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2025-10-17T10:31:14Z

An den Haaren herbeigezogenes Anwendungsbeispiel gelöscht (Siehe Diskussionseite)

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[[Datei:Diskrete Gleichverteilung.PNG|mini|hochkant=2|Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Gleichverteilung auf <math>\{0,1,\dotsc,20\}</math>, d. h. <math>n=21</math>]]

Die '''diskrete Gleichverteilung''' ist eine spezielle [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] in der [[Stochastik]]. Eine [[diskrete Zufallsvariable]] <math>X</math> mit endlich vielen [[Ausprägung]]en <math>x_1, \dotsc, x_n</math> hat eine diskrete Gleichverteilung, wenn die [[Wahrscheinlichkeit]] für jede ihrer Ausprägungen gleich ist. Es gilt dann <math>P(X = x_i) = \tfrac{1}{n}</math> für <math>i \in \{1,\dotsc,n\}</math>. Die diskrete Gleichverteilung ist [[Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung|univariat]] und zählt, wie ihr Name sagt, zu den [[Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung|diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen]].

Typischerweise findet diese Wahrscheinlichkeitsverteilung Anwendung bei [[Zufallsexperiment]]en, deren Ergebnisse gleichhäufig sind. Wenn man (mit oder ohne Begründung) annimmt, dass die <math>n</math> Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind, spricht man von einem '''Laplace-Experiment'''. Gängige Beispiele für Laplace-Experimente sind das Werfen eines '''Laplace-Würfels''' (ein perfekter sechsseitiger Würfel, bei dem jede Zahl von eins bis sechs mit Wahrscheinlichkeit <math>\tfrac{1}{6}</math> fällt) oder einer Laplace-Münze (eine perfekte Münze, bei der jede der beiden Seiten mit Wahrscheinlichkeit <math>\tfrac{1}{2}</math> fällt). Siehe auch [[Stetige Gleichverteilung]], [[Laplace-Formel]].

== Definition ==
Bei der diskreten Gleichverteilung werden verschiedene Fälle unterschieden. Diese unterscheiden sich durch die [[Ergebnismenge]]n und dementsprechend unterschiedlich definierte [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]]en und [[Verteilungsfunktion]]en. In allen Fällen wird die Gleichverteilung mit <math> \mathcal{U}_T </math> bezeichnet, wobei <math> T </math> der Träger ist.

=== Allgemeiner Fall ===
Im allgemeinsten Fall sind die auftretenden Ergebnisse beliebige <math> x_i </math> mit <math> i=1, \dotsc, n </math> und <math> x_i < x_j </math>, wenn <math> i < j </math> ist. Der Träger ist also <math> T=\{x_1, \dotsc, x_n\} </math>.
Die [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]] der diskreten Gleichverteilung ist dann
: <math> \operatorname{P}(X = x) =f(x)= \begin{cases}
\frac {1}{n} & \text{für } x = x_i (i = 1, \dotsc, n), \\
0 & \text{sonst}.
\end{cases}
</math>

und damit genügt sie der [[Verteilungsfunktion]]
: <math>F_X(t)= P(X\leq t) = \frac{|\{k:x_k\leq t\}|}{n}</math>.

Hier sind insbesondere auch nichtnatürliche Zahlen für die <math> x_i </math> zugelassen.

=== Auf beliebigen ganzen Zahlen ===
[[Datei:Uniform discrete pmf svg.svg|mini|Wahrscheinlichkeitsfunktion für <math> n=b-a+1=5 </math>]]
[[Datei:Dis Uniform distribution CDF.svg|mini|Die zugehörige Verteilungsfunktion]]
Wählt man zwei <math> a<b \in \Z</math> mit <math> b-a=n-1 </math>, so wählt man als Träger die Menge
: <math> T:=\{a, a+1, a+2, \dotsc, b-1,b \}</math>

und definiert die Wahrscheinlichkeitsfunktion
: <math> \operatorname{P}(X = x) =f(x)= \begin{cases}
\frac {1}{n} & \text{für } x \in T,\\
0 & \text{sonst}.
\end{cases}
</math>

und die [[Verteilungsfunktion]]
: <math>F_X(t)= P(X\leq t) =
\begin{cases}
0 & \text{falls } t < a, \\
\frac{\lfloor t \rfloor - a + 1}{b - a + 1} & \text{falls } a \leq t < b, \\
1 & \text{falls } t \geq b.
\end{cases}
</math>

