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2025-06-24T06:27:20Z

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Der '''dirichletsche Approximationssatz''', benannt nach [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]], ist ein mathematischer Satz über die Qualität der [[Diophantische Approximation|Approximation]] (Annäherung) [[Reelle Zahl|reeller Zahlen]] durch [[rationale Zahl]]en.

Der Satz lautet:
Zu jedem <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> und jedem <math>N \in \N</math> existieren ein <math>q \in \mathbb{N}, 1 \leq q \leq N</math> und ein <math>p \in \mathbb{Z}</math>, so dass
:<math>\left| q \alpha - p \right| \le \frac{1}{N+1}.</math>

Dieser Satz kann mithilfe des [[Schubfachprinzip]]s bewiesen werden.

Aus dem Satz folgt nach Division durch <math>q</math> und Beachtung von <math>q<N+1</math>, dass es zu jedem reellen <math>\alpha</math> unendlich viele Paare <math>(p,q)</math> ganzer Zahlen gibt, die
:<math>\left| \alpha - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^2}</math>

erfüllen. Für rationale Zahlen <math>\alpha=\tfrac{a}{b}</math> haben fast alle solche Approximationen die Form <math>p=ka,q=kb</math>, interessant ist die Unendlichkeitsaussage also nur für [[irrationale Zahl]]en. Der [[Satz von Hurwitz (Zahlentheorie)|Satz von Hurwitz]] verbessert die Ungleichung noch um den Faktor <math>\sqrt{5}</math>.

'''Beispiel''': Sei <math> \alpha = \sqrt{2}</math> und <math>N=10</math>. Dann ist nach dem dirichletschen Approximationssatz (mindestens) eine der Zahlen <math> \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}, \dotsc, 10 \sqrt{2}</math> um höchstens <math>1/11</math> von einer [[Ganze Zahl|ganzen Zahl]] entfernt. Tatsächlich ist
:<math>\left| 5 \sqrt{2} - 7 \right| = \left| 7,07106\dotso - 7 \right| = 0.07106\dotso \leq 0.090909\dotso = \frac{1}{11}.</math>

== Literatur ==
* Hans Rademacher, Otto Toeplitz: ''Von Zahlen und Figuren'', Kapitel 15: „Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale“, Springer 1930 und zahlreiche Neuauflagen.

[[Kategorie:Satz (Zahlentheorie)]]
[[Kategorie:Peter Gustav Lejeune Dirichlet]]

Dirichletscher Approximationssatz - Versionsgeschichte

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