imported>Brodkey65 am 13. Juni 2025 um 05:08 Uhr

2025-06-13T05:08:29Z

Neue Seite

Die '''Diskalgebra''' (manchmal auch Discalgebra) ist eine in den mathematischen Teilgebieten [[Funktionalanalysis]] und [[Funktionentheorie]] betrachtete [[Algebra über einem Körper|Algebra]]. Viele funktionalanalytische Eigenschaften der Diskalgebra sind direkte Folgen funktionentheoretischer Sätze.

== Definition ==
Bezeichnet <math>\mathbb{D}:=\{z\in \Complex;\, |z|\le 1\}</math> die Kreisscheibe, so sei <math>A(\mathbb{D})</math> die Menge aller
[[Stetige Funktion|stetigen]] Funktionen <math>f:\mathbb{D}\rightarrow \Complex</math>, die im Inneren <math>\mathbb{D}^\circ</math> [[Holomorphe Funktion|holomorph]] sind.

Die Definitionen

<math>\begin{array}{rcl}(\lambda f)(z) &:=& \lambda f(z) \\
(f+g)(z) &:=& f(z)+g(z)\\
(fg)(z) &:=& f(z)g(z)\\
(f^*)(z) &:=& \overline{f(\overline{z})}\\
\end{array}</math>,

wobei <math>\lambda\in \Complex, z\in \mathbb{D}, f,g \in A(\mathbb{D})</math>,
machen <math>A(\mathbb{D})</math> zu einer komplexen Algebra mit
[[Involution (Mathematik)|Involution]] <math>*</math>. Diese wird Diskalgebra genannt.<ref>F. F. Bonsall, J. Duncan: ''Complete Normed Algebras''. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §1.16</ref>

Offenbar ist <math>A(\mathbb{D})</math> eine Unteralgebra der [[Funktionenraum|Funktionenalgebra]] <math>C(\mathbb{D})</math> der stetigen Funktionen <math>\mathbb{D}\rightarrow \Complex</math>. Die Diskalgebra <math>A(\mathbb{D})</math> ist bezüglich der [[Maximumsnorm]], die <math>C(\mathbb{D})</math> zu einer [[Banachalgebra]] macht, [[abgeschlossene Menge|abgeschlossen]], denn nach dem [[Weierstraßscher Konvergenzsatz|weierstraßschen Konvergenzsatz]] sind [[gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Limiten]] holomorpher Funktionen ebenfalls holomorph.
Der [[Funktionenraum]] <math>A(\mathbb{D})</math> ist daher selbst eine Banachalgebra, sogar mit [[Isometrie|isometrischer Involution]], das heißt, es gilt <math>\|f^*\| = \|f\|</math> für alle <math>f\in A(\mathbb{D})</math>. Die Diskalgebra ist auch Unterbanachalgebra von
<math>H^{\infty}</math>, der Banachalgebra aller auf <math>\mathbb{D}^\circ</math> holomorphen und beschränkten Funktionen mit der [[Supremumsnorm]].

Mittels Einschränkung auf den Rand <math>\partial \mathbb{D}</math> von <math>\mathbb{D}</math> erhält man eine Abbildung
<math>A(\mathbb{D})\rightarrow C(\partial \mathbb{D}), \, f\mapsto f|_{\partial \mathbb{D}}</math>.
Diese Abbildung ist nach dem [[Maximumprinzip (Mathematik)|Maximumprinzip]] für holomorphe Funktionen ein isometrischer [[Homomorphismus]].
In diesem Sinne kann man <math>A(\mathbb{D})</math> auch als Unterbanachalgebra von <math>C(\partial \mathbb{D})</math>
auffassen, das heißt die Diskalgebra wird zu einer [[Uniforme Algebra|uniformen Algebra]] über <math>{\partial \mathbb{D}}</math>.
<math>A(\mathbb{D})</math> ist dann die Menge aller stetigen Funktionen auf <math>\partial \mathbb{D}</math>, die sich holomorph nach <math>\mathbb{D}^\circ</math> fortsetzen lassen.
Dies wäre eine alternative Definition der Diskalgebra.

