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[[Datei:Complex Dirichlet eta function.jpg|mini|hochkant=1.7|Die Dirichletsche <math>\eta</math>-Funktion in der [[Komplexe Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]].]]

In der [[Analytische Zahlentheorie|analytischen Zahlentheorie]] ist die '''Dirichletsche η-Funktion''' eine [[spezielle Funktion]], die nach dem deutschen Mathematiker [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]] (1805–1859) benannt ist. Sie ist verwandt mit der [[Riemannsche ζ-Funktion|Riemannschen <math>\zeta</math>-Funktion]].

Sie wird mit dem kleinen [[Eta|griechischen Buchstaben eta]] (<math>\eta</math>) notiert; die [[Dedekindsche η-Funktion]], eine [[Modulform]], wird ebenfalls so bezeichnet.

== Definition ==
Die Dirichletsche <math>\eta</math>-Funktion ist für alle [[Komplexe Zahl|komplexen]] <math> s </math> mit [[Komplexe Zahl|Realteil]] größer als 0 definiert über die [[Dirichletreihe]]:

:<math> \eta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^s} = 1 - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \frac{1}{4^s} + \frac{1}{5^s} - + \cdots. </math>

Obwohl die Gültigkeit dieses Ausdrucks auf komplexe Zahlen mit positivem Realteil beschränkt ist, bildet er die Ausgangsbasis für alle Darstellungen der <math> \eta </math>-Funktion. Sie kann auf die ganze komplexe Zahlenebene [[Analytische Fortsetzung|analytisch fortgesetzt]] werden, was eine Berechnung der <math> \eta </math>-Funktion für alle beliebigen <math> s </math> gewährleistet.

== Euler-Produkt ==
Ihre zahlentheoretische Bedeutung erhält die <math> \eta </math>-Funktion durch ihre Verbindung zu den [[Primzahl]]en, die sich für <math> \operatorname{Re} s > 1 </math> formelhaft durch das [[Euler-Produkt]]

:<math> \eta(s) = \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right) \prod_{p \ \mathrm{prim}} \frac{1}{1 - \frac{1}{p^s}} = \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right) \cdot \frac{1}{(1-\frac{1}{2^s})(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{5^s})\cdots} </math>

ausdrücken lässt.

== Funktionalgleichung ==
In ganz <math>\mathbb{C}</math> gilt die Identität:

:<math>\eta(1-s) = \frac{2^s - 1}{1 - 2^{s-1}} \pi^{-s} \cos\left(\frac{\pi s}2\right) \Gamma(s)\eta(s).</math>

== Verbindung zur Riemannschen ζ-Funktion ==
Die Funktionalgleichung zwischen Dirichletscher <math> \eta </math> und [[Riemannsche Zeta-Funktion|Riemannscher <math> \zeta </math>-Funktion]] lässt sich aus den Dirichletreihendarstellungen beider Funktionen gewinnen. Der <math> \eta </math>-Ausdruck wird durch Addition weiterer Dirichletreihen transformiert zu:

:<math> \eta(s) + 2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^s} = \eta(s) + \frac{2}{2^s} \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \zeta(s). </math>

Daraus folgt der Zusammenhang:

:<math> \eta(s) = (1 - 2^{1-s}) \cdot \zeta(s), </math>

der in ganz <math> \mathbb{C} </math> Gültigkeit behält.

== Weitere Darstellungen ==
=== Integraldarstellung ===
Eine Integraldarstellung für alle <math> \operatorname{Re} s > 0 </math> enthält die [[Gammafunktion]] <math>\Gamma(s)</math> und lautet:

:<math>\eta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int\limits_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x+1}{\mathrm dx}</math>.

