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2025-07-18T15:35:31Z

Rayleighsche Beziehung

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[[Datei:Prism-rainbow.svg|mini|Dispersion im Prisma erzeugt ein Farbspektrum]]
Unter '''Dispersion''' (von {{laS|dispergere}}, „ausbreiten, zerstreuen“) versteht man in der Physik die Abhängigkeit einer [[Physikalische Größe|physikalischen Größe]] von der [[Frequenz]] einer [[Welle]].

In der [[Optik]] ist dies speziell die Abhängigkeit der [[Lichtgeschwindigkeit#Ausbreitungsgeschwindigkeit in einem Medium|Ausbreitungsgeschwindigkeit]] von der Frequenz des Lichts. Die Variation der Ausbreitungsgeschwindigkeit hat zur Folge, dass Licht verschiedener Wellenlänge an den Flächen eines [[Prisma (Optik)|Prismas]] unterschiedlich stark [[Brechung (Physik)|gebrochen]] wird. Auf der anderen Seite des Prismas zeigt sich deshalb ein farbiges [[Lichtspektrum|Spektrum]].

Der Zusammenhang zwischen der [[Kreisfrequenz]] (oder den [[Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)|Energiequanten]]) einer [[Harmonische Schwingung|harmonischen]] Welle und dem [[Wellenvektor]] wird [[Dispersionsrelation]] genannt. Insbesondere in der Quantentheorie ist das der Energie-Impuls-Zusammenhang des [[Teilchen]]s.

== Rayleighsche Beziehung ==
Bei einem [[Wellenpaket]] ist zwischen der [[Gruppengeschwindigkeit]] <math>v_\mathrm{g}</math> und der [[Phasengeschwindigkeit]] <math>v_\mathrm{p}</math> zu unterscheiden.
Der Zusammenhang zwischen den beiden Geschwindigkeiten ist durch die Rayleighsche Beziehung

:<math>v_\mathrm{g} = v_\mathrm{p} - \lambda \frac{\mathrm{\partial}v_\mathrm{p}}{\mathrm{\partial}\lambda}</math>

gegeben.

Die Rayleighsche Beziehung ist unabhängig von der Art der Welle, sie gilt für optische (allgemein [[Elektromagnetische Welle|elektromagnetische]]) Wellen und elastische Wellen (z. B. [[Schall]]wellen) als auch [[Materiewelle]]n.<ref name ="LexPhys">[https://www.spektrum.de/lexikon/physik/gruppengeschwindigkeit/6187} ''Dispersion''] In: Lexikon der Physik</ref>

Bei dispersionsfreier Wellenausbreitung sind <math>v_\mathrm{g}</math> und <math>v_\mathrm{p}</math> gleich; in einem ''dispergierenden Medium'' hingegen teilt sich ein Wellenpaket, das eine Überlagerung monofrequenter Wellen darstellt, in seine Komponenten, die sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ausbreiten. Bei monochromatischen Wellen kommt es folglich zu keiner Dispersion.<ref name ="LexPhys"/>

== Normale und anomale Dispersion {{Anker|Anomale Dispersion}} {{Anker|Normale Dispersion}} ==
[[Datei:Komplexe Brechzahl von Siliciumdioxid 300 K.svg|mini|hochkant=1.5|[[Brechungsindex]] von [[Kieselglas|Quarzglas]] in Abhängigkeit von der Wellenlänge (UV-C bis nahes [[Infrarot]])]]
[[Datei:Glasdispersion.svg|mini|hochkant=1.5|Einflüsse der Zugabe ausgewählter Glasbestandteile auf die optische Dispersion eines speziellen Basisglases.<ref>[http://glassproperties.com/dispersion/ Glassproperties.com ''Calculation of the Mean Dispersion of Glasses''] (in englischer Sprache).</ref>]]
Bei den meisten transparenten Stoffen steigt im sichtbaren Bereich der [[Brechungsindex]] <math>n</math> mit der [[Frequenz]] <math>f</math> an, Glas bricht blaues Licht stärker als rotes. Man spricht von '''normaler Dispersion'''. Eine positive Ableitung des Brechungsindex nach der Frequenz der Welle (<math>\text{d}n / \text{d} f \,>\, 0</math>) ist gleichbedeutend mit einer negativen Ableitung nach der [[Wellenlänge]] <math>\lambda</math> (<math>\text{d}n / \text{d}\lambda \,<\, 0</math>). Hierbei gilt <math>n = \tfrac{c}{v(\lambda)}</math>, mit der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum <math>c</math> und der Phasengeschwindigkeit <math>v(\lambda)</math>.

Fällt dagegen der Brechungsindex mit steigender Frequenz, so liegt eine '''anomale Dispersion''' vor. Entdeckt wurde sie bei einer alkoholischen [[Fuchsin]]-Lösung von [[Christian Christiansen (Physiker)|Christian Christiansen]] im Jahr 1870. Der Effekt ist keine spezielle Eigenschaft dieses Farbstoffs, vielmehr tritt er immer in Wellenlängenbereichen nahe einer starken [[Absorption (Physik)|Absorption]] auf. Ganz allgemein verknüpft die [[Kramers-Kronig-Relation]] den Verlauf des Brechungsindex mit dem der Absorption.