Die Diskalgebra wird von <math>\mathrm{id}_\mathbb{D}</math> erzeugt, das heißt, die kleinste Unterbanachalgebra, die diese Funktion enthält, ist die Diskalgebra selbst.<ref>F. F. Bonsall, J. Duncan: ''Complete Normed Algebras''. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §19.3</ref>

== Der Gelfandraum ==
Für jedes <math>z\in \mathbb{D}</math> ist die Punktauswertung <math>\delta_z:A(\mathbb{D})\rightarrow \Complex,\, f\mapsto f(z)</math> ein Homomorphismus und damit ein Element des [[Gelfand-Raum]]s <math>X_{A(\mathbb{D})}</math> der Diskalgebra.
Man kann zeigen, dass mit den <math>\delta_z</math> bereits alle Homomorphismen der Diskalgebra mit Werten in den komplexen Zahlen
gefunden sind, und dass die Abbildung <math>\delta \colon \mathbb{D}\rightarrow X_{A(\mathbb{D})},\, z\mapsto \delta_z</math> ein [[Homöomorphismus]] ist, wobei die sogenannte Gelfandtopologie durch die [[Relativtopologie|relative]] [[schwach-*-Topologie]] auf <math>X_a\subset A^\prime</math> gegeben ist.
Der Gelfandraum der Diskalgebra kann daher mit der Kreisscheibe identifiziert werden.
Bei dieser Identifikation ist die [[Gelfand-Transformation]] die Identität auf der Diskalgebra.

== Die Nicht-Regularität der Diskalgebra ==
Auf dem Gelfandraum <math>X_A</math> einer kommutativen Banachalgebra betrachtet man die sogenannte Hülle-Kern-Topologie, die durch die Abschlussoperation

<math>\overline{E} := \{\delta\in X_A;\, \ker(\delta) \supset \bigcap_{\varphi\in E}\ker(\varphi)\} </math>

gegeben ist. Fällt diese mit der Gelfandtopologie zusammen, so nennt man die Banachalgebra ''regulär''.
Die Diskalgebra ist ein Beispiel für eine nicht-reguläre Banachalgebra.<ref>F. F. Bonsall, J. Duncan: ''Complete Normed Algebras''. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §23.9</ref>
In der Tat ist bei der Identifikation <math>X_{A(\mathbb{D})} = \mathbb{D}</math> die Menge <math>E:= \{0\} \cup \{\tfrac{1}{n};\, n\in \N\}</math> abgeschlossen in der Gelfandtopologie.
Ist nun <math>\textstyle f\in\bigcap_{n\in \N}\ker(\delta_{\frac{1}{n}})</math>, so folgt <math>f(\tfrac{1}{n})=0</math> für alle <math>n</math>, und aus dem [[Identitätssatz für holomorphe Funktionen]] folgt <math>f=0</math>. Daher ist <math>\textstyle \bigcap_{\varphi\in E}\ker(\varphi) = \{0\}</math> und es folgt <math>\overline{E}=X_A</math> bezüglich der Hülle-Kern-Topologie, letztere kann daher nicht mit der Gelfandtopologie übereinstimmen.

== Der Schilowrand ==
Identifiziert man <math>X_{A(\mathbb{D})}</math> mit <math>\mathbb{D}</math>, so fällt der topologische Rand <math>\partial \mathbb{D}=\{z\in \Complex;\, |z|= 1\}</math> mit dem [[Schilow-Rand]] zusammen. Dazu ist zu zeigen, dass jede Funktion der Diskalgebra, die wegen der vorgenommenen Identifikation ja mit ihrer Gelfand-Transformierten übereinstimmt, ihr Betragsmaximum auf dem Rand der Kreisscheibe annimmt, aber das ist genau die Aussage des [[Maximumprinzip (Mathematik)|Maximumprinzips]] für holomorphe Funktionen.<ref>F. F. Bonsall, J. Duncan: ''Complete Normed Algebras''. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §22.5 für n=1</ref>

== Maximalität ==
Wie oben erwähnt kann man <math>A(\mathbb{D})</math> mittels der Einschränkungsabbildung <math>f\mapsto f|_{\partial \mathbb{D}}</math> als Unterbanachalgebra von <math>C(\partial \mathbb{D})</math> auffassen. Der [[Maximalitätssatz von Wermer]] sagt aus, dass <math>A(\mathbb{D}) \subset C(\partial \mathbb{D})</math> eine maximale Unterbanachalgebra ist.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Algebra (Struktur)]]

Diskalgebra - Versionsgeschichte

imported>Brodkey65 am 13. Juni 2025 um 05:08 Uhr