Dies kann als [[Mellin-Transformation]]<ref>Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall: ''Computational strategies for the Riemann zeta function.'' Journal of Computational and Applied Mathematics 121 (2000) 247–296, [https://cr.yp.to/bib/2000/borwein.pdf (PDF)], S. 253.</ref> von <math>\tfrac{1}{e^x+1}</math> verstanden werden.
Gültig für alle <math> s \in \mathbb{C} </math> sind diese beiden Formeln:

:<math> \eta(s) = \left(\dfrac{1}{2}-2^{-s}\right)\biggl\{\frac{s+1}{s-1} + \int_0^\infty \frac{4\sin[s \arctan(x)]}{(x^2 + 1)^{s/2} (e^{2\pi x} - 1)} \,\mathrm{d}x\biggr\} </math>
:<math> \eta(s) = \frac{1}{2} + \int_0^\infty \frac{\sin[s \arctan(x)]}{(x^2 + 1)^{s/2}\sinh(\pi x)} \,\mathrm{d}x </math>
Beide Formeln wurden durch den Mathematiker [[Niels Henrik Abel]] entdeckt und in seinem Werk ''Solution de quelques problèmes à l’aide d’intégrales définies'' ausführlich behandelt. Diese beiden Formeln stellen zwei Spezialfälle der generellen [[Abel-Plana-Summenformel]] dar. Die erste Formel resultiert direkt aus der von den Mathematikern Borwein, Bradley und Crandall behandelten Formel für die Riemannsche Zetafunktion, welche sie in ihrem Werk ''Computational strategies for the Riemann zeta function'' untersuchten. Die zweite Formel entsteht durch Mellin-Transformation der alternierenden Differenzdarstellung für die Dirichletsche Etafunktion nach dem Muster der Abel-Plana-Formel. Mit dem [[Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus|Sekans Hyperbolicus]] kann diese Darstellung hervorgerufen werden:

:<math>\eta(s) = \frac{2^{s - 1}}{\Gamma(s + 1)}\int_{0}^{\infty} x^{s} \operatorname{sech}(x)^2 \,\mathrm dx</math>

Außerdem gilt dieses Doppelintegral über die Potenzen des natürlichen Logarithmus:

:<math>\eta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int\limits_0^1\int\limits_0^1 \frac{1}{1+xy}\ln\left(\frac{1}{xy}\right)^{s-2}\;\mathrm dx\,\mathrm dy</math>

=== Reihendarstellung ===
Eine in ganz <math> \mathbb{C} </math> konvergente Reihe ergibt sich mit Hilfe der [[Eulersche Reihentransformation|eulerschen Reihentransformation]]:

:<math>\eta(s)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{n+1}} \sum_{k=0}^n (-1)^{k} {n \choose k} \frac {1}{(k+1)^s}.</math>

=== Produktdarstellung ===
Für alle <math> s \in \mathbb{C}</math> konvergiert das Hadamard-Produkt<ref>{{Internetquelle |autor=[[André Voros]] |url=https://ipht.cea.fr/DocsphtV3/articles/t03/078/public/publi.pdf |titel=More Zeta Functions for the Riemann Zeros |format=PDF; 182 kB |werk=ipht.cea.fr |hrsg=[[Commissariat à l’énergie atomique et aux énergies alternatives|CEA]], [[Institut de Physique Théorique]] ([[Centre national de la recherche scientifique|CNRS]] URA 2306) |seiten=6 |sprache=en |abruf=2024-05-23 |archiv-url=https://web.archive.org/web/20160414162537/http://ipht.cea.fr/DocsphtV3/articles/t03/078/public/publi.pdf |archiv-datum=2016-04-14 |offline=ja }}</ref>, benannt nach seinem Entdecker [[Jacques Hadamard]]:

:<math> \eta(s) = \frac{1 - 2^{1-s}}{2(s-1)\,\Gamma(1 + s/2)} e^{(\ln (2\pi) - 1 - \gamma/2)s} \prod_{\rho} \left(1 - \frac{s}{\rho} \right)e^{s/\rho}. </math>

Es erstreckt sich über alle nicht-trivialen Nullstellen <math> \rho </math> der <math> \eta </math>-Funktion und leitet sich einfach aus dem Hadamard-Produkt der [[Riemannsche Zeta-Funktion|Zeta-Funktion]] ab.