=== Auf natürlichen Zahlen bis ''n'' ===
Als Spezialfall der beiden obigen Definitionen (setze <math> x_i=i </math> oder <math> a=1, b=n </math>) wählt man als Träger
: <math> T=\{1,2,\dotsc, n\} </math>

und erhält als Wahrscheinlichkeitsfunktion
:<math> \operatorname{P}(X = x) =f(x)= \begin{cases}
\frac {1}{n} & \text{für } x \in \N \text{ und } x \leq n, \\
0 & \text{sonst}.
\end{cases}
</math>

sowie die Verteilungsfunktion
: <math>F_X(t)= P(X\leq t) =
\begin{cases}
0 & \text{falls } t<1, \\
\frac{\lfloor t \rfloor}{n} & \text{falls } 1 \leq t < n, \\
1 & \text{falls } t \geq n.
\end{cases}
</math>

Hierbei bezeichnet <math> \lfloor t \rfloor </math> die [[Abrundungsfunktion]].

== Eigenschaften ==
=== Erwartungswert ===
Der Erwartungswert ist im allgemeinen Fall
: <math> \operatorname{E}(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i </math>

Im zweiten Fall erhält man
: <math> \operatorname{E}(X)=\frac{a+b}{2} </math>,

was sich im dritten Fall zu
: <math> \operatorname{E}(X)=\frac{n+1}{2} </math>

vereinfacht. Diese Ergebnisse erhält man mithilfe der [[Gaußsche Summenformel|Gaußschen Summenformel]].

=== Varianz ===
Die Darstellung der [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] ist für den allgemeinen Fall bereits unübersichtlich, da keine Vereinfachungen möglich sind:
: <math> \operatorname{Var}(X) = \frac {1}{n} \left(\sum_{i=1}^n x_i^2 - \frac {1}{n} \left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2\right)</math>.

Für den zweiten Fall ergibt sich
: <math> \operatorname{Var}(X) =\frac{(b-a+1)^2-1}{12}</math>.

Im dritten Fall gilt
: <math> \operatorname{Var}(X) = \frac{n^2-1}{12}</math>.

=== Symmetrie ===
Im zweiten und dritten Fall ist die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung [[Symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung|symmetrisch]] um ihren Erwartungswert. Im allgemeinen Fall ist keine Aussage möglich.

=== Schiefe ===
Für die letzten beiden Varianten ist die [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] gleich Null, im ersten Fall benötigt man eine symmetrische Verteilung, um auf die Schiefe Null schließen zu können.
:<math> \operatorname{v}(X)=0 </math>

=== Wölbung und Exzess ===
Die Exzess ist im zweiten Fall
: <math>\gamma=-1{,}2-0{,}2\cdot \operatorname{Var}(X)^{-1}=\frac{-6}{5}-\frac{12}{5(b-a+2)(b-a)} </math>

und damit ist die [[Wölbung (Statistik)|Wölbung]]
: <math> \beta_2=1{,}8- 0{,}2\cdot \operatorname{Var}(X)^{-1} </math>

Dies vereinfacht sich im dritten Fall zum Exzess
: <math>\gamma=-1{,}2-\frac{12}{5(n^2-1)} </math>

und zur Wölbung
: <math>\beta_2=1{,}8-\frac{12}{5(n^2-1)} </math>

=== Entropie ===
Die [[Entropie (Informationstheorie)|Entropie]] der diskreten Gleichverteilung ist für alle drei Varianten
:<math> \Eta(X)=\log_2(n) </math>

gemessen in [[Bit]]. Unter allen diskreten Verteilungen ist die Gleichverteilung diejenige mit der größtmöglichen Entropie.<ref name="Lawrence 2019 S. 215 ">{{Literatur |Autor=Andy Lawrence |Titel=Probability in Physics: An Introductory Guide |Verlag=Springer |Datum=2019 |ISBN=978-3-030-04544-9 |Seiten=215}}</ref>

=== Median ===
Im allgemeinen Fall fällt der [[Median (Stochastik)|Median]] der diskret gleich verteilten Zufallsvariable mit dem Median der Ausprägungen <math>x_1,\dotsc,x_n</math> zusammen:
: <math>\tilde m
=\begin{cases}
x_\frac{n+1}{2} & n\text{ ungerade}\\
\frac {1}{2}\left(x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1}\right) & n \text{ gerade.}
\end{cases}
</math>.