== Quantitative Beschreibung ==
Eine einfache Kennzahl für die Dispersion eines isotropen, transparenten Mediums ist die [[Abbe-Zahl]]. Die [[Sellmeier-Gleichung]] dagegen versucht, den empirisch ermittelten Verlauf des Brechungsindex <math>n</math> über die [[Wellenlänge]] <math>\lambda</math> genau wiederzugeben. Daneben existiert noch eine einfachere Beschreibung durch die [[Cauchy-Gleichung]].
Darüber hinaus gibt es noch zahlreiche weitere Dispersionsformeln<ref>{{Literatur|Autor=Frank-Thomas Lentes|Hrsg=Hans Bach, Norbert Neuroth |Titel=Refractive Index and Dispersion|Sammelwerk=The Properties of Optical Glass |Verlag=Springer |Datum=1995 |ISBN=3-540-58357-2 |Seiten=19–27|Online=https://books.google.de/books?id=J0RX1mbhzAEC&pg=PA19}}</ref>, z. B.:
* Helmholtz-Ketteler-Drude-Dispersionsformel
* Schottsche Dispersionsformeln,
* Geffckensche Dispersionsformel<ref name= "Lentes-26"> {{Literatur|Autor=Frank-Thomas Lentes|Hrsg=Hans Bach, Norbert Neuroth |Titel=Refractive Index and Dispersion|Sammelwerk=The Properties of Optical Glass |Verlag=Springer |Datum=1995 |ISBN=3-540-58357-2 |Seiten=26|Online=https://books.google.de/books?id=J0RX1mbhzAEC&pg=PA26}}</ref>,
* Buchdahlsche Dispersionsformel<ref name= "Lentes-27"> {{Literatur|Autor=Frank-Thomas Lentes|Hrsg=Hans Bach, Norbert Neuroth |Titel=Refractive Index and Dispersion|Sammelwerk=The Properties of Optical Glass |Verlag=Springer |Datum=1995 |ISBN=3-540-58357-2 |Seiten=27|Online=https://books.google.de/books?id=J0RX1mbhzAEC&pg=PA27}}</ref>,
* Kettlersche Dispersionsformel,
* Kramers-Heisenbergsche Dispersionsformel,
* Breit-Wignersche Dispersionsformel,
* Hartmannsche Dispersionsformel<ref>{{Literatur |Autor=Rainer Dohlus |Titel=Photonik: Physikalisch-technische Grundlagen der Lichtquellen, der Optik und des Lasers |Verlag=Oldenbourg Verlag |Datum=2010 |ISBN=978-3-486-58880-4 |Seiten=277}}</ref>,
* Herzbergsche Dispersionsformel (für den visuellen Bereich<ref>{{Literatur |Autor=Max Herzberger |Titel=Colour Correction in Optical Systems and a New Dispersion Formula |Sammelwerk=Journal of Modern Optics |Band=6 |Nummer=3 |Datum=1959 |Seiten=197–215|Online=https://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/713826287
}}</ref>) oder
* als Polynomformel: <math> n^2(\lambda) = \sum_{i=1}^{6}A_i \lambda^{4-2i} </math>

== Auswirkungen ==
Die Dispersion der [[Phasengeschwindigkeit]] bestimmt die Dispersion der [[Gruppengeschwindigkeit]].

=== Dispersion der Phasengeschwindigkeit ===
* Ein [[Prisma (Optik)|Prisma]] zerlegt Licht in sein Farbspektrum.
* Abbildungen mittels [[Linse (Optik)|Linsen]] zeigen [[Chromatische Aberration|unerwünschte Farbränder]], die durch Kombination von Linsen aus [[Optisches Glas|optischen Gläsern]] unterschiedlicher Dispersion korrigiert werden können (siehe [[Achromat]] und [[Apochromat]]).
* Auch magnetische Linsen etwa eines [[Transmissionselektronenmikroskop|Elektronenmikroskops]] zeigen Dispersion in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit der Elektronen. Gegenmaßnahmen sind eine schmale Energieverteilung der Elektronen, aus [[Feldemission|Feld-]] statt [[Glühemission]], eine hohe Beschleunigungsspannung und eine kleine [[Apertur]].

=== Dispersion der Gruppengeschwindigkeit ===
* [[Wellenpaket|Lichtimpulse]] in [[Glasfaser]]n, welche beispielsweise in der optischen Datenübertragung eingesetzt werden, erfahren auf Grund der Dispersion der Gruppengeschwindigkeit eine [[Halbwertsbreite#Peakverbreiterung|Verbreiterung]] während der Übertragung. Je geringer die Dauer eines Lichtimpulses ist, desto breiter ist sein Frequenzspektrum und desto ausgeprägter ist die Änderung der Impulsform, besonders auf langen Übertragungsstrecken (siehe [[Lichtwellenleiter#Dispersion|Dispersion in Lichtwellenleitern]]).
* Elektrische [[Kabel]] weisen je nach Frequenz aufgrund ihrer [[Isolierstoff]]e unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeiten auf, was sich z. B. bei der [[Zeitbereichsreflektometrie]] an verbreiterten reflektierten Impulsen zeigt. Der Effekt führt zu Laufzeitverzerrungen bei breitbandigen Signalen (zum Beispiel in Form von flacheren Impulsflanken) und kann durch geeignete Isolierstoffe vermieden werden.

== Beispiele ==
* [[Wasserwelle#Dispersion|Dispersion von Wasserwellen]]
* [[Phonon#Dispersion|Dispersionsrelation von Phononen]]
* [[Polarisationsmodendispersion]] in Lichtwellenleitern

== Literatur ==
* {{Literatur |Titel=Dispersion |Hrsg=Ulrich Kilian u. Christine Weber|Sammelwerk=Lexikon der Physik |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Datum=2003 |ISBN=978-3-860-25296-3 |Online=https://www.spektrum.de/lexikon/physik/dispersion/3180}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Elektrodynamik]]
[[Kategorie:Wellenlehre]]
[[Kategorie:Optik]]

Dispersion (Physik) - Versionsgeschichte

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