== Werte ==

=== Etafunktionswerte von negativen ganzen Zahlen ===
Es gilt:

:<math>\eta(0) = \tfrac12</math>
:<math>\eta(-1)= \tfrac14</math>

Für [[Natürliche Zahl|natürliche]] <math>k</math> gilt mit den [[Bernoulli-Zahlen]] <math>B_k</math>

:<math>\eta(1-k) = \frac{2^k-1}{k} B_k</math>

=== Basler Problem ===
Der Wert η(2) ergibt π²/12 und steht mit dem [[Basler Problem]] im Zusammenhang.

Mit dem [[Satz von Fubini]] kann dieser Wert bewiesen werden:
:<math> \eta(2) = \sum_{n = 1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{1}{n^2} = \sum_{n = 1}^\infty \int_{0}^{1} (-1)^{n-1}\frac{1}{n} {x}^{n-1} \,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1} \sum_{n = 1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{1}{n} {x}^{n-1} \,\mathrm{d}x = </math>
:<math> = \int_{0}^{1} \frac{1}{x}\ln(x+1) \,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{4}{3(x^2+2xy+1)} + \frac{2x}{3(x^2y+1)} - \frac{1}{3(xy+1)} \,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x = </math>
:<math> = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{4}{3(x^2+2xy+1)} + \frac{2x}{3(x^2y+1)} - \frac{1}{3(xy+1)} \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{0}^{1} \frac{\pi-2\arcsin(y)}{3\sqrt{1-y^2}} \,\mathrm{d}y = \frac{\pi^2}{12} </math>

=== Etafunktion und Bernoulli-Zahlen ===
Für gerade Argumente <math> 2n = 2, 4, 6, 8, \dots </math> gilt die allgemeine Formel:

:<math>\eta(2n) = (-1)^{n+1}\frac{2^{2n-1} - 1}{(2n)!} B_{2n}\pi^{2n}</math>

Somit lässt sich der Zahlenwert von <math> \eta(2n) </math> stets in der Form

:<math> \eta(2n) = \frac{p_n}{q_n} \pi^{2n} </math>

schreiben, wobei <math> p_n </math> und <math> q_n </math> zwei positive ganze Zahlen bezeichnen.

{| class="wikitable"
|-
! 2n
! p<sub>n</sub>
! q<sub>n</sub>
!<math> \eta(2n) </math>
|-
| 2
| 1
| 12
| 0,82246703342411321823…
|-
| 4
| 7
| 720
| 0,94703282949724591757…
|-
| 6
| 31
| 30240
| 0,98555109129743510409…
|-
| 8
| 127
| 1209600
| 0,99623300185264789922…
|-
| 10
| 73
| 6842880
| 0,99903950759827156563…
|-
| 12
| 1414477
| 1307674368000
| 0,99975768514385819085…
|-
| 14
| 8191
| 74724249600
| 0,99993917034597971817…
|-
| 16
| 16931177
| 1524374691840000
| 0,99998476421490610644…
|-
| 18
| 5749691557
| 5109094217170944000
| 0,99999618786961011347…
|-
| 20
| 91546277357
| 802857662698291200000
| 0,99999904661158152211…
|}

Die ersten Werte für ungerade Argumente sind
:<math>\eta(1) = \ln 2 </math> (die alternierende [[harmonische Reihe]])
:<math>\eta(3) = \frac34\zeta(3)</math>
:<math>\eta(5) = \frac{15}{16}\zeta(5).</math>

== Nullstellen ==
Aus der Relation

:<math>\eta(s) = (1-2^{1-s})\cdot\zeta(s)</math>

ist leicht zu folgern, dass <math> \eta(s) </math> sowohl für alle <math> m \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \} </math> bei <math> s_m = 1+\tfrac{2\pi mi}{\ln 2} </math>, als auch zusätzlich an denselben Stellen wie <math> \zeta(s) </math> [[Nullstelle|verschwindet]]. Dazu gehören sowohl die sogenannten „trivialen“ Nullstellen bei <math> s = -2, -4, -6, -8, \dots </math>, also

:<math> \eta(-2) = \eta(-4) = \eta(-6) = \eta(-8) = \cdots = 0, </math>

als auch die „nicht-trivialen“ Nullstellen im Streifen <math> \{s \in \mathbb{C} | 0 < \operatorname{Re} s < 1 \} </math>.