Im zweiten Fall ist dann
: <math> \tilde m=\frac{a+b}{2} </math>

und dementsprechend im dritten Fall
: <math>\tilde m=\frac{n+1}{2} </math>.

=== Modus ===
Der [[Modus (Stochastik)|Modus]] lässt sich zwar angeben, hat aber wenig Aussagekraft. Er entspricht genau dem Träger der Verteilung, sprich <math> (x_i)_{i=1, \dots, n} </math>, bzw. <math> \{a,\dots,b\} </math> oder <math> \{1,\dots,n\} </math>.

=== Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ===
Sind im zweiten Fall <math> a,b \geq 0 </math>, so ist die [[wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion]] gegeben durch
: <math> m_X(t)=\frac{t^a-t^{b+1}}{n(1-t)}</math>.

Im dritten Fall ergibt dies dann
: <math>m_X(t):=\frac{t(1-t^n)}{n(1-t)}</math>

Beide Fälle lassen sich elementar mittels der [[Geometrische Reihe|geometrischen Reihe]] zeigen.

=== Momenterzeugende Funktion ===
Die [[momenterzeugende Funktion]] ergibt sich für beliebige <math> a<b \in \Z</math> als
: <math>M_X(t)=\frac{e^{at}-e^{(b+1)t}}{n(1-e^t)}</math> bzw.
: <math>M_X(t)=\frac{e^{t}-e^{(n+1)t}}{n(1-e^t)}</math>.

=== Charakteristische Funktion ===
Die [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] ergibt sich für beliebige <math> a<b \in \Z</math> als
: <math>\varphi_X(t)=\frac{e^{iat}-e^{i(b+1)t}}{n(1-e^{it})}</math> bzw.
: <math>\varphi_X(t)=\frac{e^{it}-e^{i(n+1)t}}{n(1-e^{it})}</math>.

== Schätzer ==
Das Problem, bei einer auf <math> \{1,\dotsc, N\} </math> gleich verteilten Zufallsvariable den Parameter <math> N </math> zu schätzen, wird auch das [[Taxiproblem]] genannt. Diese Bezeichnung entsteht aus der Überlegung, dass man am Bahnhof steht und die Nummern der Taxis beobachten kann. Geht man davon aus, dass alle Nummern gleich verteilt sind, entsprechen die Taxis dem Ziehen einer Stichprobe und der Parameter <math> N </math> der Gesamtzahl der Taxis in der Stadt.
Ist <math> x=(x_1, \dotsc, x_n ) </math> eine diskret gleich verteilte Stichprobe aus <math>\{1,\dotsc,N\}</math>, so ist der [[Maximum-Likelihood-Methode|Maximum-Likelihood-Schätzer]] für den Parameter <math>N</math> gegeben durch
: <math> T_M(x)=\max_{i=1, \dotsc, n} x_i </math>.
Er ist insbesondere nicht [[erwartungstreu]], da er den wirklichen Wert tendenziell unterschätzt und nie überschätzt, sondern nur [[Asymptotische Erwartungstreue|asymptotisch erwartungstreu]]. Die Einführung eines Korrekturterms führt zu dem Schätzer
: <math> T'_M(x)=\frac{n+1}{n}\left(\max_{i=1, \dotsc, n} x_i\right) </math>.

