93.203.248.148: So wird deutlicher gesagt, was gemeint ist.

2023-04-01T13:07:55Z

So wird deutlicher gesagt, was gemeint ist.

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In der [[Mathematik]] heißt ein Raum '''diskret''', wenn es zu jedem Punkt [[Umgebung (Mathematik)|Umgebungen]] dergestalt gibt, dass kein anderer Punkt in der Umgebung liegt. Anschaulich liegen die Punkte im Raum isoliert.

Das Wort stammt von {{froS|discret}}, welches von {{laS|discrētus}} stammt, dem Partizip Perfekt von {{laS|discernō|de=unterscheiden, absondern}}.

== Teilmengen des euklidischen Raums ==
=== Diskrete Teilmengen der reellen Zahlen ===
Eine Teilmenge <math>M \subset I</math> der [[Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] heißt diskret, wenn es zu jedem Element <math>x \in M </math> ein offenes [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] gibt, das außer <math>x</math> kein weiteres Element von <math>M</math> enthält. Die Elemente einer diskreten Menge sind anschaulich voneinander isoliert, getrennt.

Zum Beispiel ist die Menge der [[Ganze Zahlen|ganzen Zahlen]] eine diskrete Teilmenge der reellen Zahlen. Die [[Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]] sind dagegen nicht diskret, denn z. B. für die Zahl 0 gibt es kein offenes Intervall, das außer 0 keine weiteren Brüche enthält.

Diskretheit bedeutet nicht, dass es zwischen je zwei Elementen einer diskreten Menge nur endlich viele Elemente geben muss. Zum Beispiel ist die Menge
<math>M := \{-1, -1/2, -1/3, -1/4, \dotsc\} \cup \{1, 1/2, 1/3, 1/4, \dotsc\} </math>
eine diskrete Teilmenge: Für jedes Element <math>1/n</math> gibt es das offene Intervall <math>{] 1/(n+1), 1/(n-1) [}</math>, das aus <math>M</math> nur <math>1/n</math> enthält; analoges gilt für die Elemente <math>-1/n</math>. Zwischen <math>-1</math> und <math>1</math> liegen jedoch unendlich viele Elemente von <math>M</math>.

Nicht diskret ist hingegen die Menge <math>M \cup \{0\}</math>, weil das Element 0 nicht isoliert ist.

=== Diskrete Teilmengen in höheren Dimensionen ===
Analog bezeichnet man <math>M \subset \mathbb R^n</math> als diskret, wenn für alle <math>x \in M</math> eine offene [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] in <math>\mathbb R^n</math> existiert, die außer <math>x</math> kein weiteres Element von <math>M</math> enthält. Äquivalent ist die Forderung, dass <math>M</math> keinen [[Häufungspunkt#Häufungspunkte und Berührpunkte einer Menge|Häufungspunkt]] enthält.

== Diskreter metrischer Raum ==
Ein [[metrischer Raum]], dessen Metrik die Gestalt
<math>d(x, y) = 1</math> für <math>x \ne y</math>
hat, heißt ''diskreter metrischer Raum''.

=== Eigenschaften ===
Ein diskreter metrischer Raum ist [[Vollständiger Raum|vollständig]] und auch als topologischer Raum diskret.

Ein metrischer Raum, der als topologischer Raum diskret ist, muss allerdings nicht die diskrete Metrik besitzen, und auch nicht vollständig sein. Zum Beispiel ist die im Abschnitt „Diskrete Teilmenge der reellen Zahlen“ angegebene Menge <math>M = \{-1/n, 1/n \mid n \in \N\}</math> ein diskreter topologischer Raum, aber der Grenzwert 0 der [[Cauchyfolge]] <math>(1, 1/2, 1/3, \dotsc)</math> liegt außerhalb von <math>M</math>.

== Diskreter topologischer Raum ==
{{Hauptartikel|Diskrete Topologie}}

Man verallgemeinert den Begriff des isolierten Punktes auf [[Topologischer Raum|topologische Räume]] durch folgende Definition:

Ein Punkt <math>x</math> des topologischen Raumes <math>X</math> heißt [[isolierter Punkt]], wenn die einelementige Menge <math>\{x\}</math> [[Offene Menge|offen]] ist.

Ein isolierter Punkt hat also eine [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]], „in der er allein ist“. Mit diesem Begriff verallgemeinert man nun den Begriff der diskreten Teilmenge:

=== Definition ===
Ein topologischer Raum heißt ''diskreter topologischer Raum'', wenn jeder seiner Punkte isoliert ist.

=== Eigenschaften ===
* In einem diskreten topologischen Raum ist jede Teilmenge offen.
* Eine Funktion auf einem topologischen Raum, deren [[Bildmenge]] diskret ist, ist genau dann [[Stetige Funktion|stetig]], wenn sie [[Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] ist.
* Jede Funktion, deren [[Definitionsbereich]] diskret ist, ist stetig.

== Literatur ==
* [[Boto von Querenburg]]: ''Mengentheoretische Topologie'' (= ''Springer-Lehrbuch''). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.

[[Kategorie:Mengentheoretische Topologie]]

[[en:Discrete space]]

Diskrete Teilmenge - Versionsgeschichte

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