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[[Datei:Triangular orthobicupola.png|mini|Ein Disheptaeder]]
[[Datei:J27 triangular orthobicupola wireframe.stl|mini|[[Drahtgittermodell]] eines Disheptaeders]]
Ein '''Disheptaeder''' (auch '''Antikuboktaeder''') ist ein [[Polyeder]], das aus denselben Flächen wie das [[Kuboktaeder]], also denen eines [[Hexaeder]]s (Kubus) und eines [[Oktaeder]]s, besteht. In dem Alternativnamen (Anti-Kubooktaeder) stecken entsprechend die Wörter ''Kubus'' und ''Oktaeder''. Des Weiteren ist es als [[Johnson-Körper#Modifizierte Kuppeln und Rotunden|Johnson-Körper J<sub>27</sub>]] (Dreiecksdoppelkuppel bzw. verdrehtes Kuboktaeder) bekannt.

Der der [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|duale Körper]] des Disheptaeders ist die [[Voronoi-Diagramm|Voronoi-Zelle]] einer Kugel in der hexagonal dichtesten Kugelpackung des Typs AB und [[Raumfüllung|füllt den Raum]] als Element einer Parkettierung vollständig, wie auch ihr Gegenstück, das [[Rhombendodekaeder]], das die Voronoi-Zelle für die Kugelpackung Typ ABC und der Dualkörper des Kuboktaeders ist.

== Beschreibung ==
Man erhält ein Disheptaeder aus einem Kuboktaeder durch Schnitt entlang der Ebene, die eine umlaufende Kante zwischen Hexaeder und Oktaederflächen bildet, und anschließende Verdrehung beider Hälften um 180° gegeneinander. Dadurch besitzen im Disheptaeder jeweils 3 Gruppen von je 2 Hexader- und 2 Oktaeder-Flächen eine gemeinsame Kante. Die vorherige Schnittebene wird zu einer Spiegelebene des Körpers.

Mit 14 Flächen (8 gleichseitige [[Dreieck]]e und 6 [[Quadrat (Geometrie)|Quadrate]]), 12 Ecken und 24 Kanten gleicher Länge wird der [[Eulerscher Polyedersatz|eulersche Polyedersatz]] <math>e + f - k = 2</math> genau wie beim Kuboktaeder erfüllt.

== Formeln ==
[[Datei:Disheptaedernetz.svg|mini|[[Netz (Geometrie)|Körpernetz]] eines Disheptaeders]]
{| class="wikitable"
|-
! colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Größen eines Disheptaeders mit Kantenlänge ''a''
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Volumen]]'''
| <math>V = \frac{5}{3}\,a^3 \sqrt{2} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]'''
| <math>A_O = 2a^2 (3+\sqrt{3}) </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Umkugel]]radius'''
| <math>\,R = a </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Kantenkugel]]radius'''
| <math>r = \frac{a}{2} \sqrt{3} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''3D-Kantenwinkel<br /> = 120°'''
| <math> \cos \, \gamma = -\frac{1}{2} </math>
|}

== Vorkommen ==
Das Disheptaeder findet in der [[Strukturchemie]] und [[Kristallographie]] als Koordinationspolyeder (z. B. in der hexagonal dichtesten Kugelpackung ''[[Hexagonales Kristallsystem|hcp]]'') Verwendung. Die zugehörige Koordinationszahl ist (genau wie beim Kuboktaeder) 12; der [[Grenzradienquotient]] ist ebenfalls 1.

== Weblinks ==
* {{MathWorld|TriangularOrthobicupola|Disheptaeder}}
* [http://public.beuth-hochschule.de/~baierl/inhalt/natPolyhed/p_nat991028.pdf beuth-hochschule.de] (PDF) S. 7

[[Kategorie:Johnson-Körper]]

Disheptaeder - Versionsgeschichte

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