Oder aber man schätzt den mittleren Abstand der Werte in der Stichprobe durch <math> \min_{i=1, \dots , n} x_i </math> ab und erhält aufs Neue einen Schätzer
: <math> T_I(x) = \left(\max_{i=1, \dotsc, n} x_i\right) + \left(\min_{i=1, \dotsc, n} x_i\right) -1</math>.
Dieser ist erwartungstreu, genauso wie
:<math> T_S(x)=\left( \frac{2}{n} \sum_{i=1}^n x_i\right)-1</math>.
Das Taxiproblem ist ein Standardbeispiel der [[Schätztheorie]], um zu zeigen, dass sich ohne Probleme mehrere verschiedene Schätzer für dasselbe Problem finden lassen, von denen a priori nicht klar ist, welcher besser ist.<ref>{{Literatur |Autor=Ann Largey, John E. Spencer |Titel=Estimation of the Parameter in the Discrete “Taxi” Problem, With and Without Replacement |Sammelwerk=The Economic and Social Review |Band=27 |Nummer=2 |Datum=1996 |Seiten=119–136 |Online=[http://www.tara.tcd.ie/jspui/bitstream/2262/64792/1/27_jan_98_largey.pdf tara.tcd.ie] |Format=PDF}}</ref> Varianten des Taxiproblems waren im [[Zweiter Weltkrieg|Zweiten Weltkrieg]] wichtig, um aus den Seriennummern abgeschossener Panzer Rückschlüsse auf die Anzahl der Panzer in der gegnerischen Armee zu ziehen (vgl. [[German tank problem]]). Dies entspräche dann dem Schätzen von <math> a,b </math>, wenn man davon ausgeht, dass die Seriennummern auf <math> \{a,a+1,\dotsc,b-1,b\} </math> gleich verteilt sind.

== Beziehung zu anderen Verteilungen ==
=== Beziehung zur Bernoulli-Verteilung ===
Die [[Bernoulli-Verteilung]] mit <math> p=q=\tfrac{1}{2} </math> ist eine diskrete Gleichverteilung auf <math> \{0,1\} </math>.

=== Beziehung zur Beta-Binomialverteilung ===
Die [[Beta-Binomialverteilung]] mit <math> a=b=1 </math> ist eine diskrete Gleichverteilung auf <math> \{0, \dotsc, n\} </math>.

=== Beziehung zur Zweipunktverteilung ===
Die [[Zweipunktverteilung]] ist für <math> p=q=\tfrac{1}{2} </math> eine diskrete Gleichverteilung auf <math> \{a,b\} </math>.

=== Beziehung zur Rademacher-Verteilung ===
Die [[Rademacher-Verteilung]] ist eine diskrete Gleichverteilung auf <math> \{-1,1\} </math>

=== Beziehung zum Urnenmodell ===
Die diskrete Gleichverteilung ist die Basis aller Überlegungen, die Im [[Urnenmodell]] angestellt werden, da das Ziehen jeder der Kugeln aus der Urne gleich wahrscheinlich sein soll. Je nachdem, wie die Kugeln gefärbt, nummeriert oder zurückgelegt werden (oder auch nicht), ergeben sich somit aus der diskreten Gleichverteilung eine Vielzahl anderer wichtiger Verteilungen wie z. B. die [[Binomialverteilung]], [[Geometrische Verteilung]], [[Hypergeometrische Verteilung]], [[Negative Binomialverteilung]] und [[Multinomialverteilung]].

=== Stetiger Fall ===
Die diskrete Gleichverteilung kann leicht auf reelle Intervalle oder beliebige messbare Mengen mit positivem Volumen verallgemeinert werden. Sie wird dann [[stetige Gleichverteilung]] genannt.

== Beispiel ==
=== Sechsseitiger Laplace-Würfel ===
Das Zufallsexperiment ist: Ein Würfel wird einmal geworfen. Die möglichen Ausprägungen der Zufallsvariablen <math>X</math> sind: <math>x_1=1, x_2=2, \dotsc, x_6=6</math>. Nach der klassischen Wahrscheinlichkeitsauffassung ist die Wahrscheinlichkeit für jede Ausprägung gleich. Sie hat dann die Wahrscheinlichkeitsfunktion

: <math> P(X = x) = f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{6} & \text{für}\; x = x_i (i = 1, \dotsc, 6) \\
0 & \text{sonst}
\end{cases}
</math>

mit dem Erwartungswert <math>\operatorname{E}(X)</math> für <math>x_i=i</math> und <math>n=6</math>:

: <math> E(X) = 7/2 = 3{,}5</math>

und der Varianz

: <math> V(X) = \frac {35}{12} \approx 2{,}92</math>.

== Abgrenzung ==
Die diskrete Gleichverteilung wird oft auch nach [[Pierre-Simon Laplace]] benannt (Laplace-Würfel). Sie hat jedoch nichts mit der stetigen [[Laplace-Verteilung]] zu tun.

== Weblinks ==

* {{MathWorld |id=DiscreteUniformDistribution |title=Discrete Uniform Distribution}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}

[[Kategorie:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

Diskrete Gleichverteilung - Versionsgeschichte

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