Die berühmte und bis heute unbewiesene [[Riemannsche Vermutung]] besagt, dass alle nicht-trivialen Nullstellen den Realteil 1/2 besitzen.

== Ableitung ==

=== Ableitungsidentität mit der Zeta-Ableitung ===
Die Ableitung der <math> \eta </math>-Funktion kann für <math> \operatorname{Re} s > 0 </math> wieder als Dirichletreihe dargestellt werden:

:<math> \eta'(s) = \sum_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{\ln n}{n^s}. </math>

Ein geschlossener Ausdruck für alle komplexen Zahlen <math>s \in \C</math> kann über die Ableitung der Riemannschen Zetafunktion ausgedrückt werden:

:<math> \eta'(s) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}(1 - 2^{1-s})\zeta(s) =\frac{}{}2^{1-s}(\ln2)\zeta(s)+(1-2^{1-s})\zeta^\prime(s), </math>

Diese Formel kann unter Anwendung der [[Produktregel]] gewonnen werden.

=== Ableitungsidentitäten mit der Abel-Plana-Formel ===
Eine zu dieser Formel äquivalente und somit ebenso geschlossen für alle komplexen Zahlen <math>s \in \C</math> gültige Formel kann erneut mit der ''Mellin-Transformation'' beziehungsweise als Derivat der ''Abel-Plana-Summenformel'' hervorgebracht werden:

:<math> \eta'(s) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\biggl\{ \frac{1}{2} + \int_0^\infty \frac{\sin[s \arctan(x)]}{(x^2 + 1)^{s/2}\sinh(\pi x)} \,\mathrm{d}x \biggr\} </math>
:<math> \eta'(s) = \int_0^\infty \frac{2\arctan(x)\cos[s \arctan(x)] - \ln(x^2 + 1)\sin[s \arctan(x)]}{2(x^2 + 1)^{s/2} \sinh(\pi x)} \,\mathrm{d}x </math>
Diese Formeln entstehen nach dem Muster, welches von Niels Henrik Abel in seinem genannten Werk beschrieben wurde. Analog hierzu kann auch mit der Abel-Plana-Formel aus dem Werk von Borwein, Bradley und Crandall dieses Verfahren durchgeführt werden, welche die Dirichletsche Etafunktion als das Produkt der Riemannschen Zetafunktion mit einer Potenzfunktion zur Basis Zwei darstellt. Bei dieser Ableitung werden somit Zweierpotenzfunktionen abgeleitet und somit wird der Natürliche Logarithmus von Zwei als Vorfaktor bei den Summanden hervorgebracht:
:<math> \eta'(s) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\biggl\langle \biggl(\dfrac{1}{2}-2^{-s}\biggr)\biggl\{\frac{s+1}{s-1} + \int_0^\infty \frac{4\sin[s \arctan(x)]}{(1 + x^2)^{s/2} [\exp(2\pi x) - 1]} \,\mathrm{d}x\biggr\} \biggr\rangle </math>
:<math> \eta'(s) = \frac{2^{-s}(s^2 - 1)\ln(2) + 2^{1 - s} - 1}{(s - 1)^2} \,+ </math>
:<math> + \int_0^\infty \frac{(2 - 2^{2 - s})\arctan(x)\cos[s \arctan(x)] + [2^{2 - s}\ln(2) - (1 - 2^{1 - s})\ln(x^2 + 1)]\sin[s \arctan(x)]}{(1 + x^2)^{s/2} [\exp(2\pi x) - 1]} \,\mathrm{d}x </math>

