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2025-05-21T09:50:36Z

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[[Datei:PolygonsSetDisjointUnion.svg|mini|280px|Die disjunktive Vereinigung der Mengen <math>A</math> und <math>B</math> ist eine andere Menge <math>A \sqcup B</math>, die aus allen Elementen von <math>A</math> und <math>B</math> konstruiert wird, ohne verdoppelte Elemente aus <math>A</math> und <math>B</math> als „dieselben“ zu identifizieren. Im Bild besitzt jedes Polygon ein „Etikett“, welches die Unterscheidung von sonst gleichen Figuren ermöglicht.]]

Im [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Mengenlehre]] gibt es zwei leicht unterschiedliche Verwendungen des Begriffes '''disjunkte Vereinigung'''.
== Definition ==
Die nachfolgende Unterscheidung entspricht genau dem Unterschied zwischen innerer und äußerer [[Direkte Summe|direkter Summe]]. Die beiden Definitionen stellen die verschiedenen Sachverhalte dar, die jedoch beide als disjunkte Vereinigung bezeichnet werden. Daher muss der Begriff abhängig von seinem Kontext verstanden werden. Die Notationen im Artikel werden in der Literatur nicht nur in dieser Art verwendet, meist letztere für ersteren Umstand.
=== Vereinigung disjunkter Mengen ===
Eine Menge <math>X</math> ist die [[disjunkt]]e Vereinigung eines Systems <math>(X_i)_{i\in I}</math> von Teilmengen <math>X_i\subseteq X</math>, geschrieben
:<math> X = \dot{\bigcup_{i\in I}}X_i, </math>
wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:
* <math>X_i\cap X_j=\varnothing,</math> falls <math>i\ne j</math>,   das heißt also, die <math>X_i</math> sind [[paarweise disjunkt]];
* <math>\textstyle X=\bigcup\limits_{i\in I}X_i</math>,   das heißt, <math>X</math> ist die [[Vereinigungsmenge|Vereinigung]] aller Mengen <math>X_i</math>.

=== Disjunkte Vereinigung beliebiger Mengen ===
Sind Mengen <math>X_i</math> für <math>i\in I</math> gegeben, so heißt die Menge
:<math>\bigsqcup_{i\in I}X_i=\bigcup_{i \in I}\{(i,x)\mid x\in X_i\}</math>
die disjunkte Vereinigung der Mengen <math>X_i</math>. Sie ist in etwa eine Vereinigung, bei der die Mengen vorher künstlich disjunkt gemacht werden.

=== Disjunkte Vereinigung topologischer Räume ===
Seien <math>(X,\tau)</math> und <math>(Y,\tilde{\tau})</math> [[Topologischer Raum|topologische Räume]]. Die disjunkte Vereinigung von <math>X</math> und <math>Y</math> ist gegeben durch <math>X\sqcup Y=(X\times \{0\})\cup (Y\times \{1\})</math>. Versehen mit der Topologie <math>\tau \sqcup \tilde{\tau}=\{U\sqcup V : U\in \tau \text{ und } V\in \tilde{\tau}\}</math>, ist <math>(X\sqcup Y,\tau \sqcup \tilde{\tau})</math> wieder ein topologischer Raum. Man spricht auch von der „topologischen Summe“ von <math>X</math> und <math>Y</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Fridtjof Toenniessen |Titel=Topologie: Ein Lesebuch von den elementaren Grundlagen bis zur Homologie und Kohomologie |Auflage=1 |Verlag=Springer Spektrum |Datum=2017 |ISBN=978-3-662-54963-6 |Seiten=15}}</ref>

== Eigenschaften ==
* Für die Mächtigkeiten gilt: <math>\left|\bigsqcup\limits_{i\in I}X_i \right|= \sum_{i\in I} |X_i|</math>. In der [[Kardinalzahlarithmetik#Definitionen|Kardinalzahlarithmetik]] ist die Summe gerade durch diese Beziehung definiert.
* Die disjunkte Vereinigung <math>\bigsqcup\limits_{i\in I} X_i</math> ist das kategorielle [[Koprodukt]] in der [[Kategorientheorie|Kategorie]] der Mengen. Das bedeutet: Abbildungen <math>f \colon \bigsqcup\limits_{i\in I} X_i\to Y</math> entsprechen eineindeutig Systemen von Abbildungen <math>(f_i)_{i\in I}</math> mit <math>f_i\colon X_i\to Y</math>.
* Sind die Mengen <math>X_i</math> disjunkt, so ist die kanonische Abbildung <math>\bigsqcup\limits_{i\in I}X_i\to\bigcup\limits_{i\in I}X_i</math> [[Bijektive Funktion|bijektiv]].

== Beispiele ==
=== Beispiel der Vereinigung disjunkter Mengen ===
Disjunkte Vereinigung von <math>A = \{1, 2, 3\}</math> und <math>B = \{4, 5, 6\}</math>.
* <math>A\cap B=\varnothing </math> Beide Mengen sind disjunkt
* <math>A\;\dot{\cup}\; B=C</math>
* <math>C</math> ist die disjunkte Vereinigung der Mengen <math>A</math> und <math>B</math> ⇒ <math>C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}</math>
* Die Mengen <math>A</math> und <math>B</math> bilden hierbei eine [[Partition (Mengenlehre)|Partition]] der Menge <math>C</math>
* Die disjunkte Vereinigung <math>A \sqcup B</math> im zweiten Sinn liefert die Paarmenge <math>D = \{ (1,1), (1,2), (1,3), (2,4), (2,5), (2,6) \}</math>. Die [[Projektion (Mengenlehre)#Geordnete Paare|Projektion]] <math>\pi_2</math> bildet <math>D</math> bijektiv auf <math>C</math> ab.

=== Beispiel einer disjunkten Vereinigung beliebiger Mengen ===
Disjunkte Vereinigung von <math>X_1 = \{1,2,3\}</math> und <math>X_2 = \{1,2,3,4\}</math>.
* <math>I = \{1,2\}</math>
* <math>\textstyle \bigsqcup\limits_{i \in I} X_i = \bigcup\limits_{i \in I}\{(i,x)\mid x \in X_i\} = \{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)\}</math>

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mengenlehre]]

Disjunkte Vereinigung - Versionsgeschichte

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