichte <math>\rho</math> und dem [[Adiabatenexponent]] <math>\gamma</math>.

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=[[Dieter Meschede]]|Titel=Optik, Licht und Laser|Verlag=Springer-Verlag|Jahr=2015|ISBN=3663109542|Seiten=29f}}
* {{Literatur |Titel=Dispersionsrelation |Hrsg=Ulrich Kilian u. Christine Weber|Sammelwerk=Lexikon der Physik |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Datum=2003 |ISBN=978-3-860-25296-3 |Online=https://www.spektrum.de/lexikon/physik/dispersionsrelation/3190}}
* {{Literatur |Titel=Dispersionsrelation |Hrsg=[[Harry Paul (Physiker)|Harry Paul]] |Sammelwerk=Lexikon der Optik |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Datum=1999 |ISBN=978-3-827-40382-7 |Online=https://www.spektrum.de/lexikon/optik/dispersionsrelation/663}}

== Einzelnachweise ==
<references responsive />
[[Kategorie:Wellenlehre]]
[[Kategorie:Optik]]
[[Kategorie:Teilchenphysik]]

Dispersionsrelation - Versionsgeschichte

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