=== Rechenbeispiele für die Ableitung ===
Rechenbeispiel<ref>{{MathWorld|DirichletEtaFunction|Dirichlet Eta Function}}</ref> für s = 0:
:<math> \eta'(0) = \int_0^\infty \frac{\arctan(x)}{\sinh(\pi x)} \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{\pi}{2}\right) \approx 0{,}2257913526447274323630976 </math>
Alternativ hierzu kann dieses Verfahren mit der Formel nach Borwein, Bradley und Crandall angewendet werden:
:<math> \eta'(0) = 1 - \ln(2) + \int_0^\infty \frac{-2\arctan(x)}{\exp(2\pi x) - 1} \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{\pi}{2}\right) </math>
Rechenbeispiel für <math>s = 1</math>:
:<math> \eta'(1) = \int_0^\infty \frac{2\arctan(x) - x \ln(x^2 + 1)}{2(x^2 + 1) \sinh(\pi x)} \,\mathrm{d}x = \gamma\ln(2) - \frac{1}{2}\ln(2)^2 \approx 0{,}15986890374243097175694787 </math>
Alternativ hierzu kann dieses Verfahren angewendet werden:
:<math> \eta'(1) = \biggl[\lim_{s \rightarrow 1} \frac{2^{-s}(s^2 - 1)\ln(2) + 2^{1 - s} - 1}{(s - 1)^2} \biggr] + \int_0^\infty \frac{2\ln(2)\sin[\arctan(x)]}{(x^2 + 1)^{1/2} [\exp(2\pi x) - 1]} \,\mathrm{d}x = </math>
:<math> = \frac{1}{2}\bigl[\ln(2) - \ln(2)^2\bigr] + \int_0^\infty \frac{2\ln(2)\sin[\arctan(x)]}{(x^2 + 1)^{1/2} [\exp(2\pi x) - 1]} \,\mathrm{d}x = </math>
:<math> = \frac{1}{2}\bigl[\ln(2) - \ln(2)^2\bigr] + \ln(2) \int_0^\infty \frac{2\,x}{(x^2 + 1) [\exp(2\pi x) - 1]} \,\mathrm{d}x = </math>
:<math> = \gamma\ln(2) - \frac{1}{2}\ln(2)^2 </math>
Denn in Bezug auf die [[Euler-Mascheroni-Konstante]] gilt diese Identität:
:<math> \int_0^\infty \frac{2\,x}{(x^2 + 1) [\exp(2\pi x) - 1]} \,\mathrm{d}x = \gamma - \frac{1}{2} </math>
Die Integralformel bei dem Ausdruck für <math>\eta'(0)</math> nach dem Muster von Borwein, Bradley und Crandall kann mit Hilfe der Definition des Logarithmus Naturalis aus der [[Gammafunktion]] nach den britischen Mathematikern [[Edmund Taylor Whittaker]] und [[George Neville Watson]] hergeleitet werden:

: <math>\ln\bigl[\Gamma(x)\bigr] = \bigl(x - \frac{1}{2}\bigr)\ln(x) - x + \frac{1}{2}\ln(2\pi) + 2x \int_{0}^{\infty} \frac{\arctan(y)}{\exp(2\pi xy) - 1} \,\mathrm{d}y</math>

=== Ableitungsidentität mit der Digammafunktion ===
Eine weitere Formel für <math>s > -1</math> kann mit Hilfe der [[Digamma-Funktion|Digammafunktion]] hergeleitet werden.

Es gilt folgende Ableitung für die Gammafunktion:
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \Gamma(s + 1) = \Gamma(s + 1) \,\psi(s + 1)</math>
Und es gilt dann:
:<math>\eta'(s) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \biggl[\frac{2^{s - 1}}{\Gamma(s + 1)}\int_{0}^{\infty} x^{s} \operatorname{sech}(x)^2 \,\mathrm dx\biggr]</math>
:<math>\eta'(s) = \frac{2^{s - 1}}{\Gamma(s + 1)}\int_{0}^{\infty} x^{s} \operatorname{sech}(x)^2 [\ln(2x) - \psi(s + 1)]\,\mathrm dx</math>

== Stammfunktion ==
Die Ursprungsstammfunktion der Dirichletschen Etafunktion hat diese Identität:
:<math> \eta(s) = \frac{1}{2} + \int_0^\infty \frac{\sin[s \arctan(x)]}{(x^2 + 1)^{s/2}\sinh(\pi x)} \,\mathrm{d}x </math>
:<math> \int_{0}^{s} \eta(t) \,\mathrm{d}t = \frac{s}{2} + \int_0^\infty \frac{4(x^2 + 1)^{s/2}\arctan(x) - 4\arctan(x)\cos[s \arctan(x)] - 2\ln(x^2 + 1)\sin[s \arctan(x)]}{(x^2 + 1)^{s/2}[\ln(x^2 + 1)^2 + 4\arctan(x)^2]\sinh(\pi x)} \,\mathrm{d}x </math>
Durch Integration der genannten Abel-Plana-Formel kann dieser Ausdruck hervorgebracht werden. Denn folgende Integralformel ist grundsätzlich gültig:
:<math> \int_{0}^{s} \frac{\sin(at)}{\exp(bt)} \,\mathrm{d}t = \frac{a\exp(bs) - a\cos(as) - b\sin(as)}{(a^2 + b^2)\exp(bs)} </math>
Durch Einsatz von <math>a = \arctan(x)</math> und <math>b = \ln(x^2 + 1)/2</math> erhält man direkt die zuvor gezeigte Formel.

Mit der genannten Stammfunktionsformel für die Dirichletsche Etafunktion gilt zum Beispiel:
:<math> \int_{0}^{1} \eta(t) \,\mathrm{d}t = \frac{1}{2} + \int_0^\infty \frac{4(x^2 + 1)^{1/2}\arctan(x) - 4\arctan(x)\cos[\arctan(x)] - 2\ln(x^2 + 1)\sin[\arctan(x)]}{(x^2 + 1)^{1/2}[\ln(x^2 + 1)^2 + 4\arctan(x)^2]\sinh(\pi x)} \,\mathrm{d}x = </math>
:<math> = \frac{1}{2} + \int_0^\infty \frac{4(x^2 + 1)\arctan(x) - 4\arctan(x) - 2\,x\ln(x^2 + 1)}{(x^2 + 1)[\ln(x^2 + 1)^2 + 4\arctan(x)^2]\sinh(\pi x)} \,\mathrm{d}x \approx 0{,}60211234931037155497112632 </math>

== Dirichletsche und Riemannsche Funktionen ==

=== Verwandtschaften der Funktionen ===
Die Verwandtschaften von <math>\eta</math> zu der [[Dirichletsche Lambdafunktion|Dirichletschen <math>\lambda</math>-Funktion]]<ref>{{MathWorld|DirichletLambdaFunction|Dirichlet Lambda Function}}</ref> und der [[Riemannsche ζ-Funktion|Riemannschen <math>\zeta</math>-Funktion]] werden durch folgende Formel zum Ausdruck gebracht:<ref>J. Spanier, K. B. Oldham: ''The Zeta Numbers and Related Functions.'' In: ''An Atlas of Functions''. Washington, DC: Hemisphere, S. 25–33, 1987.</ref>

:<math>\frac{\zeta(v)}{2^v}=\frac{\lambda(v)}{2^v-1}=\frac{\eta(v)}{2^v-2}</math>

Deswegen gilt auch:

:<math>\zeta(v) + \eta(v) = 2\lambda(v).</math>

Die Dirichletsche eta-Funktion ist ein Spezialfall des [[Polylogarithmus]], denn es gilt:

:<math>\eta(x) = -\mathrm{Li}_x(-1).</math>

Damit ist sie auch ein Spezialfall der [[Lerchsche Zeta-Funktion|Lerchschen Zeta-Funktion]]:

:<math>\eta(s) = \Phi (-1,s,1).</math>

=== Erzeugungsalgorithmus ===
Zur Ermittlung der Dirichletschen Etafunktionswerte und Lambdafunktionswerte von geraden Zahlen dienen auch folgende zwei Formeln:

: <math>\lambda(2n + 2)= \frac{1}{n} \sum_{m=1}^{n} \eta(2m)\lambda(2n+2-2m)</math>
: <math>\eta(v) = \frac{2^{v} - 2}{2^{v} - 1} \,\lambda(v)</math>

Auf diese Weise können kaskadenartig die Dirichletschen Etafunktionswerte hervorgebracht werden:
{| class="wikitable"
|+Tabelle über den Verlauf der Erzeugung
!Summe für die Ermittlung des Lambda-Wertes
!Formel für den Eta-Wert
|-
|<math>\lambda(4) = \eta(2)\lambda(2) = \frac{\pi^2}{12}\,\frac{\pi^2}{8} = \frac{\pi^4}{96}</math>
|<math>\eta(4) = \frac{14}{15}\,\lambda(4) = \frac{7\pi^4}{720}</math>
|-
|<math>\lambda(6) = \frac{1}{2}\bigl[\eta(2)\lambda(4) + \eta(4)\lambda(2)\bigr] = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi^2}{12}\,\frac{\pi^4}{96} + \frac{7\pi^4}{720}\frac{\pi^2}{8}\right) = \frac{\pi^6}{960}</math>
|<math>\eta(6) = \frac{62}{63}\,\lambda(6) = \frac{31\pi^6}{30240}</math>
|-
|<math>\lambda(8) = \frac{1}{3}\bigl[\eta(2)\lambda(6) + \eta(4)\lambda(4) + \eta(6)\lambda(2)\bigr] = \frac{1}{3}\left(\frac{\pi^2}{12}\,\frac{\pi^6}{960} + \frac{7\pi^4}{720}\frac{\pi^4}{96} + \frac{31\pi^6}{30240}\frac{\pi^2}{8}\right) = \frac{17\pi^8}{161280}</math>
|<math>\eta(8) = \frac{254}{255}\,\lambda(8) = \frac{127\pi^8}{1209600}</math>
|}
Nach dem gezeigten Zick-Zack-Muster werden die Werte von Dirichletscher Etafunktion und Dirichletscher Lambdafunktion bei geraden Zahlen effizient erzeugt.

=== Reihen mit den Dirichletschen Funktionen ===
Folgende Summe mit der Dirichletschen Etafunktion ergibt folgenden Wert:
:<math>\sum_{n = 1}^{\infty} \biggl[\frac{\eta(2n)}{2n} - \frac{\eta(2n + 1)}{2n + 1}\biggr] = \ln\left(\frac{4}{\pi}\right)</math>
Die analoge Formel mit der Riemannschen Zetafunktion bringt die [[Euler-Mascheroni-Konstante]] hervor:
:<math>\sum_{n = 1}^{\infty} \biggl[\frac{\zeta(2n)}{2n} - \frac{\zeta(2n + 1)}{2n + 1}\biggr] = \gamma</math>
Und mit der Dirichletschen Lambdafunktion entsteht folglich dieser Wert:
:<math>\sum_{n = 1}^{\infty} \biggl[\frac{\lambda(2n)}{2n} - \frac{\lambda(2n + 1)}{2n + 1}\biggr] = \frac{1}{2}\,\gamma + \frac{1}{2}\ln\left(\frac{4}{\pi}\right)</math>
Dieses Resultat geht direkt durch arithmetische Mittelung hervor.

== Literatur ==
* {{MathWorld|DirichletEtaFunction|Dirichlet Eta Function}}
* [[Milton Abramowitz]], [[Irene Stegun]]: ''[[Handbook of Mathematical Functions]]'', New York: Dover, 1972.
* [[Niels Henrik Abel]]: ''Solution de quelques problèmes à l’aide d’intégrales définies''. Magazin for Naturvidenskaberne, Argang I, Bind2, Christina, 1823
* Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall: ''Computational strategies for the Riemann zeta function''. Journal of Computational and Applied Mathematics 121 (2000) 247–296, (PDF), S. 253.
* {{cite book |last=Knopp |first=Konrad |authorlink=Konrad Knopp |title=Theory and Application of Infinite Series |year=1990 |origyear=1922 |publisher=Dover |language=en |isbn=0-486-66165-2}}

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Analytische Funktion]]
[[Kategorie:Peter Gustav Lejeune Dirichlet]]

Dirichletsche Etafunktion - Versionsgeschichte

imported>Christian1985: /* Produktdarstellung */ weblink wirklich tot